Bí mật của Cycloid

Kvant 1975, số 8 tr. 19-27 Thẻ V3GL

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Bí mật của Cycloid

S. G. Verov

*“Bàn roulette là một đường phổ biến đến nỗi sau đường thẳng và đường tròn không còn đường nào xuất hiện thường xuyên hơn; nó thường được vẽ ra trước mắt mọi người đến nỗi người ta phải ngạc nhiên rằng người xưa đã không để ý đến nó… vì nó không gì khác hơn là đường đi được mô tả trong không khí bởi một chiếc đinh của một bánh xe khi nó lăn với chuyển động riêng của nó từ thời điểm chiếc đinh bắt đầu nhô lên khỏi mặt đất cho đến khi bánh xe lăn liên tục đưa nó trở lại mặt đất sau khi kết thúc cả một cuộc cách mạng.

Pascal

Đường cong “thường được vẽ ra trước mắt mọi người” lần đầu tiên được chú ý bởi Galileo (ở Ý) và Mersenne (ở Pháp). Ở Ý nó được gọi là cycloid, ở Pháp - roulette. Cái tên đầu tiên bị mắc kẹt, và những đường cong của một lớp rộng hơn hiện được gọi là roulettes (xem bài “Tangents to roulettes”, «Kvant», 1975, No. 5, p. 22; sau này, tham khảo bài viết này, chúng tôi sẽ viết KR). Các nhà toán học thế kỷ 17, những người đã tạo ra các phương pháp chung để nghiên cứu đường cong, rất quan tâm đến các đường cong “thử nghiệm” mới. Trong số các đường cong này, đường cycloid chiếm một vị trí đặc biệt. Nó hóa ra là một trong những đường cong siêu việt đầu tiên (đường cong có nguồn gốc phi đại số) mà người ta có thể tìm thấy một đáp số rõ ràng đẹp mắt trong các bài toán xây dựng tiếp tuyến và tính diện tích. Nhưng điều đáng chú ý nhất là cycloid xuất hiện lặp đi lặp lại ở lời giải của bài toán khác biệt nhất, trong lần đầu tiên

quá trình sản xuất ban đầu mà cô ấy không tham gia. Tất cả những điều này đã làm cho đường cycloid trở thành đường cong phổ biến nhất trong thế kỷ 17: vào năm 1673, Huygens tuyên bố rằng “đường cycloid đã được nghiên cứu chính xác và kỹ lưỡng hơn tất cả các đường cong khác”.

1. Từ định nghĩa động học đến phân tích

Định nghĩa động học của cycloid có trong phần ngoại văn của bài viết này. Hãy thử giải mã nó.

Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ trên mặt phẳng sao cho đường thẳng mà đường tròn lăn (hướng đường thẳng) trùng với trục $Ox$ và để đường tròn (gọi là đường tròn tạo) lăn theo chiều dương của trục $Ox$ . Giả sử rằng tại thời điểm ban đầu, điểm quan sát được của ranh giới vòng tròn chiếm vị trí $A_0=O=(0,0)$ (Hình 1). Nếu $r$ là bán kính của đường tròn tạo thì tâm của nó sẽ di chuyển dọc theo đường thẳng $y=r$ . Để mô tả đầy đủ sự lăn của một vòng tròn, chỉ cần mô tả chuyển động của tâm nó là đủ, nếu chỉ nói thêm rằng vòng tròn lăn không trượt *). Sẽ thuận tiện cho chúng ta khi đã cố định đơn vị thời gian, giả sử rằng tâm của vòng tròn chuyển động đều với tốc độ $r$ . Vào thời điểm $t$

*) Đây có lẽ là điều mà Pascal đã nghĩ đến khi viết rằng bánh xe “lăn theo chuyển động của chính nó”.

tâm của đường tròn ở điểm $C_t = (tr, r)$ và đường tròn tạo sẽ chạm vào đường định hướng tại điểm $B_t = (tr, 0)$ .

Bây giờ chúng ta hãy tìm vị trí của $A_t$ tại điểm gần nhất tại thời điểm $t$ (theo định nghĩa, $A_t$ sẽ là một điểm của xoáy thuận). Để làm điều này, bạn cần phải trình bày rõ ràng bằng từ và e rằng việc lăn của vòng tròn sẽ xảy ra mà không trượt: nó bao gồm độ dài của đoạn giữa các điểm tiếp xúc của vòng tròn tạo với đường định hướng tại thời điểm 0 và $t$ (đoạn $OB_t$ ; xem Hình 1) bằng với độ dài của đoạn còn lại $B_tA_t$ , “cuộn” dọc theo đoạn này (trong trường hợp này, cung có thể vượt quá toàn bộ chu vi).

Do đó, tại thời điểm $t$ , góc $B_tC_tA_t$ bằng $t$ (theo đơn vị đo radian), vì độ dài của góc $B_tA_t$ còn lại bằng $tr$ . Biểu thị qua $D_t$ hình chiếu của điểm $A_t$ lên đường thẳng đi qua tâm đường tròn $C_t$ song song với trục $Ox$ và qua $E_t$ hình chiếu của điểm $A_t$ lên đường thẳng đi qua tâm $C_t$ song song với trục $Oy$ (Hình 2), chúng tôi thu được (có tính đến trục tọa độ hướng)

$C_tD_t = -r\sin t, \quad C_tE_t = -r\cos t$

(xem điều gì xảy ra trong trường hợp $t > \frac{\pi}{2}, t > \pi$ ). Do đó, tọa độ điểm $A_t$ của lốc xoáy lần lượt là

$x = rt - r\sin t, \quad y = r - r\cos t$

Lưu ý rằng tại $t = 2\pi$ độ dài của đoạn $OB_t$ hóa ra bằng độ dài của hình tròn, điểm quan sát lại rơi vào trục $Ox$ ( $A_{2\pi} = (2\pi, 0)$ ) và hình ảnh bắt đầu lặp lại. Như vậy, chu kỳ của cơn bão là $2\pi r$ .

Vì vậy, lốc xoáy có thể được định nghĩa là một tập hợp các điểm có tọa độ $(rt - r\sin t, r - r\cos t)$ và, nếu muốn, có thể quên định nghĩa động học ban đầu. Chúng ta đã thu được cái gọi là định nghĩa tham số của lốc xoáy: cả tọa độ $x$ và $y$ của điểm $A_t$ của lốc xoáy đều là hàm của một số biến phụ $t$ .

Chúng ta gọi các điểm của lốc xoáy nằm trên trục $Ox$ là các điểm của lốc xoáy, các điểm nằm trên đường thẳng $y = 2r - \text{вершинами}$ và các điểm lân cận khác - các vòm của lốc xoáy. Trong hệ tọa độ đã chọn, lốc xoáy được đặc trưng bởi một tham số $r$ (bán kính của vòng tròn tạo). Tất cả các cơn bão có điểm $(0, 0)$ là điểm đều nhận được giải pháp làm sẵn từ nhau. Đối với mỗi điểm $(x, y)$ , $x \neq 0$ người ta có thể chọn duy nhất $r$ sao cho điểm này sẽ nằm trên vòm đầu tiên nổi lên từ $(0, 0)$ , cơn xoáy thuận tương ứng (chứng minh).

Trong bài viết KR đã chứng minh rằng tiếp tuyến của xoáy thuận tại điểm $A_t$ (Hình 3) đi qua điểm trên cùng của đường tròn sinh ra - điểm $F$ trong Hình 1.

Hình 3. Gọi $B_t$ là điểm đáy của đường tròn, $\alpha$ góc giữa tiếp tuyến và phương thẳng đứng $FB_t$ . Khi đó $A_t B_t$ là pháp tuyến của xoáy thuận (vuông góc với tiếp tuyến) và đối với tọa độ $y$ của điểm $A_t$ chúng ta có: $y = E_t B_t = 2 r \sin^2 \alpha$ . Từ đây

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{y}{2r}}.$

Sự tương ứng này sẽ đóng một vai trò quan trọng trong tương lai. Có thể chứng minh rằng xoáy thuận có tham số $r$ là đường cong duy nhất đi qua điểm $(0, 0)$ thỏa mãn điều kiện (1).

Trên các diện tích của hình có đường cong

Người ta đã có thể tính diện tích của một số hình có đường cong ở Hy Lạp cổ đại. Lúc đầu, họ chỉ quan tâm đến bình phương của các hình, nghĩa là xây dựng cho một hình cho trước một đường tròn và một đoạn thẳng có chiều dài bằng diện tích của nó. Như chúng tôi đã tìm ra sau này, điều này có thể được thực hiện đối với những hình có diện tích được tính bằng các phép toán số học và phép toán trích căn bậc hai. Dần dần, mọi người bắt đầu quan tâm đến những hình có diện tích được tính bằng các phép toán đại số tùy ý (bình phương đại số), và thậm chí cả những hình có biểu thức tính diện tích bao gồm số $n$ . Phương pháp tính diện tích chính là tính gần đúng một hình đã cho bằng đa giác và đi đến giới hạn; nhưng người ta phải rất may mắn để những phép tính này được đưa đến một đáp số rõ ràng.

Đôi khi việc tính diện tích của các hình có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng một số tính chất chung của diện tích. Dưới đây là một vài tài sản như vậy.

Trong trường hợp này, khi một hình được chia với hệ số $k$ , diện tích của nó được nhân với $k^2$ và khi hình được chia cắt so với một trục nhất định có hệ số $k$ , diện tích của nó được nhân với $k$ .
Các hình cách đều nhau (tức là các hình có thể cắt thành các cặp phần bằng nhau) có kích thước bằng nhau (chúng có diện tích).
Hai hình, giao điểm của chúng với bất kỳ đường thẳng nào song song với một đường cố định nào đó $l$ , sẽ tạo ra các đoạn bằng nhau có kích thước bằng nhau (nguyên tắc này được Cavalieri (1598-1647) xây dựng vào năm 1635).

Hãy tưởng tượng rằng đường viền của hình là một dải băng dẻo và bản thân hình này bao gồm các lớp cứng rất mỏng song song với đường thẳng $l$ (“không thể phân chia”, theo thuật ngữ của Cavalieri). Hãy xem xét các phép biến đổi bảo toàn các lớp này nhưng tách chúng ra khỏi nhau. Theo nguyên tắc Cavalieri, tất cả các hình nhận được trong quá trình biến đổi như vậy sẽ có kích thước bằng nhau.

Các tính chất được liệt kê của diện tích cần thiết trong chứng minh (khó khăn chính của những chứng minh này là đưa ra một định nghĩa chặt chẽ về diện tích), nhưng chúng rất dễ kiểm chứng. Bây giờ chúng ta sẽ nói về cách sử dụng các tính chất này một cách tinh tế khi tính diện tích của một hình nằm dưới vòm lốc xoáy.

Bạn đồng hành của lốc xoáy, cánh hoa của Roberval và khu vực dưới lốc xoáy

Vì các cơn lốc xoáy tương tự nhau nên chúng tôi giới hạn mình trong trường hợp $r=1$ . Theo Roberval (1602-1675), mối liên hệ với mỗi điểm của lốc xoáy $A_t$ (xem Hình 3) là hình chiếu của nó $E_t$ trên đường kính thẳng đứng của vòng tròn tạo ra. Điểm $E_t$ có tọa độ $x=t, y=1-\cos t=1+\sin\left(t-\frac{\pi}{2}\right)$ .

Roberval gọi đường cong gồm các điểm $E_t$ với mọi khả năng $t$ là “bạn đồng hành của cơn lốc”. Rõ ràng “người bạn đồng hành của cơn bão” là một hình sin ngược (1 hướng lên và $\frac{\pi}{2}$ ở bên phải).

Quá trình lịch sử được kết nối với hoàn cảnh này. Các nhà toán học đã nghiên cứu các hàm lượng giác từ thời xa xưa, nhưng các hình sin chỉ xuất hiện lần đầu tiên vào thế kỷ 17, không phải dưới dạng đồ thị có sóng hình sin mà là … “với đường xoáy tròn” (điều này có thể được giải thích một phần là do trong một thời gian dài họ không xem xét các hàm có nguồn gốc phi đại số).

“Người bạn đồng hành của cơn lốc” chia nó thành ba phần (Hình 4): một hình bên dưới hình sin và hai hình đối xứng được gọi là “Cánh hoa Roberval”. Theo tính chất 2, diện tích của hình dưới hình sin bằng $2\pi$ : hình này tương đương với một hình chữ nhật có diện tích như vậy (Hình 5). Cách nhau một “cánh hoa”. Đường ngang ở độ cao $y=1-\cos t$ cắt nó dọc theo một đoạn $A_t E_t$ có chiều dài $|\sin t|$ (xem Hình 2). Bằng cách di chuyển các đoạn ngang này (đối với tất cả các $t$ ) có thể dọc theo chiều ngang của chúng sao cho đầu bên trái của chúng nằm trên cùng một đường thẳng đứng, chúng ta thu được hình bán nguyệt của vòng tròn đơn vị (Hình 6). Theo nguyên lý Cavalieri, diện tích của “cánh hoa” bằng diện tích của hình bán nguyệt này, tức là $\frac{\pi}{2}$ . Điều này có nghĩa là diện tích của hình dưới vòm lốc xoáy với $r=1$ bằng $2\pi+2 \cdot \frac{\pi}{2}=3\pi$ (và do đó $3\pi r^2$ cho $r\neq 1$ ).

Câu hỏi tính diện tích của các đoạn lốc xoáy ít cơ bản hơn. Huygens (1629-1695) đã viết, không phải không tự hào: “Tôi là người đầu tiên đo diện tích của điểm xoáy thuận, kết quả này sẽ thu được nếu một phần của trục $1/4$ bị loại bỏ khỏi đỉnh và vẽ song song với đáy. Phần này tạo thành một nửa diện tích hình lục giác nội tiếp trong hình tròn tạo thành.”

Tautochrone

“Ma trận toán học xích lô được phát minh bởi Christan Huyens, một nhà khoa học lớn của thế kỷ 17 và là người thợ đồng hồ nói chung của mọi thời đại.”
Sommerfeld. Cơ học

Galileo lập luận rằng chu kỳ dao động của ma trận toán học chỉ được xác định bởi độ dài $l$ của nó và không phụ thuộc vào góc $\varphi$ của kích thước tối đa của nó. Huygens, sau khi phát hiện ra rằng tuyên bố này chỉ đúng với các góc nhỏ $\varphi$ , đã quyết định xây dựng một ma trận có chu kỳ dao động thực sự không phụ thuộc vào $\varphi$ (ma trận như vậy được gọi là maymochronous hoặc isochronous).

Huygens chia việc xây dựng ma trận tautochronic thành hai giai đoạn:

tìm đường cong mà phần cuối của ma trận sẽ di chuyển dọc theo (maymochrones);
tìm ra một hệ thống treo ma trận đảm bảo sự chuyển động của đầu cuối của nó dọc theo tautochrone.

Chúng ta sẽ bắt đầu với tautochrone của Nhật Bản (sự tồn tại của nó không thuận tiện lắm).

Phần cuối của ma trận toán học di chuyển dọc theo một cung tròn theo cách giống hệt như một điểm ma trận nặng - dọc theo một rãnh có đường viền trùng với đường tròn này. Nếu chúng ta bỏ qua ma sát và lực cản của không khí thì một điểm nặng được ném theo một vòng tròn quanh rãnh không có tốc độ ban đầu từ độ cao $H$ , sau khi vượt qua vị trí thấp hơn, lại tăng lên độ cao $H$ , và sau đó sẽ thực hiện dao động tuần hoàn, đầu tiên tăng theo một hướng, sau đó theo hướng khác đến độ cao $H$ . Phát biểu sai của Galileo là chu kỳ dao động $T(H)$ không phụ thuộc vào $H$ . bài toán của chúng tôi là xác định hình dạng của rãnh để phù hợp với những gì Galileo tuyên bố là đúng.

Nhờ một sự trùng hợp may mắn (chúng đóng vai trò quan trọng trong lịch sử khoa học), Huygens đã nghiên cứu chu trình (liên quan đến cuộc thi Pascal, 1658) cùng lúc khi ông đang tìm kiếm ma trận tautochronic. Đó là cơn lốc xoáy hóa ra là tautochrone! Có lẽ, bản thân Huygens cũng không mong đợi điều này từ trước (bạn có thể hiểu lời nói của anh ấy như thế này: “Tôi phát hiện ra sự sẵn sàng của nó (xoáy) để đo thời gian bằng cách nghiên cứu các quy luật cấu trúc của khoa học mà không nghi ngờ gì về ứng dụng của nó”).

Chúng ta hãy xem xét một điểm ma trận nặng trên một máng có hình xoáy ngược (Hình 7; $r$ là bán kính của vòng tròn tạo ra); giả sử tại thời điểm ban đầu nó ở độ cao $H$ (tại điểm $C_0$ trong hình). Chúng ta hãy thử tìm thời điểm $t$ để sau đó nó chạm tới điểm đáy $B$ (đỉnh của lốc xoáy). Sau đó, sau $2\tau$ nó sẽ ở điểm $C_{2\tau}$ lốc xoáy, đối xứng với trục thẳng đứng tương đối của điểm $C_0$ , và sau thời gian $T=4\tau$ (toàn bộ chu kỳ) nó sẽ quay trở lại điểm $C_0$ . Chúng tôi không quan tâm đến sự phụ thuộc của $t$ vào $H$ .

Để tại thời điểm $t$ điểm cứng chiếm vị trí $C_t$ ở độ cao $h=h(t)$ . Vectơ vận tốc $\vec{v}(t)$ tại thời điểm $t$ hướng tiếp tuyến với xoáy thuận tại điểm $C_t$ , chiều dài của nó $|\vec{v}(t)|$ (giá trị vận tốc) được xác định từ định luật bảo toàn năng lượng:

$\frac{m|\vec{v}(t)|^2}{2} = mg(H-h(t)),$

tức là

$|\vec{v}(t)| = \sqrt{2g(H-h(t))}.$

Hãy xem cách hình chiếu di chuyển về tâm và điểm của chúng ta theo chiều dọc $C_0B'$ . Tại thời điểm $t$ hình chiếu này chiếm vị trí $C'_t$ và tại thời điểm $t$ nó kết thúc tại điểm $B'$ (xem Hình 7), đi qua đoạn $C_0B'$ có độ dài $H$ . Tốc độ $\omega(t)$ tại thời điểm $t$ của chuyển động thẳng này (tại điểm $C'_t$ trong Hình 7) là hình chiếu của vectơ vận tốc $\vec{v}(t)$ lên

phương thẳng đứng: $w(t) = |v(t)| \cos \alpha$ , trong đó $\alpha$ là góc giữa tiếp tuyến với đường tròn và phương thẳng đứng. Vì (xem (1), trang 21) $\cos \alpha = \sqrt{\frac{2r-y}{2r}}$ và $y = 2r - h(t)$ , rồi $\cos \alpha = \sqrt{\frac{h(t)}{2r}}$ , và do đó $w(t) = \sqrt{\frac{g}{r}} \cdot \sqrt{h(t)(H-h(t))}$ .

Vì vậy, quy luật thay đổi tốc độ đối với chuyển động thẳng của chúng ta khá phức tạp. Nhưng Huygens nhận thấy (một bằng chứng mang tính quyết định!) rằng với chuyển động quay đều dọc theo một đường tròn có đường kính $H$ , thành phần thẳng đứng của vectơ vận tốc có cùng dạng với $w(t)$ . Thật vậy, chúng ta hãy dựng một hình bán nguyệt trên đoạn $C_0B'$ làm đường kính và đặt $C'_t$ là điểm của hình bán nguyệt này nằm ở độ cao $h(t)$ . Độ dài của đoạn $C'_t C'_t$ bằng $\sqrt{h(t) \cdot (H-h(t))}$ .

Từ sự giống nhau của các tam giác vuông được tô màu trong Hình 7 màu đỏ (các cạnh của chúng vuông góc với nhau: $OC'_t$ là bán kính, tại điểm $C'_t$ vẽ tiếp tuyến của hình bán nguyệt và phương thẳng đứng), suy ra tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $C'_t$ vectơ có chiều dài $\sqrt{\frac{g}{r}} \frac{H}{2}$ có hình chiếu thẳng đứng có độ dài $w(t)$ . Điều này có nghĩa là khi điểm $C$ của chúng ta di chuyển dọc theo một chu kỳ, điểm tương ứng $C''$ quay đều với vận tốc góc $\sqrt{\frac{g}{r}} \cdot \pi$ thì điểm $C''$ sẽ đi qua hình bán nguyệt $C_0B'$ , đồng thời điểm $C'$ sẽ đi qua đoạn $C_0B'$ và chính điểm $C$ sẽ đi qua đoạn đường đó chu kỳ vòng cung $C_0B$ . Vì vậy, chúng tôi không chỉ chứng minh rằng chu kỳ là maytochronic (tức là $\tau$ không phụ thuộc vào $H$ ), mà còn tìm thấy toàn bộ chu kỳ dao động:

$T = 4\tau = 4\pi \sqrt{\frac{r}{g}}.$

Công thức (2) là sự điền hiện tại của công thức Galilê giả định cho chu kỳ của ma trận toán học có độ dài $l(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}})$ , do đó, việc cố gắng sử dụng (2) để chứng minh cho công thức sau là điều đương nhiên. Và trên thực tế, với sự trợ giúp của (2), Huygens đã thu được chứng minh chặt chẽ đầu tiên về công thức tính chu kỳ dao động của một ma trận toán học với các góc dao động nhỏ $\varphi$ . Ông nhận thấy rằng ở những góc nhỏ, một tuyến tròn hầu như không khác gì một tuyến xoáy thuận, và tất cả những gì còn lại là hiểu sự tương ứng giữa độ dài $l$ của ma trận toán học và tham số $r$ của lốc xoáy thì sự khác biệt này là nhỏ nhất. Hóa ra là ở $l = 4r$ (đây không phải là một sự thật quan trọng lắm; chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau). Thay $r = l/4$ vào (2), ta thu được công thức dấu cho chu kỳ của ma trận toán học: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ (đối với $\varphi$ nhỏ).

*) Trên thực tế, người ta đã chứng minh rằng chuyển động của một điểm vật chất nặng dọc theo sắt xoáy có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một chuyển động quay đều với vận tốc góc, không phụ thuộc vào độ cao $H$ mà điểm được đẩy và một số chuyển động xây dựng (nói chung là không đồng đều). Đối với $H = 2r$ điều này có thể dễ dàng suy ra từ định nghĩa động học của chu kỳ và sự tương ứng (1), tr. 21.

cơn lốc xoáy

Bằng cách tạo ra mẫu đồng hồ đầu tiên, Heugens hy vọng có thể bù đắp cho sự sai lệch của ma trận (toán học) đơn giản so với tính thời gian của hình xăm, giảm độ dài của nó trong quá trình sai lệch. Độ dài của ma trận có thể được điều chỉnh bằng cách lắp đặt các “chân” (Hình 8), trên đó sợi treo sẽ được quấn trong quá trình làm lệch. Những nỗ lực xác định bằng thực nghiệm sự phụ thuộc mong muốn của độ dài của ma trận vào góc lệch đã không thành công, và Geugens, tuân theo các đặc tính của thiết kế đồng hồ, đã lắp đặt các bộ hạn chế biên độ “cổ”. Khi họ phát hiện ra rằng lốc xoáy là một hình xăm, rõ ràng là hình dạng của các “cổ” phải sao cho phần cuối của ma trận sẽ di chuyển dọc theo cơn lốc.

Geugens đang tìm kiếm hình thức “shek”, lý luận (theo cách kể lại có phần do dự) đại loại như thế này. Giả sử có một chướng ngại vật được giới hạn bởi một đường cong $L$ , tại một điểm nào đó $O$ trong đó cố định một sợi chỉ không phát triển có chiều dài $l$ (Hình 9). Chúng ta quấn sợi chỉ xung quanh chướng ngại vật, quan sát đường cong $M$ , mô tả phần cuối của sợi chỉ. Geugens gọi đường cong $M$ là sự phát triển của đường cong $L$ ; bây giờ $M$ được gọi là một đường tiến hóa của đường cong $L$ , và $L$ là một đường tiến hóa của đường cong $M$ (nhiều đường tiến hóa được liên kết với một đường tiến hóa, tương ứng với các độ dài khác nhau $l$ ). Chúng ta cần tìm ra sự tiến hóa của cơn bão.

Đường cong $M$ bao gồm các điểm $B$ sao cho tổng độ dài của đoạn tiếp tuyến $BA$ với đường cong $L$ tại điểm $A$ và AO khác của đường cong $L$ bằng $l$ (xem Hình 9 - điều này chính xác có nghĩa là lực căng của sợi chỉ quấn một phần trên $L$ ). Nhận thức đầu tiên của Heugens là tiếp tuyến của đường cong $M$ tại điểm $A$ đồng thời vuông góc với đường cong $M$ tại điểm $B$ . Cách dễ nhất để hiểu thực tế này là dựa trên định nghĩa động học của đường cong $M$ . Chúng ta hãy nhớ rằng vectơ vận tốc có phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động và khi tác dụng của các lực thay đổi thì vectơ vận tốc không thể thay đổi ngay lập tức (để biết thêm chi tiết, xem bài KR). “Chúng ta sẽ cắt bỏ” chướng ngại vật tại điểm $A$ , nhưng chúng ta sẽ tiếp tục di chuyển sợi dây bị căng (Hình 10); khi đó phần cuối của sợi chỉ bắt đầu di chuyển theo vòng tròn có tâm ở điểm $A$ ; tốc độ vectơ của nó tại điểm $B$ sẽ không thay đổi; do đó, tại điểm $B$ , đường cong $M$ và đường tròn tâm $A$ sẽ có một tiếp tuyến chung vuông góc với bán kính $BA$ .

Người đọc bài viết KR cũng sẽ nhận thấy rằng nếu chúng ta xem xét các sợi có độ dài khác nhau, thì chuyển động được mô tả của đầu sợi chỉ tiếp tục chuyển động như một chuyển động của toàn bộ mặt phẳng như một tấm rắn, trong đó các điểm của đường cong $L$ là tâm trao đổi của phép quay và các đường cong khác nhau là quỹ đạo của điểm của mặt phẳng. Nhận xét này ngay lập tức ngụ ý sự vuông góc

đoạn $AB$ với tiếp tuyến của đường cong $M$ tại điểm $B$ .

Dự đoán tiếp theo của Huygen là trong một tình huống “tốt”, quá trình tiến hóa của đường cong được khôi phục với ý nghĩa dh (hãy nhớ rằng, một đường cong có nhiều tiến hóa!) Thực tế là các pháp tuyến của đường cong $M$ tại các điểm khác nhau đều tiếp tuyến với sự tiến hóa của nó $L$ . Một đường cong “tốt” có thể được khôi phục từ các tiếp tuyến: bằng cách lấy nhiều tiếp tuyến, xây dựng đường đứt đoạn được mô tả và sau đó “tăng” các tiếp tuyến, xấp xỉ đường cong ngày càng tốt hơn (họ nói rằng đường cong sẽ được ước tính bằng tập hợp các tiếp tuyến của nó).

Chúng ta cần tìm một đường cong có tiếp tuyến vuông góc với một cyclode đã cho. Huygens đoán rằng đường cong này sẽ là cùng một xoáy thuận, chỉ được nâng lên $2r$ và được cung cấp trên polerid (sao cho các đỉnh của nó trùng với các điểm của xoáy thuận ban đầu; xem Hình 11).

Thật vậy, hãy $r=1$ ; $l$ và $l'$ là các đường định hướng của các xoáy thuận trên và dưới tương ứng, $O$ và $O'$ là điểm bắt đầu của chúng ( $l'$ một đơn vị phía trên $l$ ; $O'$ một đơn vị ở bên phải $O$ ). Chúng ta hãy lấy một điểm $C$ trên đường $l$ và xem xét vị trí của các vòng tròn tạo ra (cả hai đường tròn) khi chúng chạm vào $l$ tại điểm này $C$ . Đặt $C'$ và $C''$ là các điểm đối xứng đường kính với nó của các vòng tròn trên và dưới tương ứng, $A$ và $A'$ là các điểm tương ứng của xoáy thuận. Cung $CC''A$ có độ dài bằng đoạn $OC$ ; do đó, nó lớn hơn các đoạn khác $C'A'$ , có độ dài bằng đoạn $O'C'$ . Do đó $C'CA' \cong C''CA$ và các điểm $A'$ , $C$ , $A$ nằm trên cùng một đường thẳng. Cần lưu ý rằng $CA'$ là tiếp tuyến của cyclode trên và $CA$ là pháp tuyến của cyclode phía dưới ( $AC''$ là tiếp tuyến của nó).

Bây giờ chúng ta biết rằng “các cổ” của ma trận tutochronic phải là cyclodal và độ dài của sợi $l$ phải bằng $4r$ (với giá trị $l$ này, chúng ta sẽ thu được cyclode mong muốn dưới dạng một phép tiến triển). Ở các góc xoay nhỏ, các “cổ” điều chỉnh hầu như không ảnh hưởng đến chiều dài của ma trận và lốc xoáy gần với các vòng tròn bán kính khác $4r$ (xem phần cuối của đoạn trước).

Định lý Christopher Wren.
Evolots và tính toán độ dài đường cong

Sau khi quyết định bài toán về ma trận xích lô, Huygens không dừng lại, nhận ra rằng mình đã tạo ra một lý thuyết toán học tuyệt vời. Ông viết: “Để áp dụng phát minh mạnh mẽ này vào ma trận, tôi cần thiết lập một lý thuyết mới, đó là lý thuyết xử lý các đường mới thông qua việc triển khai các đường cong. Ở đây, tôi phải đối mặt với nhiệm vụ so sánh các đường cong và đường thẳng. Tôi đã nghiên cứu câu hỏi này xa hơn một chút so với mức cần thiết cho mục đích của tôi, vì lý thuyết này có vẻ hay và mới đối với tôi.”

Trước hết, Huygens nhận thấy rằng khi toàn bộ sợi của ma trận được quấn quanh “cổ”, phần cuối của nó sẽ ở trên đỉnh của lốc xoáy; điều này có nghĩa là chiều dài của sợi ma trận ( $4r$ ) trùng với chiều dài của một nửa vòm cyclode, và do đó, chiều dài của vòm cyclode bằng $8r!$ Định lý này được hình thành và chứng minh bởi Christoph Wren vào năm 1658; Huygens, như chúng ta thấy, đã thu được một bằng chứng rất tự nhiên cho định lý này.

Định lý của Christopher Wren đã gây ấn tượng rất mạnh mẽ đối với những người cùng thời với ông và đây là lý do tại sao.

Cơm. 11.

Tính độ dài các đường cong Các nhà toán học cũng không kém phần quan tâm đến việc tính diện tích. Lúc đầu, bằng cách tương tự với hình vuông (xem trang 21), họ quan tâm đến phép chỉnh lưu - cấu tạo của một la bàn và một đoạn tuyến tính có chiều dài tương ứng; sau đó họ bắt đầu quan tâm đến phép chỉnh lưu đại số - biểu thức độ dài của đường cong bằng cách sử dụng bất kỳ phép toán đại số nào. Chúng ta đã nói rằng các hình vuông không phải hình tròn kết thúc ở điểm dưới cùng của hình tròn sẽ mất cùng thời gian (tương tự đối với các hợp âm bắt đầu ở điểm trên cùng của hình tròn).

Giả sử có một đường cong $L$ (đủ “tốt”) và một điểm $A$ không nằm trên $L$ . Tìm một điểm $B$ trên $L$ sao cho đoạn $AB$ đi qua điểm toán học dưới tác dụng của trọng lực trong thời gian tối thiểu.

Những trận chiến của Newton

Giả sử có một trường trung tâm trong đó các lực tỉ lệ với khoảng cách $r$ đến tâm: $F(r) = kr$ , $k > 0$ .

Newton nhận thấy rằng trong một lĩnh vực như vậy, các biocyclopds (xem KR) đóng vai trò tương tự như các cyclopds trong trường trọng lực, cụ thể là:

biocyclopdes (trong lĩnh vực này) là toán học (Newton gọi chúng là isochron);
sự tiến hóa của biocyclopdae đều giống biocyclopdae **).

Cố gắng giải bài toán của Newton (bạn có thể viết cả một “bài luận” toán học về chủ đề này). Hãy nhớ cách vẽ các đường tiếp tuyến với biocyclopds (bài viết KR), nhìn lại lời giải tương tự bài toán cho cyclopds và … Wejdem lời giải của bạn.

**) Về đồng hồ toán học, xem bài viết của S. G. Gindkin “Từ lịch sử của đồng hồ toán học”, «Kvant», 1974, số 9.

**) Đây chỉ là một thực tế hình học thuần túy, nó không áp dụng cho cơ học, nhưng nó cho phép chúng ta sắp xếp một nhà toán học vòng đời sinh học và từ đó tính ra chiều dài của vòng quay sinh học.