Sự tương tự vật lý

50

Trung bình của các hiện tượng khác nhau có bản chất vật lý khác nhau thường có thể được tìm thấy trong các hiện tượng tích cực biểu hiện các dấu hiệu và mô hình giống nhau. Trong những trường hợp như vậy, chúng ta nói về các hệ thống tương tự vật lý, hoặc các hệ thống tương tự (nghĩa là tích cực). Sự tương tự vật lý tồn tại giữa các hệ thống điện, cơ, âm thanh và các hệ thống khác từ lâu đã được sử dụng thành công trong nghiên cứu và tính toán. Các phương pháp dựa trên việc sử dụng phép loại suy, trong một số trường hợp, tỏ ra có hiệu quả đối với lời giải bài toán. Chúng cho phép chúng ta giảm lời giải của một số bài toán xuống lời giải của những người khác (đã biết) bài toán (thường là từ các ngành vật lý khác).

Ví dụ, người ta không thể hiểu nhầm sự tương tự giữa định luật vạn vật hấp dẫn và định luật Coulomb.

Biểu thức cho lực hấp dẫn giữa hai chất điểm có khối lượng $M$ và $m$ và cho lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích chính xác $Q$ và $q$ có dạng

$$F_T = \gamma \frac{Mm}{r^2}; \quad F_{3.1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}.$$

Ở đây $\gamma$ là hằng số graviton, $\varepsilon_0$ là hằng số điện, $r$ là khoảng cách giữa các vật thể tương tác.

Vì lực được biểu thị bằng các công thức tương tự (trong trường hợp tổng quát, tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách), nên chuyển động của vật chất điểm trong trường graviton (trong trường hấp dẫn) và chuyển động của một vật tích điện trong trường điện tích hấp dẫn được mô tả bằng các phương trình giống nhau. Đúng, có một sự khác biệt. Lực hấp dẫn luôn có xu hướng liếm các vật thể (lực hút vật thể), còn lực điện tùy theo dấu hiệu tương tác của các điện tích có thể vừa là lực hút vừa là lực đẩy.

Hiểu sự tương đồng giữa định luật vạn vật hấp dẫn và định luật Coulomb.

Biểu thức cho lực hấp dẫn giữa hai chất điểm có khối lượng $M$ và $m$ và cho lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích chính xác $Q$ và $q$ có dạng

$$F_T = \gamma \frac{Mm}{r^2}; \quad F_{3.1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}.$$

Ở đây $\gamma$ là hằng số graviton, $\varepsilon_0$ là hằng số điện, $r$ là khoảng cách giữa các vật thể tương tác.

Vì lực được biểu thị bằng các công thức tương tự (trong trường hợp tổng quát, tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách), nên chuyển động của vật chất điểm trong trường graviton (trong trường hấp dẫn) và chuyển động của một vật tích điện trong trường điện tích hấp dẫn được mô tả bằng các phương trình giống nhau. Đúng, có một sự khác biệt. Lực hấp dẫn luôn có xu hướng liếm các vật thể (lực hút vật thể), còn lực điện tùy theo dấu hiệu tương tác của các điện tích có thể vừa là lực hút vừa là lực đẩy.

Hiểu sự tương đồng giữa định luật vạn vật hấp dẫn và định luật Coulomb.

Biểu thức cho lực hấp dẫn giữa hai điểm Vật chất có khối lượng $M$ và $m$ và cho lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích chính xác $Q$ và $q$ có dạng

$$F_T = \gamma \frac{Mm}{r^2}; \quad F_{3.1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}.$$

Ở đây $\gamma$ là hằng số graviton, $\varepsilon_0$ là hằng số điện, $r$ là khoảng cách giữa các vật thể tương tác.

Vì lực được biểu thị bằng các công thức tương tự (trong trường hợp tổng quát chúng tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách), chuyển động của Vật liệu và điểm trong trường graviton (trong trường hấp dẫn) và chuyển động của một vật tích điện trong trường điện tích hấp dẫn được mô tả bằng các phương trình giống nhau. Đúng, có một sự khác biệt. Lực hấp dẫn liên quan đến nguyên lý âm. (Hãy nhớ lại rằng thế năng được giả sử bằng 0 đối với $r$ vô hạn.) Biểu thức cuối cùng (đối với thế năng graviton) thuận tiện để sử dụng cho lời giải nhiều bài toán từ lĩnh vực vật lý vũ trụ (ví dụ: bài toán trong tính toán vận tốc thoát thứ hai, bài toán trong các thao tác của tàu vũ trụ, v.v.).

51

Chúng ta hãy đưa ra một ví dụ khác về sự tương tự vật lý giữa hệ thống cơ và điện. Các quá trình xảy ra trong mạch dao động điện (Hình 1) tương tự như các dao động bên ngoài của một vật nặng.

Sự tương tự này được thảo luận chi tiết trong sách giáo khoa phổ thông (xem sách giáo khoa lớp 10 trung học). Các hệ thống tương tự nhau vì các hiện tượng xảy ra trong chúng được mô tả bằng các mối quan hệ toán học giống nhau. Định luật thứ hai của Newton đối với tải trọng bên ngoài và định luật Ohm đối với mạch dao động được viết theo cùng một cách:

$$m \frac{\Delta v}{\Delta t} = -kx, \quad L \frac{\Delta i}{\Delta t} = -\frac{1}{C} q,$$

trong đó $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ là tốc độ tải, $i = \frac{\Delta q}{\Delta t}$ là dòng điện trong mạch.

Từ đó có thể thấy khối lượng của tải $m$ có thể so sánh với độ tự cảm của cuộn dây $L$, độ cứng của lò xo $k$ - với giá trị nghịch đảo của điện dung $\frac{1}{C}$. Sự tương tự của hai hệ thống này cũng được bảo toàn khi có sự tiêu tán năng lượng: hệ số ma sát $\beta$ ở tốc độ chuyển động thấp của vật thể trong chất lỏng hoặc chất khí tương tự như điện trở $R$.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài toán, lời giải cụ thể được đơn giản hóa bằng phương pháp tương tự.

Nhiệm vụ 1. Khoảng trống được lấp đầy một phần chất lỏng. Phần cắt ở đâu cũng giống nhau; tổng chiều dài phần chứa đầy của cabin bằng 1. Xác định chu kỳ dao động của mực chất lỏng trong hệ thống này.

Chúng ta hãy thử kiểm tra các chất tương tự với bài toán dao động nổi tiếng của một tải treo từ bên ngoài, và từ đó tìm ra chu kỳ dao động của hệ dao động này.

Để mức chất lỏng ở một trong các khuỷu tay giảm $x$, và ở khuỷu tay kia, tương ứng, tăng $x$ (xem Hình 2), khi đó chênh lệch mức sẽ bằng $2x$ và chất lỏng ở khuỷu tay trái sẽ chịu tác dụng của trọng lực không bù của cột chất lỏng có chiều cao $2x$:

$$F = -2S\rho gx.$$

Ở đây $S$ là diện tích mặt cắt ngang của vết cắt, $\rho$ là mật độ của chất lỏng. Dấu trừ trong công thức này có nghĩa là lực $F$ có ​​xu hướng đưa hệ về vị trí cân bằng (như trong trường hợp có tải trọng bên ngoài). Giá trị $2S\rho g$, hằng số cho hệ thống này, tương ứng với độ cứng của lò xo $k$. Do đó, chuyển động của chất lỏng xảy ra dưới tác dụng của chuyển động gần như đàn hồi *). Tương tự nhiệm vụ:

*) Đây là tên gọi thông thường của các lực có nguồn gốc không đàn hồi thay đổi theo quy luật như lò xo đàn hồi: $F = -kx$.

Cơm. 1. Các hệ dao động này giống nhau về mặt vật lý.

Cơm. 2. Một hệ dao động khác.

52

Ai về sự biến động của tải trọng bên ngoài trở nên rất lo lắng. Sử dụng công thức tính chu kỳ $T$ dao động của tải trọng $m$ bên ngoài, ta thu được:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{Sl\rho}{2S\rho g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2g}}.$$

Bây giờ chúng ta sẽ tạo thành một số bài toán từ các nhánh vật lý khác nhau và cố gắng hiểu sự tương đồng giữa chúng.

Bài toán 2. Xác định công sinh ra cho biến dạng của lò xo có độ cứng $k$, nếu độ giãn dài của nó (tính từ vị trí cân bằng của lò xo không giãn) thay đổi từ $x_1$ thành $x_2$.

Bài toán 3. Để thay đổi chất gây ô nhiễm của tụ điện $C$ từ giá trị $q_1$ thành giá trị $q_2$ thì phải làm những công việc gì?

Bài toán 4. Lý tưởng nhất là một mol nở ra khi đun nóng, nghĩa là thể tích liên hệ với nhiệt độ theo định luật $T = \alpha V^2$, trong đó $\alpha$ là một hằng số nhất định. Khí sẽ thực hiện công gì trong quá trình này khi nhiệt độ của nó thay đổi từ $T_1$ thành $T_2$?

Các hệ thống được thảo luận trong những vấn đề này được mô tả trong Hình 3.

Bài toán tương tự nhau vì trong cả ba trường hợp, chúng ta đều có cùng một mẫu. Hãy xem xét điều này chi tiết hơn.

Trong bài toán 2, bạn cần tìm công thực hiện để làm biến dạng lò xo. Công việc này có thể được xác định bằng đồ họa. Công trên một đoạn nhỏ của đường đi $\Delta x$ (tức là trên một đoạn mà lực $F = kx$ có ​​thể coi là không đổi) là:

$$\Delta A = F\Delta x = kx\Delta x.$$

Điều này có nghĩa là tổng công $A$ khi thay đổi tọa độ từ $x_1$ thành $x_2$ bằng với vùng được tô bóng trong Hình 4, tức là.

$$A = \frac{k}{2} \left( x_2^2 - x_1^2 \right).$$

Chúng ta hãy nhớ lại rằng các đại lượng $\frac{kx^2}{2}$ là thế năng $\Pi$ của một lò xo biến dạng đàn hồi. Biết biểu thức của năng lượng này, chúng ta có thể viết ngay công thức tính công ($A = \Delta \Pi$). Nhưng ở đây chúng tôi muốn đảm bảo rằng tình huống tương tự sẽ nảy sinh trong các bài toán vật lý tương tự khác.

Ở lời giải bài toán 3, quá trình thải thành từng phần nhỏ $\Delta q$ (sao cho hiệu điện thế $u$ trên tụ điện có thể được coi là không đổi) được truyền từ tấm này sang tấm khác. Công việc chuyển chi phí $\Delta q$ sẽ được viết là:

$$\Delta A = u\Delta q = \frac{1}{C} q\Delta q.$$

53

Biểu thức của $\Delta A$ có dạng tương tự như trong bài toán 2. Bằng cách tương tự, không lặp lại chuyển động lời giải, chúng ta có thể viết ngay rằng tổng công thực hiện để thay đổi điện tích trên tụ điện bằng

$$A = \frac{1}{2C} \left( q_2^2 - q_1^2 \right).$$

Giá trị $\frac{q^2}{2C}$ tương tự như thế năng của lò xo $\frac{kx^2}{2}$ và có ý nghĩa là năng lượng điện tích trong tụ điện. (Ở đây chúng ta lại gặp phải sự tương tự giữa độ cứng của lò xo $k$ và nghịch đảo của độ lớn $\frac{1}{C}$)

Trong bài toán 4 cần xác định công do khí thực hiện trong quá trình giãn nở. Nếu độ thay đổi âm lượng $\Delta V$ được coi là đủ nhỏ (sao cho áp suất trong quá trình cơ bản này có thể được coi là không đổi với một giá trị gần đúng chính xác), thì công được viết dưới dạng: $\Delta A = p\Delta V$. Vì trong trường hợp của chúng ta $T = \alpha V^2$, nên chúng ta thu được các phương trình của trạng thái khí:

$$p = \frac{RT}{V} = R\alpha V.$$

Kể từ đây,

$$\Delta A = R\alpha V\Delta V.$$

Bây giờ, sự tương tự với bài toán 2 và 3 đã trở nên rõ ràng và chúng ta có thể viết biểu thức cho tổng công $A$ trong quá trình giãn nở khí:

$$A = \frac{R\alpha}{2} \left( V_2^2 - V_1^2 \right) = \frac{R}{2} \left( T_2 - T_1 \right).$$

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một cái khác, phức tạp hơn một chút bài toán.

Bài toán 5. Nhiệt lượng $Q$ ta thu được từ một mol khí khi nhiệt độ thay đổi từ $T_1$ đến $T_2$ ($T_2 > T_1$), nếu trong quá trình đun nóng khí đó thay đổi tỉ lệ nghịch với nhiệt độ:

$$V = \frac{\beta}{T},$$

trong đó $\beta$ là một hằng số nào đó? Cho biết nhiệt dung của khí ở thể tích không đổi $C_V$.

lời giải của bài toán này khá cồng kềnh. Ở đây chúng ta sẽ thu hút sự chú ý đến sự tương tự bất ngờ của nhiệt bài toán này với bài toán điện tích tiềm năng nổi tiếng.

Dựa vào định luật nhiệt động thứ nhất, ta có thể viết:

$$Q = \Delta U + A.$$

Ở đây $\Delta U$ là độ biến thiên nội năng của chất khí, $A$ là công do chất khí thực hiện. Nội năng của khí lý tưởng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ ($U \sim T$). Do đó, sự thay đổi nội năng trong bất kỳ quá trình nào, và do đó trong trường hợp của chúng ta, cũng giống như trong một quá trình có thể tích không đổi, khi toàn bộ vật thể lơ lửng chỉ làm tăng nội năng:

$$\Delta U = C_V \left( T_2 - T_1 \right).$$

Do đó, bài toán được rút gọn thành công do chất khí thực hiện. Để tìm ra công việc này, trước tiên chúng ta xem xét một quá trình cơ bản trong đó thể tích của chất khí tăng lên một lượng đủ nhỏ $\Delta V$, sao cho áp suất trên thực tế không thay đổi. Đối với bài tập cơ bản chúng ta có thể viết:

$$\Delta A = p\Delta V = \frac{RT}{V} \Delta V = R\beta \frac{\Delta V}{V^2}.$$

Chúng ta cần tìm công mà chất khí thực hiện khi thể tích của nó thay đổi từ giá trị $V_1 = \frac{\beta}{T_1}$ thành giá trị $V_2 = \frac{\beta}{T_2}$. Về mặt toán học, bài toán đã được rút gọn thành một phép toán tích hợp vượt ra ngoài phạm vi của chương trình giảng dạy trung học. Tuy nhiên, chúng ta hãy thử nhớ xem liệu chúng ta có gặp phải cách thức đặt câu hỏi tương tự trong các bài toán khác hay không.

Trong trường hợp nào thì công cơ bản tỉ lệ với biểu thức $\frac{\Delta x}{x^2}$? Rõ ràng, nếu chúng ta đang nói về công của một lực thay đổi tỷ lệ nghịch với khoảng cách bậc hai, ở một mức nhỏ

54

mesenini $\Delta x$. Chúng ta biết hai lực biến thiên tỉ lệ với $\frac{1}{x^2}$:

đây là lực tương tác Coulomb của các điện tích chính xác và lực hấp dẫn. Do đó, nhiệt bài toán đang được xem xét tương tự như bài toán về điện tích tiềm năng hoặc bài toán về việc tính thế năng của một vật thể trong trường hấp dẫn. Các phương pháp lời giải trong số bài toán này được nghiên cứu ở trường trung học.

Đây là một ví dụ về bài toán điện, ngay sau lời giải bài toán 5.

Bài toán 6. Hãy gọi điện dung của tụ điện hình cầu được tạo bởi hai quả cầu dẫn điện đồng tâm $R_1$ và $R_2$.

Điện dung của tụ điện $C$ bằng điện tích tương đối của tụ điện $q$ với hiệu điện thế $\Delta \varphi$ giữa các bản của nó. Hiệu điện thế (theo định nghĩa) bằng số vòng quay do lực điện tạo ra khi di chuyển một đơn vị điện tích dương từ tấm này sang tấm khác.

Cho quả cầu bên trong của tụ điện có điện tích $q$, và quả cầu bên ngoài có điện tích $-q$. Khi đó điện trường trong không gian giữa các quả cầu trùng với trường của điện tích $q$, nằm ở tâm chung $*$) và hướng của điện trường

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}; \quad R_1 \leqslant r \leqslant R_2.$$

Để một điện tích dương di chuyển trên một khoảng cách nhỏ $\Delta r \ll R_1$ (để có thể coi trường là đồng nhất). Công do điện trường thực hiện trên đoạn đường này là

$$\Delta A = E \Delta r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\Delta r}{r^2}.$$

(*) Ví dụ, xem bài viết của L. P. Bakanina và S. M. Kozel “Các nguyên lý chồng chất trong tĩnh điện”, «Kvant», 1973, Số 3.

Tổng công $A$ của lực điện khi khoảng cách thay đổi từ $R_1$ đến $R_2$ có ​​thể được biểu thị dưới dạng điện thế của điện tích chính xác:

$$A = -(\varphi_2 - \varphi_1) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_1} - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}.$$

Do đó điện dung của tụ cầu bằng

$$C = \frac{q}{\Delta \varphi} = 4\pi\varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}.$$

Bây giờ chúng ta quay lại bài toán 5 và đưa lời giải về cuối, sử dụng kết quả của bài toán 6. Hãy so sánh biểu thức () cho công điện dung trong quá trình giãn nở chất khí và biểu thức () cho công điện dung khi di chuyển một điện tích đơn vị trong trường tĩnh điện. Dễ dàng nhận thấy các biểu thức này tương tự nhau (trong bài toán 5 đại lượng thay đổi là thể tích khí $V$ và trong bài toán 6 là khoảng cách $r$). Điều này cho phép chúng ta kết luận rằng các tác phẩm hoàn chỉnh $A$ trong obiha Servant được thể hiện theo cách tương tự thông qua các biến $V$ và $r$ tương ứng. Do đó, bằng cách tương tự với biểu thức (), chúng ta có thể viết biểu thức tính công của một chất khí khi thể tích của nó thay đổi từ $V_1$ thành $V_2$:

$$A = R \beta \frac{V_2 - V_1}{V_1 V_2}.$$

Có tính đến $V = \frac{\beta}{T}$, chúng tôi nhận được:

$$A = R \frac{\frac{V_2}{\beta} - \frac{V_1}{\beta}}{\frac{V_1}{\beta} \frac{V_2}{\beta}} = R \frac{\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}}{\frac{1}{T_1} \frac{1}{T_2}} = -R(T_2 - T_1).$$

Dấu trừ trong công thức này được xác định bởi thực tế là sự lăn khí ($A < 0$) xảy ra trong quá trình đang xem xét.

Bây giờ chúng ta có thể viết ra kết quả cuối cùng lời giải bài toán 5.

55

Cơm. 5. Chu kỳ dao động của piston trong hệ này là bao nhiêu?

Lượng nhiệt phải truyền cho một mol khí để thay đổi nhiệt độ của nó từ $T_1$ thành $T_2$ bằng

$$Q = (C_V - R) (T_2 - T_1).$$

Trong bài viết này, chúng tôi muốn minh họa ý nghĩa của sự tương tự vật lý. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng có những điểm tương tự khác nhau. Hình 1 cho thấy các hệ thống có sự tương đồng sâu sắc về mặt vật lý. Các quá trình xảy ra trong hai hệ thống vật lý này hóa ra lại giống nhau. Sự tương tự thuộc loại này được gọi là động. Các hệ động lực được mô tả bằng các phương trình chuyển động giống hệt nhau. Vai trò của những hệ thống như vậy trong khoa học là đặc biệt quan trọng. Một ví dụ khác về sự tương tự động là bài toán về chuyển động của các vệ tinh và zanat của Trái đất?

Cơm. 6. Chúng ta cần đưa ra một sự tương tự cơ học cho mạch điện này.