Có phải tất cả các số đều bằng nhau?

16

Kết quả thí nghiệm

Câu hỏi trong tiêu đề của bài viết này có vẻ lạ: có con số nào thực sự đáng được quan tâm đặc biệt không? Để kiểm tra điều này, tác giả bài báo đã lặp lại thí nghiệm của nhà toán học hiện đại người Mỹ Hamming. Cả hai thí nghiệm bao gồm những điều sau đây. Một trăm hằng số được đặt tên được chọn ngẫu nhiên từ một số sách tham khảo về hóa học và luyện kim. Tập hợp kết quả bao gồm chiều cao của ống khói của một trong các loại lò nung lộ thiên, trọng lượng riêng của đá coli, nhiệt trị của propan và thậm chí cả một thông số kỳ lạ đối với những người không chuyên như “hằng số tốc độ xà phòng hóa lụa” của một este. Nói một cách dễ hiểu, nó tạo ra một loại dầu giấm có nhiều kích cỡ khác nhau.

Để sắp xếp thứ tự chúng bằng cách nào đó, hãy gọi số i là bất kỳ số nào có chữ số có nghĩa nhất trong đó có chữ số i (i = 1, 2, …, 9). Vì vậy, số 1 sẽ là số 1 và 3,7 và 0,0371 sẽ là 3 số.

Thoạt nhìn, có vẻ tự nhiên nhất là mong đợi sự phân bố đồng đều các hằng số trong chín nhóm, trong đó các số i rơi vào nhóm thứ i. Vì chúng ta đã chọn các hằng số nên chúng ta phải có khoảng 11 số i cho mỗi chữ số i. Tất nhiên, người ta không thể dựa vào con số 11 chính xác xuất hiện cho tất cả các chữ số i (điều này là không thể, vì 9·11 ≠ 100). Nhưng đây là cách các hằng số trung bình được phân bổ thực tế (xem bảng):

| i | Số lượng số i |
| :— | :— |
| Hamming | Tác giả | Lý thuyết* |
| 1 | 34 | 25 | 31 |
| 2 | 12 | 17 | 17 |
| 3 | 13 | 16 | 13 |
| 4 | 15 | 11 | 9 |
| 5 | 7 | 9 | 8 |
| 6 | 3 | 8 | 7 |
| 7 | 4 | 6 | 6 |
| 8 | 4 | 4 | 5 |
| 9 | 8 | 4 | 4 |

Tổng cộng 100 100 100

Như có thể thấy từ các cột giữa của bảng này, số lượng số 1 được phát hiện trong cả hai thí nghiệm nhiều hơn số lượng 7 số chẳng hạn. Làm thế nào chúng ta có thể giải thích điều này? Có lẽ trong quá trình thí nghiệm đã xuất hiện một biểu hiện vô thức về “sự tự do” đối với số 1?

Hamming không mô tả phương pháp ông sử dụng để chọn số. Tác giả đã chọn một cách tùy ý đại khái như thế này. Trong một thời gian, anh ấy đã viết ra sáu chữ số đầu tiên của các số có bảy chữ số trong phiếu chia sẻ của mình; kết quả là một danh sách nhất định được hình thành

*) Số lượng i-số “lý thuyết” sẽ được thảo luận dưới đây.

17

“số ngẫu nhiên.” Dựa vào chữ số đầu tiên của số ngẫu nhiên đó, người ta chọn ra một cuốn sách tham khảo (sách tham khảo đã được đánh số trước), và dựa vào hai chữ số tiếp theo, một trang được chọn; ba chữ số còn lại tương ứng với số hàng và số cột mà số đó được lấy. Tất nhiên, không phải lúc nào cũng có thể tuân thủ nghiêm ngặt quy tắc này.
Vì vậy, chúng tôi đã phải áp dụng một số giải thích rõ ràng, nhưng chúng tôi sẽ không tập trung vào chúng. Trong mọi trường hợp, rõ ràng là vị trí đặc biệt của các số 1 dựa trên một điều gì đó quan trọng hơn chỉ là sự tùy tiện của những người thử nghiệm.

Có chuyện gì thế?

Mọi hằng số trong sách tham khảo đều có được nhờ kết quả của một phép đo nào đó. Đo lường là so sánh với một tiêu chuẩn (kg, mét, giây). Chúng ta có tính đến việc sử dụng các tiêu chuẩn cụ thể ở bất kỳ đâu không, coi việc có sự phân bố đồng đều các số $i$ giữa các hằng số đã chọn là điều tự nhiên? Không. Do đó, chúng ta có thể mong đợi rằng dạng phân phối này sẽ không thay đổi đáng kể nếu chúng ta chọn các hằng số tương tự từ các bảng của Mỹ, chẳng hạn, không sử dụng mét mà sử dụng foot. Thật vậy, theo quan điểm của “người Mỹ”, việc phân bố đồng đều các số $i$ là điều tự nhiên.

Như chúng ta sẽ thấy bây giờ, chúng ta không có lý do gì để mong đợi rằng sự phân bố của các số $i$ sẽ trở nên đồng đều một cách chính xác vì sự phân bố đồng đều không được giữ nguyên khi thang đo thay đổi.

Hãy minh họa điều này bằng ví dụ sau. Hãy tạo một sự phân bố đồng đều các số $i$ một cách giả tạo. Hãy lấy trục số và áp một “chiếc lược” có răng $n$ vào đó (lược đen, Hình 1).

Để việc đánh số các răng lược bắt đầu từ 0, và chiếc lược sao cho nếu răng số 0 của nó được đặt đối diện với số 1 thì răng $((n-1)$) cuối cùng sẽ không “đạt” đến số 10 bằng một khoảng trống giữa các răng. Vì có $(n-1)$ khoảng trống giữa các răng lược nên kích thước của một khoảng trống là $9/n$. Vì vậy, trên trục số các răng lược tương ứng với các số

$$x_k = 1 + \frac{9}{n}k, \ \ k = 0, 1, \ldots, n-1, \ (1)$$

hình thành một cấp số cộng. Trong nhóm số này, các số $i$ được phân bố gần như đồng đều: số lượng các số $i$ trong số chúng đối với bất kỳ chữ số $i$ nào cũng xấp xỉ bằng tỷ lệ $n/9$ (có thể có lỗi ở đây $\pm 1$, tại sao?).

Bây giờ chúng ta hãy thay đổi tỷ lệ bằng cách nhân mỗi số (1) với một số $a$ và

$$2 \leqslant a < 10. \qquad (2)$$

Chúng ta hãy xem phép nhân này ảnh hưởng như thế nào đến số 1. Đối với họ (chỉ dành cho họ), rõ ràng chúng ta có:

$$10 \leqslant a + a\,\frac{9}{n}\,k < 20.$$

Do đó, các số của các số 1 mới được chứa trong khoảng

$$\frac{10-a}{9a}\,n \leqslant k < \frac{20-a}{9a}\,n,$$

Cơm. 1.

2 «Kvant» № 11

18

và, vì $k$ là một số nguyên nên sẽ có số lượng số 1 xấp xỉ bằng độ dài của nghịch đảo - khoảng $10n/9a$. Nói cách khác, số lượng các số 1 sẽ tăng lên khoảng $10/a > 1$ lần (và ước tính này càng chính xác thì số $n$ càng lớn).

Vì vậy, bằng cách thay đổi thang đo $a$ lần ($2 \leqslant a < 10$), chúng ta sẽ tăng tỷ lệ số 1 trong số các số của tập (1), mặc dù ở thang đo cũ, theo cách xây dựng, số 1 không nổi bật. Điều này chỉ ra rằng giả định về sự phân bố đồng đều của các số $i$ là không tự nhiên.

Thang đo “logarit”

Hình 2 cho thấy hai thang đo. Chúng cùng nhau tạo thành một “bảng logarit”: dưới bất kỳ số nào ở thang đo trên (với các vạch chia không đều), bạn có thể đọc logarit thập phân của số này và ngược lại - bằng cách sử dụng logarit được đánh dấu ở thang đo thấp hơn, có thể dễ dàng tìm thấy chính con số này ở thang đo trên (do đó sẽ hợp lý khi gọi thang đo phản đa cực, nhưng chúng ta sẽ gọi nó là thang đo logarit).

Thang logarit có một thuộc tính cực kỳ quan trọng: các số được hiển thị trên đó rất dễ nhân và chia. Chúng ta hãy nhớ lại tính chất cơ bản của logarit:

$$\lg ab = \lg a + \lg b.$$

Do đó, phép nhân các số $a$ và $b$ có thể thực hiện như sau: lấy các số này

la trên thang logarit, tìm ngay bên dưới chúng $\lg a$ và $\lg b$, sau đó cộng các giá trị tìm được ​​(do tính đồng nhất của thang đo thấp hơn, điều này có nghĩa là di chuyển từ điểm $\lg b$ đến khoảng cách $\lg a$) và cuối cùng, đọc kết quả trên thang logarit (Hình 2). Hướng chuyển dịch được xác định bằng dấu của số $\lg a$: nếu $\lg a > 0$ thì chuyển dịch sang phải, nếu $\lg a < 0$ - sang trái. (Nhân tiện, thiết bị của thước trượt dựa trên nguyên tắc này).

Tuy nhiên, chúng ta hãy quay trở lại với chiếc lược của mình. Chúng ta sẽ giả sử rằng chiếc lược được áp dụng ở thang đo thấp hơn và khoảng cách giữa các răng bằng $1/n$. Răng có số $k$ ở thang dưới tương ứng với số $k/n$ và ở thang logarit (trên) - số

$$y_h = 10^{k/n}, k = 0, 1, \dots, n - 1. \quad (3)$$

Các số (3) tạo thành một cấp số nhân có giá trị $n/10$. Số lượng các số $i$ trong số chúng bây giờ phụ thuộc vào $i$. Nói một cách đại khái, nó bằng tỷ lệ độ dài quãng của thang đo dưới, tương ứng với số $i$ của thang logarit, với độ dài quãng của thang đo dưới, tương ứng với số $i$.

Bây giờ chúng ta hãy nhân tất cả các số (3) với $a$. Để làm điều này, chúng ta chỉ cần dịch chuyển toàn bộ lược một khoảng $\lg a$ (ở đơn vị tỷ lệ thấp hơn). Nếu bất đẳng thức (2) được thỏa mãn cho $a$, thì số 1 thu được sau khi dịch chuyển như vậy sẽ bật

thang logarit trong phạm vi từ 10 đến 20. Nhưng độ dài của khoảng này (tính theo đơn vị của thang đo thấp hơn) bằng phần định trị của số $\lg 20$, nghĩa là nó trùng với độ dài của khoảng từ một đến hai (xem Hình 2). Vì vậy, đến $\pm 1$, số lượng các số 1 sẽ giữ nguyên. Trên thực tế, với sự thay đổi này, số lượng $i$-số cho bất kỳ $i$ nào được giữ nguyên và điều kiện (2) theo giá trị $a$ có thể bị loại bỏ. Hãy tự mình chứng minh điều đó (xem task 2).

Ngay cả tuyên bố ngược lại cũng đúng (mặc dù không dễ để đưa ra công thức và bằng chứng chính xác của nó): bất kỳ phân bố nào của số i được giữ nguyên khi nhân với một số tùy ý $a > 0$ phải gần với phân bố “logarit” được chỉ định bởi chiếc lược.

Hãy sử dụng “phân phối lược” để trả lời câu hỏi chính của bài viết. Hãy nhớ lại bảng của chúng ta (xem trang 16). Cột cuối cùng của nó biểu thị chính xác số lượng các số $i$ trong số những số tạo thành cấp số nhân của các số (3) tại $n - 100$. Chúng tôi thấy rằng các số 1 thực sự chiếm ưu thế trong số chúng và hơn nữa, tất cả dữ liệu từ phân phối này khá phù hợp với dữ liệu thử nghiệm. Quan sát này cho phép chúng tôi giả định rằng sự phân bố của các số i giữa các số tạo thành một cấp số nhân (3) là có thể xảy ra nhất (đó là lý do tại sao chúng tôi gọi cột cuối cùng của bảng là “lý thuyết”).

Tuy nhiên, liệu chúng ta có thể chứng minh giả thuyết rằng trong một bảng tùy ý, phân bố của các số $i$ sẽ tương ứng với phân bố “logarit” không? Tất nhiên là không. Không thể chứng minh điều này một cách tổng quát. Điều này đòi hỏi các giả định bổ sung về bản chất tính ngẫu nhiên của tập hợp các hằng số đang được xem xét. Ở đây chúng ta chỉ lưu ý rằng có các bảng chứa các hằng số được đặt tên (ví dụ: lịch trình tàu hỏa) với sự phân bổ các số $i$ hoàn toàn khác.

Số ưu tiên

Người lập kế hoạch sản xuất phải đối mặt với bài toán: lập kế hoạch sản xuất các biến thể của cùng một sản phẩm khác nhau về kích thước tiêu chuẩn. Ví dụ, cần có đèn điện có công suất từ ​​vài phần watt (để chiếu sáng cân dụng cụ) đến hàng chục kilowatt (đối với đèn hải đăng). Làm thế nào để tạo ra một bộ kích thước tiêu chuẩn để đáp ứng thỏa đáng mọi nhu cầu?

Tất nhiên, tôi muốn số lượng kích thước tiêu chuẩn không quá lớn. Để làm được điều này, các phương án được hoạch định phải tương ứng tốt với sự phân bổ chưa xác định của các nhu cầu có thể có. Chúng ta hầu như không biết gì về sự phân bố này, nhưng thật khó để tin rằng nó có thể phụ thuộc rất nhiều vào đơn vị đo lường được sử dụng.

Ở đây, thật thích hợp để nhớ lại giả thuyết mà chúng tôi đã trình bày ở cuối đoạn trước liên quan đến tính độc quyền của phân bố “logarit” của các số $i$ giữa các số (3).

Hóa ra ở nước ta, các tùy chọn kích thước tiêu chuẩn được cố định bằng một nghị định lập pháp đặc biệt: tiêu chuẩn tiểu bang (GOST). Từ năm 1957, GOST 8032-56 đã có hiệu lực ở Liên Xô, theo đó, trong tất cả các ngành, khi đưa ra kích thước tiêu chuẩn mới, nên tuân thủ một số hệ số rất cụ thể: số ưu tiên.

Những con số này biểu thị giá trị làm tròn của các số thang logarit được xác định bởi “lược”, tức là các số (3), tại $n - 5$, 10, 20, 40! Tập hợp các số ưu tiên tương ứng với một chiếc lược được gọi là hàng và được ký hiệu là $Rn$. Chữ $R$ thường được gắn với tên của kỹ sư người Pháp Ch. Renard, người đã sử dụng những con số đó để chọn độ dày của dây cáp bóng bay vào cuối thế kỷ 19. Đây là cách

2*

19