Lời giải bài toán M314, M316, M317; F322—F327, F329

32

Lời giải bài toán

M314, M316, M317; F322—F327, F329

M314. Trong số tất cả các số có 9 chữ số có ký hiệu thập phân chứa chữ số 0, hãy tìm số có hiệu giữa chính số đó và tích các chữ số của nó là a) nhỏ nhất;
b) lớn nhất;
đáp số đối với số có n chữ số đối với n bất kỳ sẽ là bao nhiêu?

Chúng ta sẽ giải ngay bài toán cho số có n chữ số.
Hãy bắt đầu với bài toán a). Gọi số cần tìm - ký hiệu là A - được viết bằng số $a_1, \dots, a_n$: $A = \overline{a_1, \dots, a_n}$. Sau đó
$$A = a_1 \cdot 10^n - 1 + a_2 \cdot 10^n - 2 + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n.$$
Chúng ta hãy biểu thị sự khác biệt giữa số A và tích các chữ số của nó bằng B:
$$B = a_1 \cdot 10^n - 1 + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n - a_1 \cdot a_2 \dots a_n.$$
Hãy chứng minh rằng nếu B là chênh lệch nhỏ nhất thì số A không thể có đồng thời hai chữ số khác ngoài một hoặc chín.
Trên thực tế, giả sử có hai số như vậy: $a_k$ và $a_l$. Sau đó, bằng cách tăng và giảm chữ số $a_k$ đi một, chúng ta có thể tạo các số có n chữ số mới (không có số 0 trong số các chữ số):
$$A_1 = a_1 \cdot 10^n - 1 + \dots + (a_k + 1) \cdot 10^n - k + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n;$$
$$A_2 = a_1 \cdot 10^n - 1 + \dots + (a_k - 1) \cdot 10^n - k + \dots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n.$$
Chúng ta hãy viết ra sự khác biệt $B_1$ và $B_2$ giữa các số $A_1, A_2$ và tích các chữ số của chúng:
$$B_1 = A_1 - a_1 \cdot \dots \cdot (a_k + 1) \cdot \dots \cdot a_{n-1} \cdot a_n = (A - a_1 \cdot \dots \cdot a_n) + 10^n - k - a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n = B + (10^n - k - a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n);$$
$$B_2 = A_2 - a_1 \cdot \dots \cdot (a_k - 1) \cdot \dots \cdot a_{n-1} \cdot a_n = B + (-10^n - k + a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n).$$
Theo giả định, B là chênh lệch nhỏ nhất; do đó, các bất đẳng thức $B \leqslant B_1$ và $B \leqslant B_2$ phải được thỏa mãn đồng thời:
$$\begin{cases} 10^n - k - a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n \geqslant 0, \\ -10^n - k + a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n \geqslant 0. \end{cases}$$
Ở đâu
$$a_1 \cdot \dots \cdot a_{k-1} \cdot a_{k+1} \cdot \dots \cdot a_n = 10^n - k.$$

Theo cách tương tự chúng ta có được điều đó
$$a_1 \cdot \dots \cdot a_{l-1} \cdot a_{l+1} \cdot \dots \cdot a_n = 10^n - l.$$

Chia (1) cho (2), ta được:
$$\frac{a_l}{a_h} = 10^{l-k} \quad (l \neq k),$$

nhưng điều này không thể xảy ra vì $a_l$ và $a_k$ là các số tự nhiên nhỏ hơn 10.

Điều này có nghĩa là số mong muốn không thể có hai chữ số khác ngoài 1 và 9 cùng một lúc.

Giả sử số bạn đang tìm có một chữ số khác 1 và 9—hãy đặt nó là chữ số $a_{n-p}$. Khi đó, như trên, chúng ta có
$$10^p = a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-p-1} \cdot a_{n-p+1} \cdot \dots \cdot a_n,$$

33

trong đó các số $a_1, \dots, a_{n-p-1}, a_{n-p+1}, \dots, a_n$ bằng 1 hoặc 9. Nhưng với $p \geqslant 1$ sự đẳng thức như vậy không thể tồn tại: bên trái của nó chia hết cho 10 và bên phải của nó không chia hết.

Nếu $p = 0$ thì tất cả các chữ số $a_1, \dots, a_{n-1}$ phải là số một và chữ số $a_n$ có ​​thể là bất kỳ chữ số nào. Bản thân số đó có dạng $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$. Lưu ý rằng sự khác biệt giữa một số thuộc loại này và tích của chữ số của nó được xây dựng và không phụ thuộc vào chữ số cuối cùng $a_n$:

$$\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n - 1 \dots 1 \cdot a_n = \underbrace{1 \dots 1}_{n-1} 0.$$

Dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra rằng chính sự khác biệt này là nhỏ nhất (nghĩa là số $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$ là số bắt buộc).

Vì vậy, nếu số độc quyền có chữ số khác 1 và 9 thì nó phải có dạng $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng tất cả các chữ số của số độc quyền là số một hoặc số chín. Giả sử số này bao gồm $k$ số chín và $n-k$ số đơn vị. Khi đó tích của chữ số của nó bằng $9^k$ - số được xây dựng và để hiệu giữa số và tích của chữ số của nó là nhỏ nhất thì chính số đó (bao gồm $k$ số chín và $n-k$ số đơn vị) phải nhỏ nhất.

Rõ ràng rằng số như vậy sẽ là số $\underbrace{1 \dots 1}_{n-k} \underbrace{9 \dots 9}_{k},$ trong đó tất cả các số đều có chữ số cao nhất.

Hãy tạo nên sự khác biệt

$$B' = \underbrace{1 \dots 1}_{n-k} \underbrace{9 \dots 9}_{k} - 9^k.$$

Bây giờ lấy số có thêm một đơn vị: $\underbrace{1 \dots 1}_{n-k+1} \underbrace{9 \dots 9}_{k-1}$. Đối với nó, sự khác biệt tương ứng là bằng

$$B'' = \underbrace{1 \dots 1}_{n-k+1} \underbrace{9 \dots 9}_{k-1} - 9^k - \underbrace{1 \dots 1}_{n-k+1} \underbrace{9 \dots 9}_{k-1} + 9^k-1 = 8(10^k-1-9^k-1) \geqslant 0$$

(Bình đẳng là đủ cho $k=1$); nghĩa là, $B' \geqslant B''$.

Điều này có nghĩa là bằng cách thay thế chín số đầu tiên bên trái bằng một số mỗi lần, chúng ta sẽ giảm được sự khác biệt giữa số kết quả và tích các chữ số của nó. Do đó, số chỉ bao gồm số một và số chín, có chênh lệch được chỉ định là tối thiểu, là số $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1}$.

Theo những gì đã nói ở trên, sự khác biệt không phụ thuộc vào chữ số nào ở vị trí cuối cùng của một số, tất cả các chữ số khác của số đó đều bằng một; nghĩa là bất kỳ số nào cũng có thể ở vị trí cuối cùng.

Vì vậy, đáp số trong bài toán a) là: ngoại lệ các số có $n$ chữ số là $\underbrace{1 \dots 1}_{n-1} a_n$, trong đó $a_n$ là bất kỳ chữ số nào.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang bài toán b).

Lập luận như trước, chúng ta thấy rằng nếu một số có tính chất thì hiệu giữa nó và tích

34

Bằng cách chia các chữ số của nó - nhiều nhất, thì tất cả các chữ số của nó là số một hoặc số chín.

Giả sử có một số gồm $k$ số chín và $n - k$ số đơn vị. Tích các chữ số của một số như vậy bằng $9^k$, do đó, để hiệu lớn nhất thì bản thân số đó phải là trung bình cộng lớn nhất của tất cả các số gồm $k$ số chín và $n - k$ số đơn vị.

Rõ ràng số đó là số $\underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k}$.

Chúng ta hãy biểu thị sự khác biệt giữa nó và tích các chữ số của nó bằng $A'$:

$$A' = \underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k} - 9^k.$$

Bây giờ chúng ta hãy xem $k$ phải như thế nào để chênh lệch $A'$ giữa số $\underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k}$ và tích các chữ số của nó là lớn nhất.

Hãy tăng $k$ lên một: lấy số $\underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1}$.

Để có được số sự khác biệt là

$$A'' = \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1} - 9^{k + 1}.$$

Hãy giảm $k$ đi một: chúng ta nhận được

$$A''' = \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k + 1} - 9^{k + 1}.$$

Imsem:

$$A' - A'' = \underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k} - 9^k - \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1} + 9^{k + 1}$$

$$- 8 \cdot 10^{n - k - 1} + 9^k (9 - 1) = 8 \left( -10^{n - k - 1} + 9^k \right) \geq 0,$$

(3)

vì $A'$ theo giả định là chênh lệch lớn nhất.

Tương tự như vậy

$$A' - A''' = \underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k} - 9^k - \underbrace{9 \dots 9}_{k + 1} \underbrace{1 \dots 1}_{n - k - 1} + 9^{k + 1}$$

$$= 8 \cdot 10^{n - k} - 9^{k + 1} (9 - 1) = 8 \left( 10^{n - k} - 9^{k + 1} \right) \geq 0.$$

(4)

Từ (3) và (4) ta thu được hệ bất đẳng thức:

$$\begin{cases} 9^k \geq 10^{n - k - 1}, \\ 10^{n - k} \geq 9^{k + 1}, \end{cases}$$

từ đó

$$\begin{cases} k \geq \frac{n - 1}{\lg 9 + 1}, \\ k \leq \frac{n + \lg 9}{\lg 9 + 1}, \end{cases}$$

đó là

$$\frac{n - 1}{\lg 9 + 1} \leq k \leq \frac{n - 1}{\lg 9 + 1} + 1.$$

(5)

35

Vì $k$ là một số nguyên nên nó suy ra từ (5) rằng

$$k = \left[ \frac{n-1}{\lg 9 + 1} + 1 \right],$$

trong đó $[x]$ là phần nguyên của số $x$.

Vậy trong bài toán 6) số cần tìm có dạng

$$\underbrace{9 \dots 9}_{k} \underbrace{1 \dots 1}_{n-k},$$

ở đâu $k = \left[ \frac{n-1}{\lg 9 + 1} + 1 \right].$

I. N. Klumova, A. G. Leiderman

a) Tính tổng bình phương $2n+1$ của các số tự nhiên liên tiếp. Biểu thị số nhỏ nhất trong số chúng bằng $x-n$, chúng ta nhận được:

$$S_{2n+1} = (x-n)^2 + (x-n+1)^2 + \dots + x^2 + (x+1)^2 + \dots + (x+n)^2 = (2n+1)x^2 + 2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2) = (2n+1)x^2 + \frac{1}{3}n(n+1)(2n+1).$$

Cụ thể là $S_3 = 3x^2 + 2$, $S_5 = 5x^2 + 10$, $S_7 = 7x^2 + 28$, $S_9 = 9x^2 + 60$, $S_{11} = 11x^2 + 110$. Tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương, vì bình phương của bất kỳ số nguyên nào đều chia hết cho 3 hoặc dư 1 khi chia cho 3, và số $S_3 = 3x^2 + 2$ chia cho 3 dư 2.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng không có số nào trong số $S_5$, $S_7$ và $S_9$ là số chính phương hoàn hảo cho mọi số nguyên $x$. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất hiển nhiên rút ra từ phép phân tích nhân tử duy nhất thành thừa số nguyên tố: nếu một hình vuông chia hết cho số nguyên tố $p$ thì nó phải chia hết cho $p^2$. Cần lưu ý rằng $x^2 + 2$ không chia hết cho 5, $x^2 + 4$ không chia hết cho 7 và $3x^2 + 20$ không chia hết cho 3.

6. Đây là các số 18, 19, …, 27, 28. Trên thực tế, số $S_{11} = 11(x^2 + 10)$ phải chia hết cho $11^2$, do đó, số $x^2 - 1 = (x^2 + 10) - 11$ phải chia hết cho 11. Nhưng vì $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ nên $x - 1 = 11l$ hoặc $x + 1 = 11k$. Với $l = 2$ chúng ta nhận được $x = 23$, $S_{11} = 77^2$, vì vậy

$$x - n = 23 - 5 = 18$$

Và

$$18^2 + 19^2 + 20^2 + \dots + 28^2 = 77^2.$$

E. G. Gotman

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp tất cả vàng đều tập trung ở một quốc gia “giàu”. Sau đó, nếu sau khi phân phối lại ở quốc gia này mà vẫn còn trữ lượng vàng $M$ thì không ít hơn $M/13$ vàng phải được phân phối cho các quốc gia có chung biên giới với họ, không ít hơn $M/169$ vàng phải được phân phối cho các quốc gia có chung biên giới với họ, v.v.

Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm xem xét $\rho(A, B)$ giữa hai quốc gia $A, B$. Chúng tôi sẽ giả định rằng $\rho(A, B) = k$, nếu từ quốc gia $A$ một người có thể đi đến quốc gia $B$, vượt qua biên giới $k$ lần, nhưng điều đó là không thể, vượt qua chúng ít lần hơn. Bây giờ đã nói

*)Lời giải bài toán M315 đã được đăng trong số trước.

36

Đất nước này đã mất không quá một nửa số vàng.

Một quốc gia $k > 0$ từ một quốc gia giàu phải giáp với ít nhất một quốc gia $k-1$ từ một quốc gia giàu và do đó không thể giáp ranh với hơn sáu quốc gia $k+1$ từ một quốc gia giàu. Điều này có nghĩa là số quốc gia nằm ở khoảng cách $k+1$ với một quốc gia “giàu” vượt quá số quốc gia nằm ở khoảng cách $k$ không quá 6 lần. Các quốc gia nằm cách quốc gia “giàu” 1 không quá 7. Từ trên suy ra rằng số quốc gia nằm cách quốc gia “giàu” $k$ không vượt quá con số $7 \cdot 6^{k-1}$. Sau khi phân phối cho mỗi quốc gia nằm ở khoảng cách $k$ không quá $7 \cdot 6^{k-1}$ vàng (hãy nhớ rằng quốc gia “giàu” sau khi phân phối “đã nhận được” lượng vàng dự trữ là $M$), chúng tôi sẽ không tiêu nhiều vàng hơn

$$M + 7 \cdot \frac{M}{13} + 7 \cdot 6 \cdot \frac{M}{13^2} + \dots = M + \frac{7}{6} M \left[ \frac{6}{13} + \left( \frac{6}{13} \right)^2 + \dots \right] = 2M.$$

Điều này có nghĩa là ban đầu quốc gia “giàu” có không quá 2$M$ vàng, và do đó, sau khi phân phối lại được mô tả, quốc gia này đã mất không quá một nửa số vàng của mình. Việc yêu cầu phân phối lại được mô tả xuất phát từ thực tế là hai quốc gia giáp nhau $B$ và $C$ nằm ở cùng một khoảng cách với quốc gia thứ ba $A$ hoặc những khoảng cách này khác nhau một. Đây là trường hợp đặc biệt của “bất đẳng thức tam giác”:

$$\rho (A, B) + \rho (B, C) \geq \rho (A, C)$$

tại $\rho (B, C) = 1$ ($\rho (A, B)$ là khoảng cách từ $A$ đến $B$); chứng minh “bất đẳng thức tam giác” này cho khoảng cách của chúng ta nói chung.

Chúng ta cũng lưu ý rằng nếu ở khoảng cách $k$ tính từ quốc gia “giàu” có chính xác $7 \cdot 6^{k-1}$ quốc gia (xem Hình 1), thì trữ lượng vàng cần phân phối lại chính xác bằng 2$M$, và do đó $M$ bằng một nửa tên ban đầu của vàng của quốc gia “giàu”. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó bằng cách phân phối $A_i$ cho mỗi quốc gia

$$\sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho (A_i, A_k)$$ vàng, chúng tôi nhận được số tiền phân phối cần thiết. Trên thực tế, trước tiên, mỗi quốc gia $A_i$ nhận được ít nhất $M_i$ vàng, và do đó, mất không quá một nửa số cổ phiếu của mình do lựa chọn $M_i$. Thứ hai, nếu $A_i$ và $A_j$ là các quốc gia có chung đường biên giới thì $\rho (A_i, A_j) = 1$.

Quốc gia $A_i$ nhận được $\sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho (A_i, A_k)$ vàng, quốc gia $A_j - \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho (A_j, A_k)$. Thay $\rho (A_i, A_j) = 1$ vào bất đẳng thức tam giác:

$$\rho (A_j, A_k) + \rho (A_i, A_j) \geq \rho (A_i, A_k),$$

$$\rho (A_i, A_k) + \rho (A_j, A_j) \geq \rho (A_j, A_k),$$

37

chúng tôi nhận được:
$$\rho(A_j, A_k) + 1 \geq \rho(A_i, A_k),$$
$$\rho(A_i, A_k) + 1 \geq \rho(A_j, A_k),$$

đó là
$$1 - \rho(A_i, A_k) \geq -\rho(A_j, A_k),$$
$$- \rho(A_j, A_k) \geq -1 - \rho(A_i, A_k),$$

từ đâu cho bất kỳ số nào $k$:
$$13 \cdot M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k) \geq M_k \cdot 13 - \rho(A_j, A_k) \geq$$
$$\geq \frac{1}{13} \cdot M_k \times 13 - \rho(A_i, A_k),$$

đó là
$$13 \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k) \geq \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_j, A_k) \geq$$
$$\geq \frac{1}{13} \sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k),$$

và cứ hai nước giáp nhau thì sau khi phân phối lại, số lượng vàng chênh lệch thực sự không quá 13 lần.

Bình luận. Tổng $\sum_{k} M_k \cdot 13 - \rho(A_i, A_k)$ luôn tồn tại nếu số lượng quốc gia là hữu hạn (rõ ràng) hoặc nếu có thể chỉ ra một số $C$ sao cho ở tất cả các quốc gia không có nhiều hơn $C$ vàng (bằng chứng; “Từ sự đảo ngược các vị trí của các thuật ngữ…” của M. L. Gervera, xuất bản trong «Kvant» số 9 năm 1974, sẽ giúp bạn). Sự tồn tại của số $C$ như vậy được giả sử theo các điều kiện bài toán, nếu không thì câu lệnh bài toán sẽ trở thành sai. Xây dựng một ví dụ tương ứng.

G. V. Egorov

F322. Hai ngôi sao đang quay quanh một khối tâm chung với các ngôi sao sau rên rỉ có vận tốc tuyệt đối $v_1$ và $v_2$ với chu kỳ $T$. Khối lượng tối đa của ngôi sao và khoảng cách giữa chúng.

Vì vận tốc của các ngôi sao quay quanh tâm khối lượng của hệ thống không đổi về giá trị tuyệt đối, nên các ngôi sao chuyển động theo vòng tròn và các vòng tròn này đồng tâm và tâm chung của chúng nằm ở tâm khối lượng của hệ thống. Vị trí tương đối của các ngôi sao và khối tâm chung (điểm $O$) được thể hiện trên Hình 2.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $m_1$ và $m_2$ khối lượng của các ngôi sao và bằng $r_1$ và $r_2$ bán kính của các vòng tròn tương ứng. Gia tốc hướng tâm ($v^2/r$) được truyền tới mỗi ngôi sao bởi lực hấp dẫn $F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}$, trong đó $r = r_1 + r_2$ là khoảng cách giữa các ngôi sao.

Hãy viết phương trình chuyển động của các ngôi sao:
$$\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} = m_1 \frac{v_1^2}{r_1}$$ và $$\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} = m_2 \frac{v_2^2}{r_2}.$$

Vận tốc của các ngôi sao với chu kỳ xử lý và bán kính các vòng tròn tương ứng:
$$v_1 = \frac{2\pi r_1}{T}$$ và $$v_2 = \frac{2\pi r_2}{T}.$$

38

Hãy kết hợp bốn điều khiển cuối cùng trong hệ thống. Giải nó và xét đến $r = r_1 + r_2$, ta tìm được

$$r = \frac{T}{2\pi} (v_1 + v_2);$$

$$m_1 = \frac{(v_1 + v_2)^2 v_2 T}{2\pi\gamma};$$

$$m_2 = \frac{(v_1 + v_2)^2 v_1 T}{2\pi\gamma}.$$

Áp suất dưới bề mặt hình cầu cong của chất lỏng khác với áp suất khí phía trên nó $\Delta p = \frac{2\sigma}{r}$, trong đó $r$ là bán kính của hình cầu.

Trong trường hợp làm ướt hoàn toàn thành ống bằng nước, kinh nguyệt ở khuỷu tay hẹp và rộng có thể được coi là bán cầu có bán kính $r_1 = d_1/2$ và $r_2 = d_2/2$. Do đó, nếu mặt kinh nguyệt không nằm ở một đầu của mao mạch tương ứng, áp suất không khí phía trên chất lỏng ở một khúc cua hẹp sẽ lớn hơn áp suất nước bên dưới bề mặt $\Delta p_1 = 4\sigma/d_1 \approx 28,6$ cm nước. cm, và ở đầu gối rộng - $\Delta p_2 = 4\sigma/d_2 \approx 14,3$ cm nước. cm. Do đó, sự khác biệt về mức độ của mặt khum đó (xem Hình 3) có thể bằng

$$\Delta h = \frac{\Delta p_1}{\rho g} - \frac{\Delta p_2}{\rho g} \approx 14,3 \text{ cm}.$$

Trong trường hợp của chúng tôi $l < \Delta h$. Điều này có nghĩa là ít nhất một sụn chêm nằm ở cuối đầu gối.

Khi các đầu của ống hình chữ U đồng thời tiếp xúc với mặt nước, chất lỏng dâng lên trong mao quản hẹp sẽ dẫn đến áp suất không khí trong ống tăng đến mức nó sẽ thoát ra (bong bóng) qua đầu mao quản rộng.

Do đó, nước trong mao quản hẹp phải chạm tới đỉnh, nơi hình thành sự thay đổi bán kính $R_1 > r_1$. Vì vậy, ống phải được ngâm trong chất lỏng suốt chiều dài $l$.

Ở đầu dưới của một ống rộng, menask có thể có bán kính $R_2 \geq r_2$. Ở $R_2 = r_2$ áp suất không khí trong ống ngâm tối đa và bằng

$$\rho_{\text{max}} = \rho_{\text{atm}} = \rho g l + \frac{2\sigma}{r_2}.$$

Quá trình sủi bọt sẽ tiếp tục cho đến khi khối lượng áp suất giảm đủ để áp suất của nó trở thành $\rho_{\text{max}}$ hoặc thấp hơn một chút. Khum có bán kính $R_2 \geq r_2$ trong khuỷu tay rộng sẽ nằm ở đầu dưới của mao mạch, tức là ở độ sâu $l$.

Nếu các đầu của ống không chạm vào bề mặt nước cùng lúc thì hiện tượng sủi bọt sẽ không xảy ra hoàn toàn hoặc một phần. Trong trường hợp này, đáp số bài toán sẽ khác.

B. B. Bukhovtsev

F324. Một dải rộng $h = 5$ mm được cắt ra từ thấu kính hội tụ có tiêu cự $F = 50$ cm và đường kính $D = 5$ cm, các phần còn lại của thịt lợn được làm thành mẫu giao diện. Như vậy,

39

chúng ta cần tìm ranh giới vùng chồng nhau của dầm - khoảng cách $x$ trong Hình 4.

Trước hết, chúng ta xác định vị trí của ảnh nguồn - khoảng cách $f$ từ ảnh đến đường thẳng tương ứng và khoảng cách $H$ từ trục của hệ thống. Sử dụng công thức đường thẳng và tính đến tiêu cự của các đường thẳng mới bằng $F$, chúng ta tìm thấy $f$:

$$f = \frac{Fl}{l - F} = 3F.$$

Trục quang của các đường mới cách trục hệ thống một khoảng $h/2$ và song song với trục này. Điều này có nghĩa là nguồn nằm ở khoảng cách $h/2$ tính từ trục quang của mỗi đường và hình ảnh của nó ở khoảng cách $H - h/2$.

Hãy viết công thức tăng tuyến tính của dòng:

$$\frac{H - h/2}{h/2} = \frac{f}{l},$$

Ở đâu

$$H = \frac{h(l + f)}{2l} = \frac{h(l + 3F)}{2l} = 1,5h.$$

Bây giờ không khó để tìm thấy $x$. Từ sự giống nhau của tam giác $AOB$ và $BS_2K$ suy ra

$$\frac{AO}{S_2K} = \frac{OB}{BK},$$ hoặc $$\frac{(D - h)/2}{H} = \frac{x}{f - x}.$$

Từ đây

$$x = \frac{f(D - h)}{D - h + 2H} = \frac{3F(D - h)}{D + 2h} = 112,5\text{ см.}$$

◆

Vì dao động của quả bóng trên nan hoa là một đàn xếp, nên độ lớn tuyệt đối của lực đàn hồi tác dụng lên quả bóng khi nó được trộn từ vị trí cân bằng tỷ lệ thuận với sự pha trộn này:

$$F_{\text{упр}} \sim x,$$ hoặc $$F_{\text{упр}} = k_1x,$$ trong đó $k_1$ là hệ số tỷ lệ. Do đó, nan hoa tương đương với một lò xo thông thường có độ cứng $k_1$.

Khi đó đối với tần số dao động $v_1$ chúng ta có thể viết:

$$v_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1}{m}}$$

(m là khối lượng của quả bóng).

Trong trường hợp thứ hai, khi quả bóng được gắn vào một lò xo (chúng ta biểu thị độ cứng của nó bằng $k_2$), tần số dao động bằng

$$v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_2}{m}}.$$

40

Các nan hoa và lò xo gắn chặt với nhau có thể coi là hai lò xo mắc nối tiếp với độ cứng $k_1$ và $k_2$. Chúng ta hãy coi chúng như một lò xo và biểu thị độ cứng $k$ của nó thông qua các giá trị $k_1$ và $k_2$. Vì tổng biến dạng của hai lò xo nối tiếp bằng tổng các biến dạng của chúng và lực đàn hồi sinh ra trong các lò xo trùng với giá trị tuyệt đối, nên $x_0$ tổng = $x_1 + x_2$, hoặc $\frac{F_{\text{упр}}}{k} = \frac{F_{\text{упр}}}{k_1} + \frac{F_{\text{упр}}}{k_2}$. Do đó, $k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$ và $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 k_2}{(k_1 + k_2) m}}$.

Biểu thị $k_1$ và $k_2$ từ các đẳng thức (1) và (2), chúng ta thu được kết quả cuối cùng

$$v = \frac{v_1 v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}.$$

N. Sh. Tiếng Slovodetsky

F326. Mối nối được đóng bằng nắp, được làm cứng ở phía trên, trong đó có hai lò xo. Áp suất trong chất lỏng sẽ thay đổi như thế nào nếu hai lò xo hợp nhất? Áp suất ban đầu trong chất lỏng là $p_0$, hệ số căng bề mặt là $\sigma$, bán kính của mỗi lò xo là $r_0$. Hãy xem xét quá trình đẳng cự.

Giả sử hệ đang xét ở trạng thái không trọng lượng. Điều này tương đương với việc không có áp suất thủy tĩnh và do đó áp suất trong chất lỏng luôn bằng nhau. Chúng ta hãy viết điều kiện cân bằng cho mỗi lò xo trước khi hợp nhất:

$$p_0 + \frac{2\sigma}{r_0} = p_r,$$

trong đó $\frac{2\sigma}{r_0}$ là áp suất bổ sung gây ra bởi sự kết hợp của sức căng bề mặt của chất lỏng, $p_r$ là áp suất khí trong lò xo.

Sau khi hợp nhất hai lò xo thành một, áp suất của khí sẽ không thay đổi, vì thể tích mà khí chiếm giữ không đổi và áp suất bổ sung sẽ thay đổi do bán kính của lò xo trở nên khác nhau. Ta tìm bán kính $r$ của lò xo mới từ điều kiện dựng thể tích:

$$2 \frac{4}{3} \pi r_0^3 = \frac{4}{3} \pi r^3.$$

Từ đây

$$r = r_0 \sqrt[3]{2}.$$

Điều kiện cân bằng của lò xo này có thể được biểu diễn dưới dạng

$$p + \frac{2\sigma}{r} = p_r$$

(p là áp suất mới trong chất lỏng). Khi đó từ (1) - (3) độ biến thiên áp suất trong chất lỏng bằng

$$\Delta p = p - p_0 = \frac{2\sigma}{r_0} \left(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right).$$

Hãy thử tự mình giải quyết bài toán này đối với trường hợp các lò xo có bán kính khác nhau.

R. L. Enfidzhan

41

F327. Xác định số đọc của ampe điện động $A_1$ và ampe điện từ $A_2$ (Hình 6), bỏ qua điện trở trong của chúng, nếu biết rằng điện áp $u = u_1 + u_2 \sin \omega t$ được đặt vào các cực $A$—$B$ và $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Khoảng cách giữa các đầu cuối của thiết bị là không đáng kể; độ rung của kim dụng cụ không được thay thế.

Cơm. 6.

Cơm. 7.

Trước hết, chúng ta hãy nhớ lại cấu tạo của các bộ khuếch đại từ điện và điện động lực. Ở cường độ dòng điện của hệ thống điện từ, một dòng điện thay đổi chạy qua các vòng của khung di chuyển nhẹ được gắn chặt vào con trỏ. Khung nằm giữa các vị trí của nam châm vĩnh cửu. Hai lò xo xoắn ốc nối các cuộn dây của khung với mạch điện bên ngoài.

Lực từ tác dụng lên hệ quy chiếu mang dòng điện tỷ lệ thuận với độ lớn của dòng điện trong hệ quy chiếu, nghĩa là mômen quay của các lực này cũng tỷ lệ thuận với độ lớn của dòng điện thay đổi. Khi khung được quay, một mô men phản tác dụng sẽ xuất hiện để điều khiển lực của lò xo. Khoảnh khắc này tỷ lệ thuận với góc quay của khung. Khi mômen phản lực của lực điều khiển bằng mô men quay của lực từ thì trạng thái cân bằng sẽ được thiết lập. Như vậy, góc quay của khung trong cường độ điện từ tỉ lệ thuận với cường độ dòng điện biến đổi.

Trong cường độ điện động, khung di động được đặt bên trong một cuộn dây đứng yên, các vòng của cuộn dây này đã được đưa vào mạch điện bên ngoài (nối tiếp hoặc song song với các vòng của khung di động). Trong trường hợp này, từ trường của cuộn dây đứng yên không phải là hằng số mà thay đổi tỉ lệ với cường độ dòng điện. Do đó, lực từ tác dụng lên khung chuyển động và mômen quay của chúng thay đổi tỷ lệ với bình phương dòng điện. Mô men phản tác dụng của lực lò xo, như trong trường hợp đầu tiên, tỷ lệ thuận với góc quay của khung. Do đó, góc quay của khung, và do đó, mũi tên của thiết bị hệ thống điện động lực, tỷ lệ với bình phương của dòng điện thay đổi.

Mọi thứ chúng tôi nói về cơ bản đều liên quan đến dòng điện một chiều. Các thiết bị sẽ hoạt động như thế nào khi chúng được kết nối với một mạch điện xoay chiều? Rõ ràng, mômen quay ở cả hai dụng cụ sẽ thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, do quán tính, khung kẹp không theo kịp sự thay đổi của mô men quay mà chỉ phản ứng với giá trị trung bình của nó nếu chu kỳ thay đổi của dòng điện nhỏ hơn nhiều so với chu kỳ dao động của chính khung (như giả định trong điều kiện bài toán).

Do đó, góc quay của khung ampe điện từ sẽ tỷ lệ với giá trị trung bình của dòng điện xoay chiều trong chu kỳ, và góc quay của ampe điện động sẽ tỷ lệ với giá trị trung bình của bình phương dòng điện trong chu kỳ.

Vì giá trị trung bình trong một chu kỳ của hệ thống điện từ sẽ không phản ứng với dòng điện như vậy. Thiết bị này chỉ có thể được sử dụng để thay đổi dòng điện một chiều.

Các thiết bị hệ thống điện động lực phù hợp cho cả dòng điện một chiều và xoay chiều. Nói chung chúng được phân loại theo dòng điện một chiều. Khi bộ khuếch đại được nối với mạch điện xoay chiều, góc quay của khung tỉ lệ với giá trị trung bình của bình phương $I^2(t)$ trong chu kỳ, do đó, số đọc của ampe điện động bằng $\sqrt{I^2(t)}$, tức là giá trị hiệu dụng (hiệu dụng) của dòng điện xoay chiều.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán. Điện áp $u$ cung cấp cho các cực $A$—$B$ có ​​hai thành phần - không đổi ($u_1$) và biến đổi ($u_2$ sin $\omega t$). Cả hai dòng điện (xoay chiều và một chiều) đều đi qua ampe $A_1$. Dòng điện một chiều không thể đi qua ampe $A_2$ (trong mạch có tụ điện), nhưng nó không làm thay đổi dòng điện xoay chiều nên số đọc của nó bằng 0.

42

Ampe $A_1$ thể hiện điều gì? Đối với thành phần dòng điện được xây dựng, mạch có thể được vẽ lại như trong Hình 7. Tổng điện trở của mạch này bằng $3R$.

Tần số $\omega$ của thành phần dòng điện xoay chiều bằng $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, tức là $\omega L = \frac{1}{\omega C}$. Điều này có nghĩa là tổng điện trở của đoạn mạch chứa cuộn cảm và tụ điện $\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$ bằng không. Do đó, mạch có thể được thay thế bằng mạch như trong Hình 8. Điện trở của mạch như vậy là $2R$.

Ptak, dòng điện chạy qua ampe điện tử $A_1$

$$I_1(t) = \frac{u_1}{3R} + \frac{u_2}{2R} \sin \omega t.$$

Số chỉ của ampe $A_1$ bằng nhau

$$I_1 = \sqrt{\frac{I_1^2}{2(t)}} = \frac{1}{6R} \sqrt{(2u_1 + 3u_2 \sin \omega t)^2} = \frac{1}{6R} \sqrt{4u_1^2 + 4,5u_2^2}.$$

V. A. Pozdezhev

F329 *). Chắc hẳn nhiều bạn đã nhận thấy rằng khi bước lên cát ướt, cát trở nên nhẹ nhàng hơn. Điều này là do thực tế là cát trở nên khô. Nhưng ngay khi bạn tháo mũi ra, dấu vết do mũi để lại lập tức tràn đầy nước. Giải thích hiện tượng này.

Để giải thích điều gì xảy ra với cát trên bờ sông, hãy bắt đầu với… những quả bóng. Những quả bóng giống hệt nhau có thể được đặt trên một mặt phẳng sao cho mỗi quả bóng chạm vào sáu quả bóng khác. Trong các lỗ giữa các quả bóng của lớp đầu tiên, bạn có thể đặt các quả bóng của lớp thứ hai. Mỗi người trong số họ sẽ chạm vào ba quả bóng của lớp dưới và sáu quả bóng lân cận của lớp đó, v.v. Việc sắp xếp các quả bóng thu được theo cách này được gọi là đóng gói các quả bóng. Nếu bạn phá vỡ sự đóng gói chặt chẽ bằng cách di chuyển các quả bóng của một trong các lỗ giữa các quả bóng của lớp dưới, khoảng cách giữa các quả bóng sẽ tăng lên. Khối lượng của toàn bộ hệ thống cũng sẽ tăng lên. Điều này có nghĩa là nếu một hệ gồm các quả cầu dày đặc chịu tác dụng của lực làm vỡ phần đóng gói chặt thì thể tích của hệ sẽ tăng do khoảng cách giữa các quả bóng tăng lên.

Bất kỳ phương tiện dạng hạt nào cũng hoạt động tương tự. Ví dụ, lấy hạt kê (hoặc cà phê), đổ đầy vào ly, lắc nhẹ ly để các hạt được sắp xếp, tạo thành gói dày đặc nhất có thể. Sau đó ấn xuống kê. Áp lực sẽ dẫn đến sự gia tăng thể tích mà các hạt chiếm giữ, nghĩa là vi phạm việc đóng gói chặt chẽ. Một số hạt sẽ tràn ra ngoài. Nếu bây giờ bạn di chuyển nhẹ xung quanh tấm kính để các hạt lại được “đóng gói” càng chặt càng tốt, thì tấm kính sẽ không được lấp đầy lên trên.

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại bãi cát trên bờ. Nó cũng được đóng gói chặt chẽ. Khi áp lực tác dụng lên cát, lớp đệm dày đặc bị phá hủy và thể tích của cát tăng lên do khoảng cách giữa các cát tăng lên. Nước từ các lớp cát phía trên thấm sâu hơn, lấp đầy những khoảng trống ngày càng lớn này. Cát dường như đang khô dần. Khi bàn chân được tháo ra, lớp đệm dày đặc được phục hồi và nước di chuyển từ các không gian mới được thu hẹp sẽ lấp đầy dấu vết do bàn chân để lại.

N. Sh. Tiếng Slovodechkiy

*) Lời giải bài toán F328 sẽ được đăng ở số tiếp theo.