Olympic Toán

60

Olympia
trong toán học
V. L. Gutenacher

Kỳ thi Olympic Toán toàn Nga lần thứ IX được tổ chức từ ngày 17 tháng 4 đến ngày 23 tháng 4 tại Saratov. Theo “Quy định” mới, học sinh tham dự Olympic năm nay chỉ chấp nhận các đội từ các nước cộng hòa và những người chiến thắng trong Olympic toàn Nga năm ngoái (tổng cộng 144 người). Thế vận hội, như mọi khi, được tổ chức thành hai vòng (18 và 20 tháng 4), riêng biệt cho lớp tám, chín và mười. Từ bộ bài toán do các thành viên ban giám khảo đề xuất và gửi đến «Kvant», các varnatas đã được biên soạn cho từng lớp.

Olympic bài toán được gửi từ Saratov, Moscow, Leningrad, Kazan, Sverdlovsk, Kharkov, Yaroslavl và Chernovtsy. Chúng ta hãy lưu ý rằng một số bài toán của ngày thứ hai của Thế vận hội Olympic đã được trình bày trong khoa học toán học.

Các điều kiện gửi thư dành cho tất cả những điều kiện được cung cấp tại Olympic bài toán (ngoại trừ ba) đã được xuất bản trong «Kvant» Số 7, 8, 9 trong phần “Vấn đề «Kvant»” và do đó chúng tôi không đặt chúng ở đây. (Hoàn thành kỳ thi Olympic Varnat trên tạp chí “Matematika ở trường”, 1975, số 6.)

Năm nay, giống như năm ngoái, rất nhiều bài toán được liên kết với các bảng. Học sinh chuẩn bị cho Olympic toán tiếp theo có thể được khuyên nên học cách giải bài toán như vậy một cách an toàn.

Thật kỳ lạ, những người tham gia Olympic đã giải được bài toán tương đối đơn giản trong hình học một cách kém cỏi. Họ đã giải quyết thành công hơn nhiều các bài toán đại số và logic, và nhiều bài toán khác nhau, đôi khi ban giám khảo không biết, đã tìm thấy lời giải.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phân tích ngắn gọn về ba bài toán đó không có trong “Vấn đề «Kvant»”.

Lớp 8, bài toán Số 3.
Chu vi nhỏ nhất mà một hình 32 giác lồi có thể có là bao nhiêu, tất cả các đỉnh của nó đều nằm trong các nút của tờ giấy cuối cùng tính từ ô bên 1?

bài toán này tương đương với cái tiếp theo. Đặt $O$ là nút giấy ca rô ở cạnh ô 1. Chúng ta cần xác định 32 vectơ khác 0 bắt đầu từ điểm $O$ sao cho a) các đầu của vectơ nằm trong các nút giấy ca rô;
b) các vectơ không trùng phương;
c) tổng độ dài của các vectơ này là nhỏ nhất.

Hình 1 thể hiện 32 vectơ thỏa mãn điều kiện a) - b): đây là bốn vectơ có độ dài 1, bốn vectơ có độ dài $\sqrt{2}$, tám vectơ có độ dài $\sqrt{5}$, tám vectơ có độ dài $\sqrt{10}$ và tám vectơ có độ dài $\sqrt{13}$. Ptak, chu vi nhỏ nhất là $4(1 + \sqrt{2}) + 8(\sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{13})$.

Lớp 9, bài toán Số 1.
Trong hình sáu hàm lồi $A_1A_2A_3A_4$ $A_5A_6$ trung điểm của các đường chéo $A_6A_2$, $A_1A_3$, $A_2A_4$, $A_3A_5$, $A_4A_6$, $A_5A_1$ được ký hiệu bằng các ký hiệu tương ứng là $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, $B_5$, $B_6$. Hãy chứng minh rằng nếu hình sáu hàm $B_1B_2B_3B_4$ $B_5B_6$ lồi thì diện tích của nó nhỏ hơn diện tích $A_1A_2A_3A_4$ $A_5A_6$ 4 lần.

Cơm. 1.

61

Xét các hình tứ giác $A_1A_2A_3A_6$ và $B_3B_4B_5B_6$ (xem Hình 2). Đường chéo $A_1A_3$ của tứ giác thứ nhất song song với đường chéo $B_4B_6$ của hình thứ hai và $|A_1A_3| = 2|B_4B_6|$, vì đường chéo $B_4B_6$ là đường trung bình của tam giác $A_1A_3A_5$. Tương tự, đường chéo $A_2A_3$ song song với đường chéo $B_3B_5$ và $|A_2A_3| = 2|B_3B_5|$, vì đường chéo $B_3B_5$ là đường trung bình trong tam giác $A_2A_6A_4$.

Vì diện tích của một tứ giác lồi bằng một nửa tích của chiều dài các đường chéo và sin của góc giữa chúng nên chúng ta thấy rằng diện tích của tứ giác $B_3B_4B_5B_6$ nhỏ hơn bốn lần diện tích của tứ giác $A_1A_2A_3A_6$. Tương tự, diện tích tứ giác $B_6B_1B_2B_3$ (không thể hiện trên hình) nhỏ hơn bốn lần diện tích tứ giác $A_3A_4A_5A_6$. Các hình tứ giác được chỉ ra tạo thành sự tương ứng giữa hình lục giác thứ nhất và hình lục giác thứ hai, và do đó chúng tôi yêu cầu sự tương ứng đó phải được chứng minh.

Lớp 10, bài toán Số 2
Hãy chứng minh rằng với $a, b$ dương thì bất đẳng thức $a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq ab (a + b) + bc (b + c) + ac (a + c)$ đúng.
Vì biểu thức $a^3 + b^3 + c^3 + 3abc$ đối xứng với $a, b, c$, nên chúng ta có thể giả sử không mất tính tổng quát rằng $a \geq b \geq c > 0$. Biểu thức bằng văn bản có thể được chuyển đổi thành như sau:

$$(a - b)^2 (a + b - c) + c (c - a) (c - b).$$
Từ giả định $a \geq b \geq c > 0$, rõ ràng suy ra rằng

$$(a - b)^2 (a + b - c) \geq 0$$
và $c (c - a) (c - b) \geq 0$.

Cộng hai bất đẳng thức này ta được bất đẳng thức mong muốn.

Cơm. 2.

Tại Olympic Toán học Quốc tế lần thứ sáu, bài toán sau đây đã được đề xuất:

Gọi $a, b$ và $c$ là độ dài một hàng của một tam giác nào đó. Chứng minh rằng $a^2 (b + c - a) + b^2 (c + a - b) + c^2 (a + b - c) \leq 3 abc$.

Dễ dàng nhận thấy rằng bất đẳng thức này trùng với bất đẳng thức bài toán số 2 vừa trình bày, nhưng điều kiện bổ sung đơn giản hóa lời giải.

Chúng tôi có thể cung cấp cho độc giả «Kvant» một quan điểm khác bài toán từ danh mục đầu tư của ban giám khảo; lẽ ra nó phải được đưa vào loại thứ hai ở lớp chín. Ban giám khảo vào phút cuối đã loại trừ điều này bài toán do quá tải của varnat, và cũng vì nó có thể dễ dàng giải quyết bằng phương pháp đảo ngược*:

Trong một đoạn đường tròn cho trước, hai đường tròn nội tiếp tùy ý, tiếp xúc nhau tại điểm M. Tìm tập hợp các điểm M.

Và cuối cùng, một vài lời về ý nghĩa của việc “giải bài toán” tại Thế vận hội. Giải bài toán không phải là tất cả: bạn cần có khả năng viết chính xác lời giải cho luận điểm. Tại Olympic, nhiều bài toán phức tạp, không chuẩn đã được đề xuất, việc ghi lời giải thực sự đòi hỏi một kỹ năng nhất định. Ở đây, trước hết, thiếu sự chấp nhận chung về các tên gọi và thuật ngữ. Học sinh thoát khỏi những tình huống khó khăn theo những cách khác nhau: một số thành công hơn, một số khác kém thành công hơn. Họ đưa ra các định nghĩa của riêng mình, giới thiệu các tên gọi riêng của họ, và đôi khi bồi thẩm đoàn được viết thư để giải mã nó khi họ đến đưa ra một “cuộc tham vấn”. Thông thường, bất chấp sự phức tạp của cách trình bày, lời giải bài toán hóa ra hoàn toàn chính xác theo quan điểm toán học - ở một mức độ nào đó, thậm chí có thể biện minh một cách hợp lý cho sự nhầm lẫn giữa các cụm từ và cụm từ. Tất cả những vấn đề trên chủ yếu liên quan đến M339 («Kvant» Số 8) và M332 («Kvant» Số 7) đã cho. Cả hai vấn đề này sau này sẽ được thảo luận trong «Kvant»: chúng tôi khuyên tất cả học sinh, cảnh sát huyện tham gia Olympic, ngay cả những người đã giải được những câu hỏi này

*) Xem «Kvant», 1971, số 8, bài viết của A.P. Savin “Sự đảo ngược và bài toán của Apollo”.