Olympic tại MIIT

71

Olympic tại MIIT

Vào ngày 6 tháng 4 năm 1975, một cuộc thi Olympic toán học truyền thống đã được tổ chức tại Viện Kỹ sư Vận tải Đường sắt Moscow.

Truyền thống của Olympic MIIT tương tự như truyền thống của Olympic toán học thành phố, nhân tiện, năm nay MIIT đã trực tiếp tham gia. Tuy nhiên, một hoặc hai bài toán cho mỗi lớp tương ứng với trình độ thi tuyển sinh đại học.

Một trong những bài toán bài toán được đề xuất cho học sinh các lớp (số 2 cho lớp 8), có trọng lượng đơn giản nhưng không hề nhỏ lời giải, chưa bao giờ được học sinh giải được.

370 học sinh từ lớp 8-10 đã tham gia Olympic (số 2 dành cho lớp 8), có trọng lượng đơn giản nhưng không hề nhỏ lời giải và chưa bao giờ được học sinh giải được.

Đây là danh sách bài toán:

lớp 8

1. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn; tâm nằm bên trong tam giác. Có tam giác nào nội tiếp một đường tròn có cạnh lớn hơn các cạnh tương ứng của tam giác ABC không? (Chúng tôi không biết lời giải cơ bản tương tự như bài toán trong ví dụ ba chiều.)

2. Hai người chơi tic-tac-toe trên một tờ giấy dài vô tận. Người chiến thắng là người đầu tiên đặt được 5 cây thánh giá (ngón chân) theo chiều ngang hoặc chiều dọc liên tiếp. Chứng minh rằng cả hai người chơi khi đánh đúng đều không chơi tùy tiện.

3. Một tam giác đều và một điểm trong đó được cho trên mặt phẳng. Có phải luôn luôn có thể có một chuỗi các phản xạ qua gương so với các cạnh của một tam giác hoặc tích của chúng để dịch chuyển một điểm bên trong tam giác đó không?

4. TỪ 1975³ các khối rỗng giống hệt nhau ở cạnh 1 mm, một khối được gấp ở cạnh 1975 mm. Quái vật Sukhofedka nằm trong khối góc. Anh ta có thể di chuyển khối lập phương trên bất kỳ mặt nào, nhưng không phải ở đỉnh hoặc cạnh, và đi vào khối liền kề. Sukhofedka có thể đi vòng quanh tất cả các hình khối một lần và đến khối trung tâm không?

5. Mỗi cạnh của tam giác được chia thành 1 phần bằng nhau. Các đường thẳng song song với hai cạnh của tam giác được vẽ qua các điểm chia. Trong mỗi tam giác tạo thành nằm bên trong tam giác đã cho, các số 1 hoặc -1 được viết sao cho số viết trong tam giác bằng tích các số tìm được trong các tam giác có chung một cạnh với tam giác đã cho. Chứng minh rằng các tam giác có chung một đỉnh với tam giác ban đầu đều chứa các số.

lớp 9

Số 1, 2 và 3 giống bài toán với số 2, 4, 5 của lớp 8.

4. Cho một bảng chữ cái gồm các chữ cái a, b, c, a−1, b−1, c−1. Trong một từ bao gồm các chữ cái trong bảng chữ cái này, các chữ cái liền kề xx−1 hoặc x−1x có thể được rút ngắn (tức là bỏ đi). Có thể viết một từ từ các chữ cái trong bảng chữ cái này mà không thể rút ngắn một cặp chữ cái nào, nhưng bằng cách gạch bỏ tất cả các lần xuất hiện của bất kỳ chữ cái x nào và “nghịch đảo” x−1 của nó, có thể rút ngắn hoàn toàn tất cả các từ?

5. Có một số bao gồm số 0 và 1975 chữ số thập phân. Việc làm tròn liên tiếp sẽ được thực hiện, bắt đầu từ chữ số có nghĩa nhỏ nhất (đến chữ số chẵn gần nhất). Kết quả là một. Số nhỏ nhất có thể được đưa ra đầu tiên là bao nhiêu?

lớp 10

1. Cho một tam giác vuông (p−1) x²—(pk−2)x−1, 0 < k < 1; p > 0. Chứng minh rằng tồn tại nghiệm duy nhất của đa thức nằm giữa k và 1.
2. Cho hình bình hành ABCD. CAB + DBC = 90°. Chứng minh ABCD là hình thoi hoặc hình chữ nhật.
3. Tương tự bài toán như số 4 của lớp 9 nhưng với số lượng chữ cái tùy ý.
4. Tương tự bài toán như số 2 của lớp 8.
5. Cho một dãy a₀, a₁, a₂, …, aₙ, aₙ+1, …. Đặt a₀ = 0, a₁ = 1, aₙ+1, aₙ+2, …. Có số hạng dương nào trong dãy chia hết cho: a) 4; b) 6; c) 154?

A. V. Chernavsky