Felix Klein

Felix Klein

Felix Klein1849—1925

Felix Klein qua đời vào ngày 22 tháng 6 năm 1925. Danh tiếng của một nhà toán học vĩ đại đã đến với ông nhờ công trình ông đã hoàn thành trong suốt một thập kỷ. Klein ngừng tích cực nghiên cứu toán học ở tuổi 33, nhưng cho đến cuối ngày, ông vẫn là trung tâm của đời sống khoa học và tổ chức, hoàn toàn cống hiến hết mình cho hoạt động giảng dạy và văn học.

1. “Spurs hiệp sĩ”

F. Klein sinh năm 1849 tại Düsseldorf. Tại đây anh đã tốt nghiệp trung học; năm 1865 ông vào Đại học Bonn. Ngay năm sau, Giáo sư Julius Plücker (1801–1868) thuê một sinh viên mười bảy tuổi làm trợ lý vật lý. Plücker bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình với tư cách là một nhà hình học, nhưng dần dần chuyển sang vật lý thực nghiệm. Tuy nhiên, trong những năm cuối đời, sau hai mươi năm nghỉ ngơi, Plücker quay trở lại với hình học. Klein viết: “Bước ngoặt này đóng một vai trò quyết định trong sự phát triển của chính tôi. Klein đã chuẩn bị ấn bản hồi ký cuối cùng của Plücker (1869) sau khi di cảo. Đây có thể là lý do tại sao luận án của ông (1868), mà theo chính Klein, ông “đã giành được những chiếc cựa hiệp sĩ” và ấn phẩm đầu tiên của ông (1869) là hình học.

Mất đi người thầy của mình, Klein trở thành một “hiệp sĩ sai lầm”. Ông đến thăm các trung tâm toán học chính của Đức (Göttingen, Berlin), thiết lập mối quan hệ cá nhân với Clebsch, Weber, Weierstrass. Một nhà khoa học trẻ đầy triển vọng, ham muốn và biết học hỏi sẽ được chú ý ngay lập tức. Mối liên hệ của Klein với các đồng nghiệp cũng không kém phần quan trọng. Đặc biệt hạnh phúc là tình bạn của Klein với Sophus Lie vĩ đại người Na Uy (1842-1899); họ gặp nhau vào năm 1870 tại Berlin. S. Lee hơn Klein bảy tuổi, nhưng vào năm 1870, ông chỉ bước những bước đầu tiên trong lĩnh vực hình học. |

Chẳng bao lâu sau Klein và Lee sẽ đến Paris. Tại đây, họ làm quen với kỹ thuật của các nhà hình học người Pháp, những người có thể thu được các kết quả hình học quan trọng một cách dễ dàng đáng kinh ngạc, “xuyên không khí” (S. Lee). Đặc biệt quan trọng đối với số phận khoa học xa hơn của Klein và Lee là cuộc gặp gỡ của họ với Camille Jordan (1838-1922). Ngay trong năm 1870, Jordan đã xuất bản một công trình sâu rộng về lý thuyết nhóm hữu hạn, thu hút sự chú ý rộng rãi đến công trình của Galois (1811-1832). Có lẽ tác phẩm đầu tiên của Klein, dành cho việc nghiên cứu hình học của cái gọi là bề mặt Kummer, nghiên cứu đại số mà Jordan đã thực hiện trước đây, được dùng như một “vật thông qua” cho Jordan cho bạn bè của anh ấy.

Chiến tranh Pháp-Phổ buộc Klein phải rời Pháp. Khi cuộc chiến bắt đầu, Klein bị bệnh sốt phát ban; Sau khi khỏi bệnh, ông định cư ở Göttingen. Đối với Klein, thời điểm đạt được những thành tựu to lớn đang đến gần. N. Bourbaki viết rằng Klein đã hoàn thành “thời kỳ hoàng kim” của hình học. Nhưng trước khi nói về sự kết thúc rực rỡ của thế kỷ này, chúng ta hãy nhớ lại sự khởi đầu của nó.

2. “Thời đại hoàng kim” của hình học

Trở lại thế kỷ 17, Desargues (1593-1662) và Pascal (1623-1662) đã thu được những kết quả hình học đáng chú ý bằng cách sử dụng thiết kế trung tâm. Những kết quả này đã bị lãng quên trong gần một thế kỷ rưỡi. Gaspard Monge (1746-1818) một lần nữa thu hút sự chú ý đến những khả năng to lớn của phương pháp thiết kế; ông đã nói về điều này trong một khóa học về hình học mô tả mà ông dạy ở Trường Bách khoa. N. Bourbaki xác định thời kỳ “hoàng kim” của hình học là từ “Hình học mô tả” (1795) của Monge.

Trong số những thính giả của Monge có Victor Poncelet (1788-1867). “Đặc điểm nâng anh ta lên trên tất cả những người tiền nhiệm là một loại trực giác hình học mới - “tư duy xạ ảnh” (Klein). Poncelet đã tạo ra hình học xạ ảnh trong hai năm bị giam cầm ở Saratov sau Chiến tranh năm 1812. Poncelet đã chia sẻ kết quả của mình với các bạn tù, những người cũng đã nghe Monge tại Ecole Polytechnique. Những kết quả này được xuất bản vào năm 1822 trong “Chuyên luận về các đặc tính xạ ảnh của các hình.”

Giống như những người tiền nhiệm của mình, Poncelet bổ sung cho mỗi đường thẳng một điểm *ở vô cực, coi rằng tất cả các đường thẳng song song với nhau đều có một điểm chung ở vô cực (“giao nhau” tại nó). Mọi điểm ở vô cực đều tạo thành một đường thẳng ở vô cực. Trên một mặt phẳng hoàn chỉnh, sự song song trở thành một trường hợp đặc biệt của giao điểm và không cần xem xét đặc biệt (ví dụ: phát biểu rằng một đường thẳng song song với nó đi qua một điểm bên ngoài đường thẳng sẽ trở thành phát biểu rằng một đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau, một điểm thông thường và điểm kia ở vô cực). Với phép chiếu trung tâm, điểm cuối có thể không có hình ảnh (“đi đến vô cực”), nhưng trên một mặt phẳng chứa đầy các điểm ở xa vô hạn, ánh xạ này đã là một đối một.

Thiết kế trung tâm chuyển mặt phẳng này sang mặt phẳng khác; Sau khi thực hiện một số phép chiếu liên tiếp, chúng ta có thể quay trở lại mặt phẳng ban đầu, thu được sự biến đổi của mặt phẳng này. Những phép biến đổi như vậy (chúng bắt đầu được gọi là phép chiếu) bao gồm sự dịch chuyển, tính đồng nhất và phép giãn nở. Các phép biến đổi xạ ảnh là một đối một (trên mặt phẳng đã hoàn thành) và biến đổi các đường thẳng thành các đường thẳng (sau này hóa ra bất kỳ phép biến đổi nào có các thuộc tính này đều là xạ ảnh). Các phép biến đổi xạ ảnh lấy một đường thẳng ở vô cực vào chính nó được gọi là affine; Các phép biến đổi affine là một-một trên mặt phẳng thông thường. Poncelet nghiên cứu các đối tượng hình học được bảo toàn dưới các phép biến đổi xạ ảnh. Hóa ra là dưới các phép biến đổi xạ ảnh, phần hình nón cũng biến đổi thành phần hình nón (nhưng, ví dụ, một hyperbol có thể biến đổi thành một parabol, và bất kỳ phần hình nón nào cũng có thể được biến đổi thành một đường tròn bằng phép biến đổi xạ ảnh). Quan sát sau đây tỏ ra cực kỳ hiệu quả. Đặt $A$, $B$, $C$, $D$ là các điểm nằm trên cùng một đường thẳng, $\{A,B,C,D\}=\dfrac{|AC|\cdot|BD|}{|AD|\cdot|BC|}$ là double hoặc tỷ lệ không điều hòa của bốn điểm. Dưới một số phép biến đổi xạ ảnh, giả sử các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ chuyển đến các điểm $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ (chúng nhất thiết phải nằm trên cùng một đường thẳng). Khi đó $\{A,B,C,D\}=\{A',B',C',D'\}$, tức là, dưới các phép biến đổi xạ ảnh, mối quan hệ kép của bốn điểm được giữ nguyên. Ví dụ: nếu một trong các điểm $D$ là một điểm ở xa vô cùng, thì $\{A,B,C,D\}$ được đặt bằng $\dfrac{|AC|}{|BC|}$‚ và chúng ta nhận được rằng dưới các phép biến đổi affine, tỷ lệ độ dài của các đoạn nằm trên cùng một đường thẳng được giữ nguyên (tại sao?).

Tiếp theo, Poncelet cố gắng loại bỏ các trường hợp ngoại lệ về sự sắp xếp lẫn nhau của các đường conic. Ví dụ, tại sao hai hình elip có thể cắt nhau tại bốn điểm, nhưng một cặp đường tròn lại có nhiều nhất là hai điểm? Câu trả lời cho câu hỏi này thật đáng ngạc nhiên đáp số. Ngoài một cặp điểm giao nhau thực, các vòng tròn còn có một cặp điểm chung phổ quát (giống nhau cho tất cả các đường tròn trên mặt phẳng!) Không được chú ý do thực tế là chúng… tưởng tượng và đồng thời cách xa vô tận. Những điểm này được gọi là chu kỳ.

Bây giờ - vài lời về bốn nhà toán học người Đức: Ferdinand Möbius (1790-1868), Jacob Steiner (1796-1863), Christian von Staudt (1798-1867) và Plücker đã được đề cập. Tên tuổi của họ gắn liền với cuộc đấu tranh gay gắt giữa các hướng giải tích và tổng hợp trong hình học.

Ở đây, các từ “phân tích” và “tổng hợp” được sử dụng theo nghĩa không chuẩn: hình học giải tích sử dụng phương pháp tọa độ, do đó có thể sử dụng đại số và phân tích trong hình học; hình học tổng hợp hoạt động với các cấu trúc không gian trực tiếp.

Cuộc đọ sức khốc liệt nhất là giữa nhà phân tích Plücker và Steiner tổng hợp; Möbius (nhà phân tích) và Staudt (nhà tổng hợp) tránh xa cuộc đấu tranh. Klein rất dễ dàng tham gia vào cuộc đấu tranh về phía các nhà phân tích, nhưng anh ấy đã cố gắng vượt lên trên cuộc xung đột, có lẽ được hướng dẫn bởi sự hướng dẫn của người bạn của anh ấy, nhà sinh lý học Ludwig: “Bạn cần phải di chuyển 600 km khỏi nơi tranh chấp và từ đó xem xét lại mối quan hệ.”

Hoạt động của các nhà phân tích trước hết đòi hỏi phải cải tiến phương pháp tọa độ. Theo thuật ngữ tổng hợp, điều quan trọng là đưa ra các định nghĩa không có tọa độ của các đối tượng của hình học xạ ảnh, ví dụ, các đường cong bậc hai. Điều này được thực hiện bởi Steiner, một nhân vật đầy màu sắc trong lịch sử toán học. Một người nông dân Thụy Sĩ “đi sau cái cày cho đến năm 19 tuổi”, ông bắt đầu học toán ở tuổi trưởng thành. Steiner phản đối mạnh mẽ các đại lượng ảo trong hình học, gọi chúng là “những bóng ma” hay “vương quốc bóng tối”. Tuy nhiên, von Staudt đã chỉ ra rằng với các vật thể tưởng tượng phát sinh trong hình học xạ ảnh, có thể liên tưởng các cấu trúc vật chất thuần túy tương đương với chúng. Một thành tựu quan trọng khác của Staudt là ông có thể xác định tỷ lệ kép của bốn điểm một cách trực tiếp mà không cần sử dụng khoảng cách (không được bảo toàn trong các phép biến đổi xạ ảnh).

Và cuối cùng, một cái tên khác là nhà toán học người Anh Arthur Keley (1821-1895), người đã làm việc trong lĩnh vực toán học trong một thời gian dài mà không gián đoạn hành nghề luật của mình. Chúng ta sẽ tập trung vào một trong những tác phẩm của Keli - Hồi ký hình thức thứ sáu nổi tiếng (1859). Keli nhận thấy rằng các phép dịch chuyển Euclide nổi bật so với tất cả các phép biến đổi xạ ảnh ở chỗ chúng bảo toàn các điểm tuần hoàn. Kết quả là, bằng cách sử dụng các điểm tuần hoàn, tất cả các đối tượng của hình học Euclide (khoảng cách, góc, v.v.) có thể được xác định thông qua các khái niệm xạ ảnh (được bảo toàn dưới các phép biến đổi xạ ảnh). Keley gọi hình học xạ ảnh là mô tả, và hình học Euclide là số liệu và viết: “Do đó, hình học số liệu là một phần của hình học mô tả và hình học mô tả là tất cả hình học”. Cần lưu ý rằng trước đây tình hình có vẻ hoàn toàn ngược lại, cụ thể là hình học xạ ảnh là một phần tương đối kém của hình học Euclide. Kely lưu ý thêm rằng, dựa trên hình học xạ ảnh, có thể đưa ra các khoảng cách khác ngoài Euclide (số liệu hoặc số đo Keley): mỗi khoảng cách như vậy trên mặt phẳng được liên kết với một số đường cong bậc hai (thực hoặc ảo), sao cho khoảng cách này không thay đổi dưới mọi phép biến đổi xạ ảnh bảo toàn đường cong đang được đề cập.

3. Mô hình Keley-Klein

Năm 1869, Klein làm quen với lý thuyết của Keley, và vào cuối năm đó, một cách khá hời hợt, với hình học của Lobachevsky. Ông ngay lập tức nảy ra ý tưởng rằng một trong những thước đo của Keley đã dẫn tới hình học Lobachevsky. Đó là một phỏng đoán, gần như không có sự tranh luận. Lý thuyết của Kely và lý thuyết của Lobachevsky hoàn toàn khác nhau về hình thức (các tính toán của Kely với tỷ lệ kép và cách trình bày tiên đề của Lobachevsky), và hình học của Kely vẫn chưa phát triển đủ để có thể kiểm tra các tiên đề của hình học Lobachevsky. Vào tháng 2 năm 1870, Klein, trong khi trình bày báo cáo về lý thuyết của Kehley tại hội thảo của Weierstrass, đã quyết định công khai giả thuyết của mình. Tại hội thảo này, người ta không thường thảo luận về các dự án khoa học viễn tưởng: chàng trai trẻ “tự phụ” được giải thích rằng “đây là hai hệ thống khác xa nhau”; Klein chuẩn bị rất ít để bảo vệ giả thuyết của mình đến mức ông “cho phép mình bị thuyết phục”. Sau đó, anh ấy phàn nàn về Weierstrass rằng anh ấy “không có khuynh hướng nhận ra từ xa những đường nét của những độ cao chưa đạt tới.” Nhưng Klein vẫn không ngừng tin tưởng vào giả thuyết của mình. Vào mùa hè năm 1871, với sự giúp đỡ của người bạn Stolz, ông đã nghiên cứu kỹ lưỡng về hình học phi Euclid và bị thuyết phục về tính đúng đắn của dự đoán của mình. Ngay cả khi có bằng chứng, Klein vẫn gặp khó khăn trong việc thuyết phục người khác rằng mình đúng. Có lẽ điều khó chịu nhất đối với Klein là Keli vẫn nằm trong số những người không đồng ý với tuyên bố của ông cho đến cuối đời. Klein viết: “Một tinh thần già nua không thể rút ra kết luận từ những quan điểm mà nó đã tạo ra”.

Một vài lời về chính mô hình Kehli-Klein. “Điểm” trong mô hình này là các điểm bên trong của một vòng tròn (vòng tròn có thể được thay thế bằng một khu vực được giới hạn bởi bất kỳ đường cong bậc hai nào) và “các đường thẳng” là các dây của vòng tròn này (không có điểm cuối). Các điểm giao nhau của “đường thẳng” được xác định một cách tự nhiên; Rõ ràng là có vô số “đường thẳng” đi qua một “điểm” bên ngoài “đường thẳng” mà không cắt điểm ban đầu, tức là có sự phủ định của tiên đề song song trong hình học Euclide. Chúng ta cũng phải đảm bảo rằng tất cả các tiên đề Euclide khác cho mô hình được mô tả đều thỏa mãn: điều này có nghĩa là mô hình Klein là mô hình của hình học Lobachevsky. Các tiên đề liên quan đến vị trí tương đối của điểm và đường thẳng được kiểm chứng tương đối dễ dàng. Nhưng khi kiểm tra các tiên đề về đẳng thức, thì trước hết chúng ta cần thống nhất xem phân đoạn nào được coi là bằng nhau; không thể kế thừa những khái niệm tương ứng của hình học Euclide. Klein, theo Kely, giả sử độ dài của đoạn $AB$ bằng: $|AB|=\ln\{A,B,\alpha,\beta\}$, trong đó $\alpha$ và $\beta$ là giao điểm của “đường thẳng” $AB$ với ranh giới của đường tròn đang xem xét (đường tròn này được gọi là tuyệt đối). Các phép biến đổi xạ ảnh bảo toàn tuyệt đối “khoảng cách” đã xác định, tức là chúng là các phép dịch chuyển trong mô hình Keley-Klein của hình học Lobachevsky.

Nhà toán học người Ý Eugenio Beltrami (1835-1900) đã vạch ra một con đường khác để chứng minh hình học Lobachevsky vào năm 1868. Ông đã phát hiện ra một bề mặt - pseudosphere - những đường ngắn nhất mà trên đó (trắc địa) hành xử giống như những đường thẳng trong hình học Lobachevsky. Sau đó, Beltrami bằng cách nào đó đã ánh xạ giả cầu thành một vòng tròn và thu được các công thức tương tự mà Klein sau này đã sử dụng trong lý thuyết của mình.

Klein đã nghiên cứu các hình học phi Euclide khác mà các phép đo Keley hướng tới, đặc biệt là phát hiện ra mô hình hình học Riemann (trong hình học Riemann tổng các góc của một tam giác lớn hơn $\pi$, trong hình học Lobachevsky nó luôn nhỏ hơn $\pi$).

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận xem mô hình Keley-Klein cung cấp những gì cho hình học Lobachevsky. Trước hết, đây là một cách trình bày khác với cách trình bày tiên đề, trực quan hơn. Klein mở đầu ấn phẩm của mình (1871) với dòng chữ rằng mục tiêu của ông là “đưa ra một cách trình bày trực quan mới về kết quả toán học của các công trình liên quan đến lý thuyết song song và làm cho chúng có thể hiểu được một cách rõ ràng” (Beltrami xây dựng mục tiêu của mình theo cách gần giống như vậy). Tuy nhiên, việc xây dựng một mô hình không chỉ giải quyết được vấn đề về phương pháp luận. Ngày nay, mô hình Keley-Klein được coi chủ yếu như một phương tiện chứng minh tính nhất quán của hình học lobachevsky. Trong mô hình Keley-Klein, các đối tượng của hình học Lobachevsky được hình thành bằng ngôn ngữ hình học Euclide, do đó sau khi dịch sang ngôn ngữ này, các định lý của hình học Lobachevsky chuyển thành định lý của hình học Lobachevsky, và do đó hình học Lobachevsky là nhất quán nếu hình học Euclide nhất quán.

Klein nhìn thấy ý nghĩa chính của mô hình mà ông xây dựng ở một thứ khác. Ông đặt hình học xạ ảnh lên hàng đầu, trong đó hình học của Euclid và Lobachevsky là những phần bằng nhau và độc lập. Về vấn đề này, sự độc lập của mô hình xây dựng của hình học Lobachevsky với hình học Euclide đã được nhấn mạnh, do đó, khả năng xây dựng hình học xạ ảnh mà không sử dụng hình học Euclide là rất quan trọng (theo Staudt, xem đoạn 2). Chính khoảnh khắc này đã khiến Keli nghi ngờ về sự tồn tại của một vòng luẩn quẩn. Klein đã viết: “Thay vì xây dựng các hình ảnh của hình học phi Euclid trong hình học số liệu của chúng tôi, chúng tôi chứng minh một hình học xạ ảnh không có bất kỳ biểu diễn số liệu nào, chứa tất cả các hệ thống hình học đã biết, như các trường hợp đặc biệt có thể được phân loại rõ ràng”.

4. chương trình Erlangen

Trong nhiều thế kỷ, từ “hình học” chỉ được sử dụng ở số ít. Nhưng rồi hình học Lobachevsky xuất hiện, rồi hình học Riemann, và cuối cùng, các nhà toán học nhận ra rằng có rất nhiều hình học khác nhau. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh: hình học là gì? Năm 1872, Klein bày tỏ quan điểm của mình trong một bài giảng liên quan đến việc đảm nhận chức giáo sư ở Erlangen. Đây là cách Chương trình Erlangen xuất hiện, rõ ràng là tác phẩm nổi tiếng nhất của Klein. Về cơ bản, không có kết quả mới nào trong đó; mọi sự chú ý đều tập trung vào việc tìm kiếm một nguyên lý cho phép chúng ta hệ thống hóa sự hình thành rất vô định hình mà hình học đã biến thành vào thời đó.

Theo Klein, thuộc tính chính của bất kỳ hình học nào là một tập hợp $G$ nhất định của các phép biến đổi một-một của một tập hợp nào đó $M$. Phải có đủ các phép biến đổi để mỗi điểm của tập hợp $M$ có ​​thể được chuyển sang điểm khác bằng một số phép biến đổi từ $G$ (trong trường hợp này họ nói rằng $G$ tác động lên $M$ chuyển tiếp). Tất nhiên, quan điểm này được lấy cảm hứng từ hình học xạ ảnh, trong đó ngay từ đầu một số phép biến đổi (hình chiếu trung tâm) là cơ bản, trong khi trong hình học Euclide (trong cách trình bày truyền thống) các đối tượng khác là cơ bản: đường thẳng, đoạn thẳng, hình đồng dạng, v.v.

Điểm tiếp theo là tập biến đổi $G$ phải là một nhóm. Điều này có nghĩa là bất kỳ hai phép biến đổi nào từ $G$ được thực hiện liên tiếp đều có thể được thay thế bằng một phép biến đổi, cũng từ $G$; Ngoài ra, cùng với mỗi phép biến đổi $g\in G$ thành $G$, nghịch đảo của nó được bao gồm: $g^{-1}$ (nếu $g$ dịch $x$ thành $y$, thì $g^{-1}$ dịch $y$ thành $x$).

Vì vậy, mỗi nhóm phép biến đổi $G$ được liên kết với một số hình học. Nội dung của hình học như vậy là gì? Trước hết, tìm bất biến của nhóm $G$ - các thuộc tính được bảo toàn dưới tác động của các phép biến đổi từ $G$ (chính xác hơn, nếu một số đối tượng trong hình học của chúng ta có một thuộc tính bất biến, thì bất kể phép biến đổi nào từ $G$ mà chúng ta tác động lên nó, chúng ta sẽ nhận được một đối tượng cũng có thuộc tính này). Đối với nhóm chuyển vị của hình học Euclide, tất cả các tính chất hình học đã biết đều là bất biến, vì chúng ta không phân biệt được vị trí của các hình trên mặt phẳng. Tuy nhiên, ngay cả trong một khóa học hình học truyền thống cũng có những phát biểu không hề tầm thường về những bất biến của các phép biến đổi không phải là chuyển vị. Với các tính đồng nhất, sự đồng dạng của các góc, tính chất của đường cong là hình tròn, tỷ lệ độ dài các đoạn và tỷ lệ diện tích được bảo toàn. Có một nguồn cung cấp các thuộc tính bất biến nhất định, bạn có thể xây dựng những thuộc tính mới. Về tính đồng nhất, tính chất đường thẳng là phân giác của một góc và tính chất đường cong là hình bán nguyệt sẽ bất biến. Đối với phần mở rộng trục, tính chất của đường cong là hình tròn sẽ không còn bất biến mà tính chất của đường cong là hình elip (cũng như hyperbola hoặc parabola) sẽ là bất biến; tỷ lệ độ dài của các đoạn nằm trên cùng một đường thẳng (nhưng không nằm trên các đoạn thẳng khác nhau) và tỷ lệ diện tích được bảo toàn. Hệ quả là tính bất biến của tính chất của một điểm chia được một đoạn thẳng trong một quan hệ cho trước, tính chất của đường thẳng là đường trung tuyến của một tam giác. Có thể chỉ ra rằng bất kỳ phép biến đổi affine nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần của các chuyển vị và độ giãn dọc trục, và do đó tất cả các thuộc tính được chỉ ra là bất biến dưới các phép biến đổi affine (ví dụ về các bất biến xạ ảnh được đưa ra ở trang 3).

Việc lựa chọn các bất biến chỉ là lớp hình học đầu tiên. Nội dung chính của nó bao gồm các định lý về mối quan hệ giữa các thuộc tính bất biến (chúng được gọi là syzygies). Ví dụ, các đường trung tuyến của một tam giác là các bất biến affine của nó; sự tồn tại của điểm chung chia các đường trung tuyến trong tỉ số $2:1$ là mối quan hệ không hề tầm thường giữa ba đường thẳng này. Trong các định lý về giao điểm của đường phân giác và đường cao, rút ​​ra sự phụ thuộc giữa các bất biến đồng nhất.

Chasles thu hút sự chú ý đến khả năng sử dụng các phép biến đổi hình học để thu được các định lý mới vào năm 1837: “Bây giờ mọi người đều có thể lấy một số chân lý đã biết và áp dụng vào đó các nguyên tắc chung khác nhau của các phép biến đổi; do đó họ sẽ nhận được các chân lý khác… Thiên tài không còn cần thiết để góp phần xây dựng ngôi đền khoa học hùng vĩ nữa.” Tuy nhiên, nếu chúng ta hiểu công thức của Schall theo nghĩa đen: lấy bất kỳ định lý nào và áp dụng một phép biến đổi tùy ý cho nó, thì bạn sẽ nhận được một phát biểu đúng, nhưng với một công thức vụng về đến mức nó sẽ có rất ít cơ hội tồn tại trong “ngôi đền của khoa học”. Ví dụ, hãy nghĩ xem định lý về giao điểm của các đường phân giác sẽ trở thành gì nếu chúng ta thực hiện kéo dài trục? Làm thế nào để giải thích đường phân giác sẽ đi đến đường nào? Klein giải thích rằng điều quan trọng là, ngược lại, phải hiểu phép biến đổi nào không làm thay đổi câu lệnh, chọn các phép biến đổi giúp đơn giản hóa bức tranh càng nhiều càng tốt và chứng minh câu lệnh ở dạng kết quả (đơn giản hơn). Đây là một ví dụ truyền thống. Bằng phép biến đổi affine, bất kỳ tam giác nào cũng có thể biến thành tam giác đều, và vì định lý về giao điểm của các đường trung tuyến đề cập đến mối quan hệ giữa các bất biến affine, nên chỉ cần kiểm tra định lý này để tìm tam giác đều (vốn đã rất đơn giản).

Những cân nhắc này cho phép chúng tôi tinh chỉnh công thức Shalya. Hãy nêu một số mối quan hệ giữa các bất biến affine trong một tam giác đều có diện tích đơn vị: ví dụ: đặt $\lambda$ là diện tích của một hình lục giác được tạo bởi “tridians” - các đường thẳng nối các đỉnh của tam giác với các điểm chia cạnh đối diện thành ba phần bằng nhau (số $\lambda$ được xác định duy nhất). Khi đó trong bất kỳ tam giác nào, tỷ lệ diện tích của hình lục giác được tạo bởi các đường ba và diện tích của toàn bộ tam giác là $\lambda$. Bây giờ bạn có thể dễ dàng đưa ra các định lý khác thuộc loại này.

Một trong những điểm quan trọng nhất trong lý luận của Klein là làm rõ mối quan hệ giữa các hình học liên kết với các nhóm $G_1$ và $G_2$, nếu $G_1\subset G_2$. ($G_1$ được cho là một nhóm con của $G_2$.) Nhóm lớn hơn $G_2$ có ít bất biến hơn $G_1$ và tất cả các định lý liên quan đến nhóm $G_2$ cũng đúng cho hình học liên quan đến nhóm nhỏ hơn $G_1$. Do đó, trong mỗi hình học cụ thể, điều quan trọng là phải tìm ra các phát biểu vẫn đúng cho các hình học có nhóm phép biến đổi rộng hơn. Đôi khi, khả năng “chuyển” một mệnh đề sang hình học với nhóm phép biến đổi rộng hơn chỉ trở nên rõ ràng sau khi làm lại công thức của mệnh đề.

Hệ tư tưởng của Keley trong ngôn ngữ của chương trình Erlangen là người ta có thể di chuyển theo hướng ngược lại, xem xét một nhóm các phép biến đổi bảo toàn một số đối tượng cố định. Trong trường hợp này, thông thường các bất biến cho một nhóm con có thể được xây dựng bằng cách sử dụng các bất biến cho một nhóm (khoảng cách trong hình học Euclide và phi Euclide - sử dụng mối quan hệ kép).

Các bất biến đối với một nhóm lớn hơn và các mối quan hệ giữa chúng thường dễ mô tả hơn. Đặc biệt, đối với nhóm xạ ảnh bài toán việc tìm ra các bất biến có thể được thực hiện hoàn toàn bằng đại số và được giải.

Chương trình Erlangen đã kết thúc “thời kỳ hoàng kim” của hình học cổ điển. Số lượng hình học mới ngày càng tăng; Dần dần, ngôn ngữ hình học thấm vào một phần đáng kể của toán học. “Hình học cổ điển đã phát triển vượt bậc và từ một ngành khoa học độc lập sống động đã trở thành ngôn ngữ phổ quát của toán học hiện đại, sở hữu tính linh hoạt và tiện lợi đặc biệt” (N. Bourbaki).

5. Thực tập sinh tại trường Riemann

Sau Chương trình Erlangen, Klein chuyển sang lý thuyết về hàm đại số - một lĩnh vực mà Gauss, Legendre, Abel, Jacobi, Weierstrass và Riemann đã nghiên cứu. Những ý tưởng gần gũi nhất với Klein hóa ra là Riemann (1826-1866), người mà ông không hề quen biết. Theo Klein, anh ấy là “một sinh viên bên ngoài của trường Riemann, … và những sinh viên bên ngoài, như bạn biết đấy, nếu họ đảm nhận bất kỳ công việc kinh doanh nào, họ sẽ làm việc với lòng nhiệt thành đặc biệt, bởi vì chỉ có sự quan tâm sâu sắc mới thúc đẩy họ làm việc.” Klein sau đó đã viết rằng ông đã nhìn thấy bài toán của mình trong sự kết hợp giữa Riemann và Galois, tức là trong sự thâm nhập của lý thuyết nhóm vào lý thuyết hình học về hàm số phức. Theo ý kiến ​​​​riêng của Klein, đây là lĩnh vực hoạt động khoa học chính của ông.

Thật không may, chúng ta sẽ không thể nói về hoạt động này của Klein, vì ở đây cần phải yêu cầu người đọc có những kiến ​​​​thức đặc biệt vượt xa phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Nhưng chúng tôi vẫn sẽ đề cập đến một trường hợp.

Klein đã giải quyết cái gọi là vấn đề thống nhất. Bằng cách xem xét những trường hợp quan trọng, ông hy vọng cuối cùng sẽ hiểu được vấn đề chung. Nhưng vào năm 1881, Klein phát hiện ra một loạt bài báo của một nhà toán học vô danh người Pháp Henri Poincaré (1854-1912), người đã giải quyết cơ bản vấn đề đồng nhất hóa. Klein chào đón sự kiện kịch tính này với vẻ trang nghiêm. Ông bắt đầu trao đổi thư từ với Poincaré; họ đã trao đổi 26 bức thư. Klein, vốn là một nhà toán học nổi tiếng (mặc dù chỉ hơn Poincaré 5 tuổi), đóng vai trò là một giáo viên rất khéo léo. Ông giới thiệu cho Poincaré lý thuyết của Riemann, lý thuyết mà ông không hề biết nhưng ngay lập tức nắm bắt được. Klein quyết định cạnh tranh với Poincaré: ông cải thiện cách chứng minh kết quả chính và phác thảo sự khái quát hóa của nó. Câu chuyện này kết thúc một cách đáng buồn đối với Klein: “Cái giá mà tôi phải trả cho công việc của mình, trong mọi trường hợp, rất cao, vì sức khỏe của tôi đã hoàn toàn bị lung lay… Chỉ đến mùa thu năm 1884, tình hình mới được cải thiện phần nào, nhưng tôi chưa bao giờ đạt đến mức độ hoạt động sáng tạo như trước đó… Hoạt động sáng tạo của riêng tôi trong lĩnh vực toán học lý thuyết đã kết thúc vào năm 1882.”

6. 40 năm qua

Từ năm 1886, Klein đã làm việc ở Göttingen. Nhờ có Klein, thành phố này đã trở thành thủ đô toán học thực sự. Theo sáng kiến ​​của ông, các nhà toán học trẻ tài năng (trong số đó có Hilbert) đã được mời tới Gottingen. Klein chưa bao giờ ngừng quan tâm đến những ý tưởng mới. Các khóa giảng của ông, được ghi âm và xuất bản một phần, dành cho nhiều lĩnh vực toán học, cơ học và vật lý. Các hoạt động tổ chức và xã hội của Klein rất đa dạng. Trong 50 năm, ông đã lãnh đạo việc xuất bản một trong những tạp chí toán học hàng đầu, Mathematische Annalen. Bài hát thiên nga của Klein là “Bài giảng về sự phát triển của toán học trong thế kỷ 19”, được đọc vào năm 1914–1919 và được xuất bản sau khi các học trò của ông là Courant và Neubauer. Đây là một đoạn trích từ lời nói đầu của họ: “Những bài giảng này là thành quả chín muồi của một cuộc sống phong phú trải qua ở trung tâm của các sự kiện khoa học, là sự thể hiện trí tuệ sâu sắc và sự hiểu biết lịch sử sâu sắc, nền văn hóa nhân văn cao độ và tài năng trình bày tuyệt vời.”

Klein đã dành một phần đáng kể thời gian và công sức của mình để phát triển các vấn đề trong việc dạy toán ở trường và đào tạo giáo viên, điều mà có lẽ chưa một nhà toán học tầm cỡ nào khác làm được trước ông. Klein viết: “Hiếm có môn học nào trong việc giảng dạy lại có quy trình như dạy toán. Quá trình toán tiểu học rơi vào một khuôn khổ nhất định và dường như đóng băng một lần và mãi mãi trong giới hạn đã được thiết lập. Đôi khi, vì lý do này hay lý do khác, một số bài toán được thay thế bằng những đoạn khác, một số đoạn bị loại trừ và những đoạn khác được giới thiệu; nhưng về cơ bản, điều này hầu như không ảnh hưởng gì đến tất cả các tài liệu trong toán học ở trường. Sách giáo khoa đại số mới mang dấu ấn của Euler đại số, giống như các sách giáo khoa hình học mới mang dấu ấn của hình học Legendre, người ta có thể nghĩ rằng toán học là một môn khoa học chết, không có gì thay đổi trong lĩnh vực kiến thức này, rằng không có ý tưởng mới nào trong lĩnh vực kiến thức này, ít nhất là những ý tưởng có thể trở thành tài sản của những người không chuyên, một môn học của giáo dục phổ thông.”

Klein cố gắng tính đến tình hình khoa học hiện đại và mối liên hệ giữa toán học và vật lý trong quá trình giảng dạy của mình. Ông khuyến nghị sử dụng một cách có hệ thống các phép biến đổi trong hình học và từ bỏ cách phân chia truyền thống của toán học phổ thông thành các môn học. Khóa học ở trường phải thấm nhuần khái niệm về chức năng; Các cách truyền đạt “tư duy chức năng” cho học sinh được tính toán kỹ lưỡng. Theo Klein, việc trình bày hình học nên bắt đầu bằng một phiên bản không tiên đề và phương pháp tiên đề chỉ xuất hiện khi học sinh có thể hiểu được nó.

Với sự khéo léo tuyệt vời, Klein duy trì mối liên hệ với những người liên quan đến toán học ở trường, hạn chế rõ ràng phạm vi năng lực của mình, không bao giờ can thiệp vào những vấn đề đòi hỏi kinh nghiệm làm việc trực tiếp ở trường. Klein giảng bài cho giáo viên và đã được xuất bản một phần. Nổi tiếng nhất là cuốn “Toán học sơ cấp từ góc nhìn cao hơn”. Đây không phải là những bài giảng về phương pháp toán học hay một khóa học mở rộng về toán học ở trường. “Tôi muốn cuốn sách này hữu ích ở chỗ nó sẽ khuyến khích một giáo viên khác trong trường trung học của chúng tôi suy nghĩ độc lập về cách trình bày mới, phù hợp hơn về tài liệu giáo dục mà anh ấy dạy. Chỉ theo quan điểm này, người ta phải nhìn vào cuốn sách của tôi chứ không được coi đó là một chương trình giảng dạy có sẵn; tôi giao việc phát triển cuốn sách sau hoàn toàn cho những người làm việc tại trường. Nếu có ai cho rằng tôi hiểu các hoạt động của mình theo cách khác thì đây là một sự hiểu lầm “(Klein).