Brachistochrone, hay một bí ẩn khác của cycloid

Kvant 1975, số 12 tr. 29-35 Thẻ HARW

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Brachistochrone, hay một bí ẩn khác của Cyclops

Bài viết này kết thúc loạt bài viết về một trong những đường cong phổ biến nhất trong toán học thế kỷ 17 - cyclopides: “Tiếp tuyến của cuộn”, “Bí mật của cyclopides”.
Tất cả các bài viết đều nói về cách các đại lượng của các nhà toán học thế kỷ 17 Galileo, Huygens, Newton, Leibniz, anh em Johann và Jacob Bernoulli đã quyết định toán học bài toán, sử dụng các cân nhắc vật lý.

sai lầm của Galileo

Vào đầu thế kỷ 17, chàng trai trẻ Galileo đã cố gắng kiểm tra bằng thực nghiệm dự đoán của mình rằng rơi tự do là một chuyển động có gốc rễ ngang nhau. Khi chuyển những quan sát của mình từ Tháp nghiêng Pisa sang phòng thí nghiệm, ông trở nên rất bận tâm vì thực tế là các vật thể đang rơi “quá nhanh”. Để thay thế chuyển động này, Galileo quyết định thay chuyển động rơi tự do của các vật bằng chuyển động của chúng dọc theo một mặt phẳng nghiêng, giả sử rằng nó cũng có gốc bằng nhau. Khi tiến hành những thí nghiệm này, Galileo chú ý đến thực tế là tại điểm cuối cùng, độ lớn tốc độ của một vật đứng trên mặt phẳng nghiêng không phụ thuộc vào góc nghiêng của mặt phẳng mà chỉ được xác định bởi độ cao H và trùng với tốc độ cuối cùng của một vật rơi tự do từ cùng một độ cao (như bạn đã biết ở trên, trong cả hai trường hợp $|\vec{v}| = \sqrt{2gH}$ ). Sau khi nghiên cứu chuyển động trên mặt phẳng nghiêng*), Galileo chuyển sang xem xét chuyển động của một điểm toán học dưới tác dụng của lực

*) Về một số quan sát của Galileo liên quan đến chuyển động của một vật dọc theo các đoạn nghiêng, xem bài viết của S. G. Verov “Bí mật của họ Cyclopidae” (Bài toán Galileo), «Kvant», 1975, số 8.

Cơm. 1.

lựa chọn rằng một phần tư đường tròn nối một cặp điểm A, B (không nằm trên cùng một phương thẳng đứng) và đối với một điểm vật chất chuyển động dưới tác dụng của trọng lực sẽ là đường đi xuống tuyến tính (sau này đường đi xuống dốc nhất bắt đầu được gọi là brachistochrone). Sau này người ta thấy rõ rằng tuyên bố này của Galileo không những vô căn cứ mà còn sai lầm.

Thụy Sĩ. Cuối thế kỷ 17

“Đi dạo trên đường phố Basel và thảo luận về đủ loại câu hỏi toán học, Johann và Jacob Bernoulli đã nảy ra câu hỏi sau: một sợi dây xích cao tự do, cố định ở hai đầu sẽ có hình dạng như thế nào? Họ nhanh chóng và dễ dàng đồng ý rằng sợi dây sẽ có dạng cân bằng trong đó trọng tâm của nó sẽ nằm càng thấp càng tốt… Phần vật lý bài toán đã kiệt sức với điều này. Việc xác định đường cong có tâm mềm thấp nhất cho một mặt nhất định giữa hai điểm A và B đã được thực hiện bài toán thuần túy toán học.” (Tối đa).

Sau khi nghiên cứu một đường dây xích (đây là tên của một đường có hình dạng được tạo bởi một sợi dây nặng, dẻo, không giãn được treo ở hai điểm), anh em Bernoulli bắt đầu quan tâm đến các vấn đề khác trong đó các đường cong được tìm kiếm tương ứng với giá trị nhỏ nhất của một đại lượng cụ thể. Năm 1696, Johann Bernoulli xuất bản ghi chú “Mới bài toán, các nhà toán học được mời giải quyết vấn đề Comoros.” Tuy nhiên, cái “mới” bài toán này đã được Galileo xem xét rồi. Chúng ta đang nói về việc tìm ra brachistochrone - một đường nối một cặp điểm cố định dọc theo đó điểm vật chất sẽ đi xuống dưới tác dụng của lực của các lực nặng hơn ở mức cao nhất. Vấn đề về brachistochrone, không thể tiếp cận được vào đầu thế kỷ ngay cả với Galileo vĩ đại, hóa ra lại rất hợp thời vào cuối thế kỷ này. Nó đã được giải quyết rất nhanh chóng bởi chính Johann Bernoulli và anh trai Jacob, và giáo viên Leibniz của họ, cũng như Newoton và L’Hopital. Chúng ta sẽ nói về lời giải của Johann Bernoulli: nó sử dụng quang học hình học theo một cách hoàn toàn bất ngờ!

“Không cần bất kỳ phương pháp nào khác, chỉ với sự trợ giúp của trí tưởng tượng hình học của mình, Johann Bernoulli chỉ trong nháy mắt quyết định bài toán khéo léo sử dụng những gì đã được trích xuất từ vỏ - bức tranh là một khái niệm thay thế và đẹp đến kinh ngạc. Chúng ta phải nhận ra ở Johann Bernoulli một bản chất nghệ thuật thực sự, làm việc trong lĩnh vực mạ tự nhiên. Anh trai ông, Jacob Bernoulli, là một nhân vật khoa học thuộc loại hoàn toàn khác. Ông đã loại bỏ nhiều lời chỉ trích hơn, nhưng trí tưởng tượng sáng tạo ít hơn nhiều. Và ông đã giải quyết được điều tương tự. bài toán, nhưng theo một cách đáng suy ngẫm hơn nhiều. Nhưng ông đã không bỏ lỡ cơ hội phát triển một phương pháp bao bọc lời giải bài toán thuộc loại này một cách kỹ lưỡng hơn. (Tối đa).

trang trại giá

Trở lại năm 140 trước Công nguyên. Claudius Ptolemy đã biên soạn một bảng chi tiết về sự phụ thuộc của góc khúc xạ của chùm ánh sáng khi truyền từ không khí vào nước từ góc tới; nhưng chỉ đến năm 1621 Snell mới đoán được mô hình dị thường nối các góc này:

$\frac{\sin \alpha_{\text{наденя}}}{\sin \alpha_{\text{преломления}}} = k,$

trong đó $k$ là chiết suất, hằng số đối với một cặp môi trường cố định.

Năm 1650, Fermat đã đưa ra một cách giải thích đáng chú ý về định luật này. Ông bắt đầu từ thực tế mà Heron ở Alexandria đã biết rằng sự bằng nhau giữa góc tới và góc phản xạ có thể được suy ra từ giả định rằng khi bị phản xạ, ánh sáng chọn đường đi ngắn nhất (Hình 2).

Cơm. 2.

Fermat cho rằng đường đi của ánh sáng giữa hai điểm là đường đi mất ít thời gian nhất để truyền đi so với bất kỳ đường đi nào khác giữa những điểm này - ngày nay phát biểu này được gọi là “lý do Fermat”.
Cụ thể, từ nguyên lý Fermat, nó suy ra rằng vì tốc độ ánh sáng trong môi trường đồng nhất là không đổi nên thời gian ngắn nhất truyền dọc theo đường đi có độ dài ngắn nhất. Theo đó, đường đi của ánh sáng trong một môi trường đồng nhất không có định trước là đường thẳng, cũng như định luật phản xạ.
Nếu môi trường có mật độ thay đổi và tốc độ ánh sáng ở các phần khác nhau của nó là khác nhau thì đường truyền ánh sáng, mất ít thời gian nhất để truyền đi, sẽ không còn là đường thẳng nữa. Chúng ta hãy xem điều gì xảy ra trong trường hợp khúc xạ.
(Tất cả những cân nhắc sâu hơn của chúng tôi đều đề cập đến trường hợp phẳng).

Cơm. 3.

Đường thẳng trống $l$ ngăn cách hai môi trường (trên mặt phẳng), trong đó tốc độ ánh sáng là $c_1$ và trong môi trường thứ hai - $c_2$ ; $A_1$ và $A_2$ là các điểm nằm đối diện nhau của $l$ . Chúng ta hãy tìm trên $l$ một điểm $B$ sao cho $\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{c_1}{c_2}$ , trong đó $\alpha_1$ là góc tới, $\alpha_2$ là góc khúc xạ (xem Hình 3). Sự tồn tại và duy nhất của điểm $B$ như vậy được chứng minh dễ dàng. Trống $C$ — bất kỳ điểm nào khác của đường $l$ . Chúng ta hãy loại bỏ các biến $CE$ và $CF$ thành $A_1B$ và $A_2B$ tương ứng.

Sau đó, $ECB = \alpha_1$ , $FCB = \alpha_2$ và việc vượt qua đoạn $BE$ với tốc độ $c_1$ sẽ mất nhiều thời gian như việc vượt qua đoạn $BF$ ở tốc độ $c_2$ . Điều này có nghĩa là ánh sáng cần cùng một khoảng thời gian để truyền đi đường $A_1BA_2$ giống như thời gian để truyền hai đoạn: $A_1E$ với tốc độ $c_1$ và $FA_2$ ở tốc độ $c_2$ . Vì độ dài của các đoạn $A_1C$ và $A_2C$ lần lượt lớn hơn độ dài của các đoạn $A_1E$ và $FA_2$ , nên ánh sáng cần nhiều thời gian hơn để di chuyển trên đường $A_1CA_2$ hơn là để di chuyển trên đường $A_1BA_2$ , và do đó, điểm $C$ là không phù hợp.

Do đó, theo nguyên lý Fermat, định luật khúc xạ Snell tuân theo và chiết suất của chùm ánh sáng từ môi trường này sang môi trường khác hóa ra bằng tỷ số tốc độ ánh sáng trong môi trường này $*$ ).

Nó cũng tuân theo nguyên lý Fermat rằng trong một môi trường quang học phức tạp bao gồm các “dải” nằm ngang, trong đó mỗi dải có tốc độ ánh sáng không đổi: $c_1, c_2, \dots$ (Hình 4), - ánh sáng sẽ truyền dọc theo một đường gãy phẳng có các đỉnh nằm trên các đường thẳng ngăn cách các sọc này, và nếu $\alpha_j$ là góc của đường đứt nét nằm trong vùng với tốc độ ánh sáng $c_j$ ,

*) Nguyên lý Fermat được chứng minh trong lý thuyết sóng ánh sáng do Huygen-com xây dựng năm 1672-1673.

cơm. 4.

tạo thành theo chiều dọc, sau đó $\frac{\sin \alpha_j}{c_j} =$ const cho toàn bộ đường đứt nét.

Thật vậy, nếu $\frac{\sin \alpha_j}{c_j} \neq \frac{\sin \alpha_{j+1}}{c_{j+1}}$ đối với một số $j$ , thì theo nguyên lý Fermat, ánh sáng không thể truyền dọc theo một đường đứt nét như vậy: đỉnh của đường đứt nét ở ranh giới của môi trường tương ứng có thể được di chuyển sao cho (mà không làm thay đổi các đỉnh khác) sao cho tổng thời gian ánh sáng tiêu tốn giảm đi.

Nếu trong một môi trường quang học không đồng nhất nào đó, tốc độ ánh sáng thay đổi liên tục, nhưng sao cho tại các điểm nằm ngang (tức là tại các điểm có cùng tọa độ) là như nhau: $c(y)$ (giá trị $y = 0$ tương ứng với vị trí ban đầu của điểm mà chùm tia xuất hiện), thì bằng cách chuyển sang giới hạn, chúng ta thu được rằng trong môi trường này, đường truyền ánh sáng giữa hai điểm là một đường cong $L$ sao cho

$\frac{\sin \alpha(y)}{c(y)} = \text{const},$

trong đó $\alpha(y)$ biểu thị góc mà tiếp tuyến vẽ với đường cong $L$ tại một điểm có tọa độ $y$ tạo với đường thẳng đứng.

Để chuyển sang bài toán về brachistochrone, bây giờ chúng ta đã thu được sự tương ứng (1) từ nguyên lý Fermat, chỉ sử dụng thực tế là tại một điểm cố định trong môi trường không đồng nhất của chúng ta, giá trị của tốc độ ánh sáng là cố định và không phụ thuộc vào hướng truyền ánh sáng (trong ví dụ của chúng ta, nó được xây dựng theo phương ngang). Tuy nhiên, như chúng tôi đã lưu ý ở trên, đối với một vật chỉ chuyển động dưới tác dụng của trọng lực, $|v(y)| = \sqrt{2gy}$ , trong đó $y$ là đường thẳng đứng di chuyển, “sự mất mát” độ cao và chúng ta hiểu rằng trong bài toán độ lớn của vận tốc tại mỗi điểm cố định của mặt phẳng là cố định và không phụ thuộc vào đường chuyển động bắt nguồn từ đâu. Do đó, mọi kết luận từ nguyên lý Fermat đều có thể được áp dụng ở đây. Do đó, để đi từ điểm này đến điểm khác trong thời gian tối thiểu có thể, một điểm vật chất phải di chuyển dọc theo một đường như vậy $L$ nối hai điểm này (chúng ta giả sử rằng các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng đứng),

Cơm. 5. Lốc xoáy - đường cong mô tả một điểm nằm trên ranh giới của bán kính hình tròn $r$ lăn không trượt theo đường thẳng chỉ thị (trùng với trục $Ox$ ); $r$ được gọi là bán kính lốc xoáy. Theo định nghĩa, độ dài của cung $A_tB$ bằng độ dài của đoạn $A_0B$ mà cung này kéo dài dọc theo.

vì cái gì

$\frac{\sin\alpha\,(y)}{\sqrt{y}} = \mathrm{const}, \qquad (2)$

trong đó $\alpha\,(y)$ là góc giữa phương thẳng đứng và tiếp tuyến của đường cong $L$ , được vẽ tại điểm có tọa độ $y$ .

Tất cả những gì chúng ta phải làm là tìm một đường cong thỏa mãn điều kiện (2).

Lại lốc xoáy!

Đường cycloid (xem Hình 5) là đường cong phổ biến nhất trong số các nhà toán học thế kỷ 17-18. Một trong những đặc tính đáng chú ý nhất của cycloid được Huygens phát hiện ra đó là cycloid là một tautochrone. Điều này có nghĩa là nếu bạn tạo một rãnh theo hình cycloid ngược và ném một quả bóng dọc theo một cái máng như vậy thì từ bất kỳ độ cao nào đến điểm thấp nhất (trùng với đỉnh của cycloid ngược!) quả bóng sẽ đến cùng một lúc*).

Các nhà toán học thế kỷ 17 đã “quen” với thực tế rằng cycloid là “cây đũa thần” trong nhiều vấn đề. Và bây giờ cô ấy lại được định sẵn để khẳng định “danh tiếng” của mình - brachistochrone hóa ra cũng là một cycloid!

Trên thực tế, nếu chúng ta biểu thị bằng $\alpha\,(y)$ góc mà tiếp tuyến vẽ với cycloid có bán kính r (thu được khi một đường tròn có bán kính $r$ lăn không trượt dọc theo đường thẳng $\{y = 0\}$ ) tại một điểm có tọa độ $y$ hợp với phương thẳng đứng, thì

$\sin\alpha\,(y) = \sqrt{\frac{y}{2r}} \qquad (3)$

(xem «Kvant» Số 8, trang 21, mối quan hệ (1)).

Có thể chứng minh rằng đường cycloid là đường cong duy nhất thỏa mãn hệ thức (3). Do đó, một brachistochrone nối hai điểm A và B cho trước

*) Về tautochrone và các tính chất của cycloid, hãy xem các bài viết đã được đề cập “Tiếp tuyến của roulette” và “Bí mật của cycloid” «Kvant», 1975, số 5 và số 8. Những bài viết này cung cấp bằng chứng về tất cả các tuyên bố mà chúng tôi sử dụng dưới đây.

3 «Kvant» №12

Cơm. 6.

(không nằm trên cùng một phương thẳng đứng), đóng vai trò là một phần của vòm (hoặc cung) của một đường tròn xoáy ngược (xem Hình 6) và tại điểm “trên” $A$ có cạnh của đường tròn này. Vì chúng ta chỉ đang xem xét cung đầu tiên (đầu tiên) của cycloid nên bán kính của nó $r$ tại điểm $B$ được xác định duy nhất.

Cung của cycloid, là một brachistochrone, có thể lớn hơn nửa cung của cycloid. Trong trường hợp này, điểm vật chất, di chuyển dưới tác dụng của trọng lực dọc theo brachistochronone, trước tiên sẽ đi xuống (đạt đến đỉnh của cycloid ngược), sau đó bắt đầu đi lên trở lại. Chưa hết, chuyển động như vậy hóa ra lại tiết kiệm thời gian hơn so với khi điểm vật chất đi từ $A$ đến $B$ theo một đường thẳng!

Để so sánh, chúng tôi lưu ý rằng mặc dù một cycloid ngược vừa là tautochrone vừa là brachistochrone, nhưng trong trường hợp đầu tiên, bạn cần lấy một cung có điểm cuối ở đỉnh của cycloid và trong trường hợp thứ hai - với điểm bắt đầu ở đầu.

Một số bài toán

Hãy quay trở lại với quang học. Bây giờ chúng ta biết rằng nếu trong một môi trường phẳng không đồng nhất, tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c\,(x, y) = k\sqrt{H-y}$ (tức là tương tự như sự thay đổi tốc độ của một điểm vật chất chuyển động dưới tác dụng của trọng lực), thì trong một môi trường phẳng như vậy, ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo các cung của cycloid ngược với các điểm nằm trên đường thẳng $\{y = H\}$ .

Bây giờ hãy thử giải một số bài toán để tìm đường truyền ánh sáng giữa hai điểm trong một môi trường không đồng nhất về mặt quang học, nếu định luật thay đổi tốc độ ánh sáng được đưa ra trong môi trường này.

Nhiệm vụ 1. Tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c(x, y) = k \cdot (y - a)$ . Chứng minh rằng ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo hai hình bán nguyệt có đường kính nằm trên đường thẳng $\{y = a\}$ (và điểm “bắt đầu” nằm trên đường thẳng này).

Nhiệm vụ 2. Tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c(x, y) = \frac{k}{\sqrt{a - y}}$ . Chứng minh rằng trong trường hợp này ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo hai parabol.

Cho đến nay trong mọi bài toán, giá trị của tốc độ ánh sáng chỉ phụ thuộc vào $y$ . Ví dụ, nếu một môi trường quang học như sự phụ thuộc này phức tạp hơn, tốc độ ánh sáng không đổi không phải trên các đường nằm ngang mà trên một số đường cong - đường không đổi của tốc độ ánh sáng - thì ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo một đường cong như vậy $L$ , trong đó

$\frac{\sin \alpha \left(c(x_0, y_0)\right)}{c(x_0, y_0)} = \text{const},$

trong đó $\alpha \left(c(x_0, y_0)\right)$ là góc giữa tiếp tuyến của đường cong $L$ và pháp tuyến của đường thẳng có tốc độ ánh sáng không đổi $c(x, y) = c(x_0, y_0)$ .

Nhiệm vụ 3. Tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c(x, y) = k \sqrt{1 - r^2}$ , trong đó $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ là khoảng cách từ điểm gốc. Chứng minh rằng trong môi trường như vậy, ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo hai đường tròn vuông góc với đường tròn bán kính 1 có tâm ở gốc tọa độ.

Nhiệm vụ 4. Tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c(x, y) = kr$ . Chứng minh rằng trong trường hợp này ánh sáng giữa hai điểm sẽ trải dọc theo hai zonopicloud (xem bài tập của Newmon ở cuối bài “Bí mật của Cyclops”, «Kvant», 1975, số 8, trang 27).

Nếu trong các bài toán 1-4 $c(x, y)$ được hiểu là giá trị của tốc độ của chuyển động cơ học không đồng nhất, thì quỹ đạo truyền ánh sáng thu được ở lời giải trong số bài toán này sẽ là brachistochrons cho các hệ cơ học tương ứng.

Sự tương đồng giữa cơ học và quang học

Cơ chế bài toán cơ bản là xác định vị trí của một vật chuyển động tại bất kỳ thời điểm nào.

I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, Sách giáo khoa vật lý lớp 8 THCS.

Vì vậy, trong cơ học, quỹ đạo của một điểm vật chất thường được tìm kiếm nếu biết các lực tác dụng lên điểm đó và cho trước vị trí ban đầu và vectơ vận tốc (điều kiện ban đầu). Tuy nhiên, có thể giao nhau không phải với các quỹ đạo riêng lẻ mà với mô tả tất cả các tính chất của quỹ đạo đối với một định luật thay đổi nhất định của các lực tác dụng (một đặc điểm kỹ thuật bổ sung của các điều kiện ban đầu sau đó sẽ chọn một quỹ đạo cụ thể từ tập hợp các quỹ đạo này). Do đó, kết quả kinh điển của Galileo về chuyển động của một vật được ném (theo phương ngang hoặc nghiêng một góc so với đường chân trời) là trong trường hợp lực, nhiều quỹ đạo bao gồm các parabol khác nhau.

Việc sử dụng quang học trong các nhiệm vụ cơ học thuần túy cho thấy nỗ lực làm nổi bật khả năng quỹ đạo của một hệ thống cơ học cụ thể, trong một số điều kiện của một trang trại tối thiểu. Leibnitz đã nghĩ về điều này, nhưng công thức đầu tiên thuộc về Maupertion. Tuy nhiên, các công trình xây dựng của ông liên quan đến toàn bộ vũ trụ và không có những tuyên bố chính xác. Công thức chính xác đầu tiên là của Euler (người đã nghiên cứu toán học với Johann Bernoulli). Nó liên quan đến tình huống đặc biệt sau đây.

Cho một điểm vật chất chuyển động dọc theo một mặt phẳng dưới tác dụng của một lực sao cho thế năng chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm: $U = U(x, y)$ . Do định luật bảo toàn năng lượng nên độ lớn vận tốc của điểm $|v|$ khi đó cũng phụ thuộc

chỉ từ $(x, y)$ :

$|\vec{v}\,(x,y)| = \sqrt{\frac{2}{m}\,(E-U(x,y))}\,.$

Chúng ta hãy xem xét một môi trường quang học phẳng không đồng nhất trong đó tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c\,(x,y) = \dfrac{k}{|\vec{v}\,(x,y)|}$ . Nguyên lý Euler là quỹ đạo truyền ánh sáng trong môi trường như vậy sẽ trùng với quỹ đạo có thể có của hệ cơ học ban đầu (một điểm vật chất có khối lượng $m$ có thế năng $U\,(x,y)$ ). Tất nhiên, nguyên lý Euler có thể được phát biểu theo cách không đề cập đến sự truyền ánh sáng.

Đặc biệt, từ bài toán 2 và nguyên lý Euler tuân theo phát biểu trên của Galileo về quỹ đạo của một điểm vật chất chuyển động dưới tác dụng của trọng lực.

Bây giờ chúng ta hãy giải thích nguyên lý Euler. Để đơn giản, chúng tôi giới hạn bản thân trong trường hợp khi $U\,(x,y)$ và do đó $|\vec{v}|$ , chỉ phụ thuộc vào $y$ . Vì thế năng không đổi theo phương ngang nên lực sẽ hướng thẳng đứng, thành phần nằm ngang của vectơ gia tốc bằng 0 và thành phần nằm ngang của vectơ vận tốc không đổi, nghĩa là

$|\vec{v}\,(y)|\cdot\sin \alpha\,(y) = \mathrm{const}, \qquad (4)$

trong đó $\alpha\,(y)$ là góc giữa vectơ vận tốc và phương thẳng đứng tại điểm quỹ đạo có tọa độ $y$ . Mối quan hệ (4) cùng với (1) đưa ra nguyên lý Euler cho trường hợp cụ thể này. (Trong trường hợp tổng quát, cần tính đến việc các lực tác dụng vuông góc với các đường hằng số thế năng và do đó, các thành phần của vectơ vận tốc tiếp tuyến với các đường hằng số này không thay đổi.)

Trong cơ học hiện đại, những nguyên lý khái quát hóa nguyên lý Euler (nguyên lý Hamilton, v.v.) đóng vai trò cực kỳ quan trọng.