Trung vị và đường giữa

46

Trung vị và đường giữa

E. G. Gotman

…Nhiều bài toán cùng nhau có tác dụng chữa lành nhiều hơn chỉ một trong số chúng, nếu đây là số lượng lớn hơn của bài toán những cái tốt được kết hợp lại và một bài toán bị cô lập riêng.

D. Hát a. “Toán học và lý luận hợp lý”

Bài viết này trình bày bài toán về tính chất đường trung tuyến của một tam giác và đường trung bình của một tứ giác. Bài toán dành cho học sinh lớp 7-8. Đối với lời giải của họ, bạn cần đưa ra một cấu trúc phụ trợ, áp dụng phép dịch song song hoặc đối xứng tâm. Chứng minh sử dụng một số ít định lý, thường là định lý về đường trung bình của một tam giác. Bài toán được sắp xếp theo trình tự sao cho chỉ cần chọn các phím tới lời giải trong số chúng là đủ để có thể giải được phím tiếp theo.

Một số dữ liệu bài toán kèm theo giải pháp hoặc hướng dẫn ngắn gọn (ở cuối tạp chí). Trước khi đọc lời giải cái này hay cái kia bài toán, hãy cố gắng tự mình giải quyết. Nếu khó thì xây dựng trên bản vẽ. Tìm hiểu vai trò của các đường phụ trợ và chúng cần thiết để làm gì. Đọc gợi ý đến lời giải. So sánh các khả năng khác nhau của các phương pháp lời giải của cùng một bài toán. Khi bắt đầu lời giải tiếp theo bài toán, hãy tìm điểm tương đồng của chúng với các vấn đề đã được giải quyết và thử sử dụng nó.

Trung tuyến của một tam giác

Bài toán 1. Vẽ đường trung tuyến CM trong tam giác ABC. Chứng minh rằng

a) nếu $|CM| > \frac{1}{2}|AB|$ thì $\hat{C} < 90^\circ$;

b) nếu $|CM| = \frac{1}{2}|AB|$ thì $\hat{C} = 90^\circ$;

c) nếu $|CM| < \frac{1}{2}|AB|$ thì $\hat{C} > 90^\circ$.

Hãy biểu thị $A\hat{CM} = \alpha$, $B\hat{CM} = \beta$ (Hình 1).

a) $|CM| > |AM|$ và $|CM| > |BM|$. Xét các tam giác $ACM$ và $BCM$. Vì trong một tam giác có một góc lớn hơn đối diện với cạnh lớn hơn nên $\hat{A} > \alpha$, $\hat{B} > \beta$. Cộng các đẳng thức này theo từng số hạng, chúng ta thu được $\hat{A} + \hat{B} > \hat{C}$. Theo sau đó là $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} > \hat{C} + \hat{C} = 2\hat{C}$ và, kể từ $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$, $\hat{C} < 90^\circ$.

Cơm. 1.

47

Đối với trường hợp 6) và 8), cách chứng minh tương tự.

Vì vậy, chúng tôi thấy rằng đối với lời giải bài toán không cần có công trình xây dựng bổ sung nào.

Người ta biết rằng đường trung tuyến vẽ đáy của một tam giác đều là đường phân giác của góc ở đỉnh. Chúng ta hãy xem xét tính chất đường trung tuyến của một tam giác cân.

Bài toán 2. Đường trung tuyến CM của tam giác ABC được tạo từ các cạnh AC và BC có các góc tương ứng là α và β. Góc nào trong số các góc này lớn hơn nếu |AC| < |BC|?

Hãy ký hiệu |BC| = a, |AC| = b thì theo điều kiện a > b.

Chúng ta hãy xem xét hai cách lời giải của bài toán này.

Cách đầu tiên. Hãy dựng điểm D đối xứng với điểm C so với điểm M ở giữa cạnh AB và nối điểm D với đỉnh A (Hình 2). Tam giác dựng ADM đối xứng với tam giác BCM qua điểm M, do đó |AD| = |BC| = a và ADM = BCM = β. Ta thu được tam giác ACD chứa giao điểm của các góc α và β, các cạnh đối diện AD và AC lần lượt bằng nhau của a và b. Theo điều kiện, a > b, do đó α > β.

Cách thứ hai. Hãy nối E giữa của cạnh AC với điểm M (Hình 2).

Cơm. 2.

Cơm. 3.

48

nhưng $M$ và sử dụng kết quả bài toán 3.

Cách thứ hai. Với lời giải bài toán 2, phương pháp đầu tiên chúng ta dựng một tam giác $ADM$, một tam giác đối xứng $BCM$ so với điểm giữa $M$ của cạnh $AB$. Đối với lời giải bài toán 4, kỹ thuật tương tự có thể được sử dụng. Dựng một tứ giác $AMN_1C_1$, một tứ giác đối xứng $BMNC$ so với điểm $M$ (Hình 4). Đặt $|AD| = a$, $|BC| = b$, $|MN| = m$, sau đó $|AC_1| = b$, $|DC_1| = |NN_1| = 2m$. Nếu $(AD) \parallel (BC)$ thì $a + b > 2m$; nếu $(AD) \parallel (BC)$, thì $a + b = 2m$.

Cách thứ ba. Nối điểm giữa $E$ của một trong các đường chéo của tứ giác với các điểm $M$ và $N$ (Hình 5). Sau đó, như với lời giải bài toán 2 theo cách thứ hai, bạn sẽ có một hình tam giác $EMN$ có các cạnh bằng $a/2$, $b/2$ và $m$. Vì vậy, $m < (a + b)/2$. Trong trường hợp đặc biệt khi $(AD) \parallel (BC)$, tam giác $EMN$ suy biến thì điểm $E$ sẽ thuộc đoạn $MN$ và do đó, $m = \frac{1}{2} (a + b)$.

Từ bài toán 4 suy ra độ dài đường trung bình $MN$ của tứ giác $ABCD$ bằng một nửa chiều dài cạnh $AD$ và $BC$ của moed và moloko moed, khi các cạnh này song song.

Bài tập 5. Các cạnh đối $AD$ và $BC$ của tứ giác $ABCD$ dựng được. Chứng minh rằng đường thẳng nối hai cạnh còn lại cần có các góc bằng nhau với các đường thẳng $AD$ và $BC$.

bài toán này, giống như cái trước, có thể được giải theo nhiều cách khác nhau, sử dụng cùng một kỹ thuật. Bạn thích lời giải nào nhất?

Bài tập 6. Vẽ một tam giác có hai cạnh và đường trung tuyến vẽ cạnh thứ ba.

Bài 7. Dựng một tứ giác biết tất cả các cạnh và đoạn thẳng nối hai cạnh đối diện.

bài toán tiếp theo đáng được ghi nhớ. Đây là bài toán rất nổi tiếng, thường được sử dụng với lời giải khác bài toán.

Bài tập 8. Chứng minh trung điểm của một tứ giác bất kỳ là các đỉnh của hình bình hành. Trong điều kiện nào hình bình hành này sẽ có dạng

a) hình thoi,
b) một góc vuông,
b) hình vuông?

Bài tập 9. Chứng minh rằng đường trung bình của một tứ giác bất kỳ và đoạn nối các đường chéo cắt nhau tại một điểm và chia đôi.

Nếu các điểm $A, B, C$ và $D$ không thuộc cùng một mặt phẳng thì sáu đoạn thẳng nối các điểm này theo cặp là các cạnh của một hình bình hành tam giác (tứ diện).

Bài 10. Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện của tứ diện cắt nhau tại một điểm và chia đôi điểm đó.

Xin lưu ý rằng bài toán 9 là trường hợp đặc biệt (hay đúng hơn là trường hợp giới hạn) bài toán 10.

Bài 11. Đường chéo của một tứ giác vuông góc với nhau. Biết độ dài $e$ và $f$ của chúng, hãy tính độ dài các đường trung bình của tứ giác.

Bài 12. Trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$, $BC$ và $DE$ của ngũ giác lồi $ABCDE$ được nối với nhau bằng các đoạn thẳng. Điểm giữa $H$ và $K$ của các đoạn kết quả được kết nối lại. Chứng minh rằng đoạn $HK$ song song với các đoạn $AE$ và $|HK| = |AE|/4$.