Bài toán M356—M360; F368—F372

36

Bài toán

M356—M360; F368—F372

M356. Từ điểm $M$, nằm bên trong tam giác $A_1B_1C_1$, các đường vuông góc $MA_2, MB_2, MC_2$ lần lượt được thả xuống các đường thẳng $B_1C_1, A_1C_1$ và $A_1B_1$. Sau đó, từ điểm $M$ các đường vuông góc $MA_3, MB_3, MC_3$ được thả xuống các đường thẳng $B_2C_2, A_2C_2, A_2B_2$ (Hình 1), v.v. Chứng minh rằng trong dãy tam giác $A_1B_1C_1$,

$$A_2B_2C_2, A_3B_3C_3, \dots \text{ треугольник } A_{3n+1}B_{3n+1}C_{3n+1} \text{ подобен треугольнику } A_1B_1C_1.$$

Y. N. Sukonic

M357. Chứng minh rằng nếu $x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}$ thì $x = y = z$ hoặc $x^2y^2z^2 = 1$.

M358. Chứng minh rằng bất kỳ $n$-giác ($n \geqslant 4$) nào cũng có ít nhất một đường chéo nằm hoàn toàn bên trong $n$-giác, và tìm ra số đường chéo nhỏ nhất mà một $n$-giác có thể có (đối với mỗi $n$).

A. Khomodov

M359*. Một quả bóng nhỏ di chuyển bên trong bàn bida, có hình elip với tiêu điểm $A$ và $B$, phản xạ đàn hồi từ các cạnh dọc theo đường đứt nét $P_1P_2P_3P_4 \dots (P_1, P_2, \dots$ - các điểm của hình elip). Chứng minh rằng nếu liên kết

37

$P_1P_2$ không cắt đoạn $AB$, thì a) tất cả các liên kết tiếp theo $P_2P_3, P_3P_4, \dots$ không cắt đoạn $AB$; b) tất cả các liên kết này đều chạm vào cùng một hình elip. (Hãy suy nghĩ về cách xây dựng hình elip này.)

A. N. Zemlyakov

M360*. Đối với chuỗi $a_1, a_2, a_3, \dots$, người ta biết rằng $|a_1| = 1$ và $|a_{k+1}| = |a_k| + 1$ cho mỗi $k = 1, 2, \dots$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của tổng $|a_1 + a_2 + \dots + a_n|$ nếu:
a) $n = 1975$;
b) $n = 1976$.

V. P. Golubyatnikov

F368. Một tên lửa có khối lượng $m$ bắt đầu nghiêng một góc $\alpha$ so với đường chân trời. Tên lửa di chuyển trong $t$ giây, tạo ra lực đẩy $F$ và đảm bảo tên lửa di chuyển theo đường thẳng. Bỏ qua sự thay đổi khối lượng tên lửa và lực cản không khí, xác định độ cao $h$ tại đó động cơ dừng hoạt động.

V. A. Pozozhev

F369. Ba quả bóng được tải giống hệt nhau được buộc chặt bằng các sợi không dẫn điện tạo thành hình tam giác vuông $BAC$ (Hình 2). Góc $ABC$ bằng $\alpha, BC = l$. Các điện tích sẽ bắt đầu chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu nếu sợi dây $BC$ bị cắt? Điện tích của các quả bóng là $q$, khối lượng là $m$.

F370. Một ống có đường kính nhỏ hơn nhiều so với chiều dài được cuộn vào bình

Cơm. 2.

dọc theo bán kính $R$. Chiếc nhẫn được đặt thẳng đứng và chứa đầy chất lỏng, ngoại trừ một khu vực nhỏ gần điểm $A$ (Hình 3), trong đó có bọt khí. Bong bóng bắt đầu nổi. Tìm vận tốc của anh ấy tại thời điểm anh ấy vượt qua điểm $B$. Chiều dài bong bóng $l$. Bỏ qua ma sát của nước với thành ống.

F371. Pháo đại bác $M=200\,\text{кг}$ bắn một viên đạn đại bác lớn $m=20\,\text{кг}$ theo một góc $\alpha=30^\circ$ so với phương ngang. Điện tích của thuốc súng là $r=5\,\text{кг}$, nhiệt lượng của nó là $q=1000\,\text{ккал}/\text{кг}$. Vào thời điểm viên đạn rời khỏi nòng pháo, Nam tước Munchausen đã ngồi lên đó. Khối lượng của nó là $\mu=70\,\text{кг}$. Một viên đạn đại bác Munchausen sẽ rơi gần đến mức nào với cùng một lượng thuốc súng? Bạn cần tăng lượng thuốc súng bao nhiêu để Munchausen có thể bắn trúng đúng vị trí mà đạn đại bác rơi xuống trước đó?

Lấy hiệu suất của phát bắn bằng $\eta=10\%.$ Giả sử súng nằm trên một bề mặt nhẵn mà nó có thể trượt mà không ma sát.

A. L. Stasenko

F372. Hai thấu kính dương mỏng có tiêu cự $F_1$ và $F_2$ nằm trên cùng một trục. Sử dụng hệ thấu kính này, người ta thu được ảnh của một vật và hóa ra kích thước của ảnh không phụ thuộc vào khoảng cách từ vật đến hệ thấu kính. Tìm khoảng cách $l$ giữa các thấu kính.

E. P. Kuznetsov