Bài toán

Bài toán

1. Chứng minh rằng nếu $a$ và $b$ là nghiệm của phương trình $x^4 + x^3 = 1$ thì $ab$ là nghiệm của phương trình $x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0$.

2. Chứng minh rằng nếu $x \neq y$, $y \neq z$, $x \neq z$ và

$$\frac{k\,(1+yz)-y-z}{y-z} =$$

$$= \frac{k\,(1+zx)-z-x}{z-x} =$$

$$= \frac{k\,(1+xy)-x-y}{x-y} = u,$$

thì $3u^2 - k^2 + 1 = 0$.

3. Chứng minh rằng nếu $xy\,(x+y) = c$, $yz\,(y+z) = a$, $zx\,(z+x) = b$, $xyz = d$,

thì $a+b+c+2d = \dfrac{abc}{d^2}$.

4. Chứng minh rằng nếu $A$, $B$, $C$ là các giá trị các góc của một tam giác thì với mọi số tự nhiên $n$ các bất đẳng thức đều đúng

$$(-1)^{n+1}\,(\cos nA + \cos nB + \cos nC) \leqslant 3/2,$$

và $-1 \leqslant (-1)^{n+1} \times$

$$\times \cos nA \cos nB \cos nC \leqslant 1/8.$$

5. Chứng minh rằng nếu $x$, $y$, $z$ là số thực bất kỳ và $a$, $b$, $c$ là các cạnh của một tam giác có diện tích $\Delta$ thì bất đẳng thức

$$\frac{xy}{ab} + \frac{yz}{bc} + \frac{zx}{ca} \leqslant$$

$$\leqslant \left(\frac{ax+by+cz}{4\Delta}\right)^{\frac{1}{2}},$$

trong đó đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$$\frac{x}{a\,(b^2+c^2-a^2)} =$$

$$= \frac{y}{b\,(c^2+a^2-b^2)} =$$

$$= \frac{z}{c\,(a^2+b^2-c^2)}\,.$$

N. TRONG.

35