Một bất đẳng thức hình học

Một bất đẳng thức hình học

Trong «Kvant» số 7 của năm nay (trang 65), giả định sau đã được đưa ra:
$$\dfrac9{20}(ab+bc+ca)\le m_am_b+m_bm_c+m_cm_a,$$
trong đó $a$, $b$, $c$, $m_a$, $m_b$, $m_c$ là độ dài của các cạnh và theo đó là đường trung tuyến của một tam giác tùy ý.

Dưới đây là một bằng chứng “hình học” của tuyên bố này.

Bổ đề 1. $m_a+m_b+m_c\lt a+b+c$.

Bổ đề 2. $a^2+b^2+c^2\lt2(ab+ac+bc)$.

Bổ đề 3. $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\dfrac34(a^2+b^2+c^2)$.

Hãy tự mình chứng minh các bổ đề này.

Bổ đề 4. $m_am_b+m_bm_c+m_am_c\lt\dfrac54(ab+bc+ac)$.

Bằng chứng. Theo Bổ đề 1, $(m_a+m_b+m_c)^2\lt(a+b+c)^2$, tức là
$$\begin{gather*} m_a^2+m_b^2+m_c^2+2m_am_b+2m_bm_c+2m_am_c\lt\\ \lt(a^2+b^2+c^2)+2ab+2bc+2ac, \end{gather*}$$
từ đó, theo Bổ đề 3 và 2:
$$2m_am_b+2m_bm_c+2m_am_c\lt\dfrac14(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)\lt\dfrac52(ab+bc+ac),$$
Q.E.D.

Bổ đề 5. Nếu chúng ta dựng các đường trung tuyến trong một tam giác có các cạnh $\dfrac13m_a$, $\dfrac13m_b$ và $\dfrac13m_c$ thì độ dài của chúng sẽ bằng $\dfrac14a$, $\dfrac14b$ và $\dfrac14c$.

Bằng chứng. Đặt $G$ là trọng tâm của tam giác, $ABC$, $AM$, $BK$ và $CP$ là các đường trung tuyến, $R$ là trung điểm của đoạn $BG$. Theo cách xây dựng, $|RG|=\dfrac13m_b$, $|PG|=\dfrac13m_c$ và $PR$ là đường giữa trong tam giác $ABG$, từ đó $|PR|=\dfrac12|AG|=\dfrac13m_a$. Vì vậy, tam giác $PRG$ là tam giác mong muốn. Hãy vẽ một trung vị $PQ$ trong đó. Nó là đường trung bình trong tam giác $ABK$ và do đó $|PQ|=\dfrac12|AK|=\dfrac14a$.

Tuyên bố của bổ đề đã được chứng minh.

Bây giờ áp dụng Bổ đề 4 cho tam giác $PRG$, chúng ta thu được bất đẳng thức cần thiết.