Một điểm, một đường thẳng... - nó là gì?

Một điểm, một đường thẳng… - nó là gì?

TRONG

«Kvant»
№ 11

kể về một tình huống tuyệt vời - tại một trong những Moscow
trường học, Martian Inko bay đến để học hình học. Các chàng trai không thể
“nói” cho anh ấy biết điểm là gì, đường thẳng và chỉ với sự trợ giúp của các tiên đề
thuộc về, anh bắt đầu hiểu được tính chất của những khái niệm này. Trong căn phòng này
chúng tôi mời bạn tiếp tục làm quen với các tính chất của điểm và đường - chúng tôi trình bày thêm hai nhóm tiên đề và bài toán, bằng cách giải mà bạn có thể
kiểm tra xem bạn có hiểu đúng những tiên đề này không.

1. Khoảng cách từ điểm này đến điểm khác. Tiên đề khoảng cách

Tiên đề II₁. Với hai điểm bất kỳ $A$ và $B$ đều có
một đại lượng không âm $|AB|$, được gọi là khoảng cách từ $A$ đến $B$.
Khoảng cách bằng 0 khi và chỉ khi các điểm $A$ và $B$
cuộc thi đấu.

Tiên đề II₂. Khoảng cách từ điểm $A$ đến điểm $B$ là
khoảng cách từ điểm $B$ đến điểm $A$: $|AB|=|BA|$.

Tiên đề II₃. Đối với ba điểm bất kỳ $A$, $B$, $C$
khoảng cách từ $A$ đến $C$ không lớn hơn tổng các khoảng cách từ $A$ đến $B$ và từ $B$
đến $C$: $|AC|\le|AB|+|BC|$.

Tiên đề II$_{\text{1—3}}$ xác định khái niệm khoảng cách từ điểm này đến điểm khác. Đối với lời giải bài toán chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu có dạng “khoảng cách
(II$_1$)" (khoảng cách chỉ được mô tả bằng tiên đề II$_1$), “khoảng cách
(II$_{1,2}$)” (khoảng cách được mô tả bằng tiên đề II$_1$ và II$_2$), “điểm
(II$_1$)” (điểm được mô tả bởi tiên đề II$_1$), v.v.

Bài toán 1. Xác định khoảng cách giữa hai hình
là khoảng cách nhỏ nhất giữa các điểm, một trong số đó thuộc về
hình đầu tiên và hình kia - hình thứ hai.

1. Hình 1 thể hiện bản đồ các trạng thái $A$, $B$, $C$, $D$, mỗi trạng thái có hình dạng như một hình vuông có cạnh 100 km. Khoảng cách là bao nhiêu
   giữa các trạng thái $A$ và $B$, $B$ và $C$, $A$ và $C$, $A$ và $D$? Những trạng thái này có thể được gọi là điểm (II$_1$) không?
2. Các đường tròn ở Hình 2 có thể được coi là điểm (II$_1$) không?

Cơm. 1

Cơm. 2

Bài toán 2. Khoảng cách giữa hai khu dân cư
những điểm nằm trên bờ sông, chúng ta sẽ gọi thời gian di chuyển từ điểm này sang điểm khác bằng thuyền. Có thể đếm các khu định cư $A$, $B$ và $C$
(Hình 3) theo điểm (II$_{1,2}$)?

Cơm. 3

Cơm. 4

Bài toán 3. Xe điện chạy dọc theo tuyến vành đai theo hướng mũi tên ở Hình 4. Khoảng cách giữa
điểm dừng được đo bằng chiều dài của con đường mà xe điện đi qua. Có thể dừng lại được không
$A$, $B$, $C$ đếm

1. dấu chấm (II$_1$);
2. dấu chấm (II$_2$);
3. dấu chấm (II$_{1,2}$)?
4. Có thể chứng minh tiên đề II$_2$ dựa trên tiên đề II$_1$ được không?
5. Nếu tiên đề II$_2$ không đúng, điều này có nghĩa là tiên đề II$_1$ không đúng?
6. Trong điều kiện nào thì đẳng thức sẽ được thỏa mãn trong bài toán này
   $|AB|=|BA|$?

Cơm. 5

Bài toán 4. Hình 5 thể hiện các con đường
kết nối các khu định cư $A$, $B$, $C$. Khoảng cách giữa chỉ định
các khu định cư được đo bằng chiều dài của con đường giữa chúng. Có thể là vật phẩm $A$,
$B$, $C$ đếm

1. dấu chấm (II$_1$);
2. dấu chấm (II$_2$);
3. dấu chấm (II$_{1,2}$)?

Bài toán 5. Tiên đề II$_3$ có thỏa mãn các trạng thái như trong Hình 1 không?

Bài toán 6. a) Tiên đề II$_3$ có đúng với các vòng tròn hiển thị trong Hình 2 không?

1. Những vòng tròn này có thể được coi là điểm (II$_{2,3}$) không?
2. Có thể chứng minh tiên đề II$_1$ dựa trên tiên đề II$_2$ và II$_3$ không?

Bài toán 7. a) Kiểm tra sự đáp ứng của tiên đề II$_3$
cho các khu định cư ở bài toán 2.

1. Các khu định cư $A$, $B$, $C$ có ​​thể được coi là điểm không?
   (II$_{1,3}$)?
2. Có thể chứng minh tiên đề II$_2$ dựa trên tiên đề II$_1$ và II$_3$ không?

2. Tiên đề trật tự

Tiên đề III₁. Điểm bất kỳ $O$ của đường thẳng $p$ chia tách
tập hợp các điểm của đường thẳng $p$ khác với $O$ thành hai tập hợp không trống sao cho
Cái gì:

1. với hai điểm $A$ và $B$ bất kỳ thuộc các tập hợp khác nhau,
   điểm $O$ nằm giữa $A$ và $B$;
2. nếu điểm $A$ và $B$ thuộc cùng một tập hợp thì một
   trong đó nằm giữa một điểm khác và một điểm $O$.

Các bộ được đề cập trong Tiên đề III$_1$ được gọi là mở
tia và sự kết hợp của mỗi tia với điểm $O$ được gọi là tia có gốc $O$.

Tiên đề III₂. Đối với mọi khoảng cách $a$ tại một thời điểm nhất định
tia có gốc $O$ có một và chỉ một điểm $A$, khoảng cách
mà từ điểm $O$ bằng $a$: $|OA|=a$.

Tiên đề III₃. Nếu điểm $C$ nằm giữa các điểm $A$ và $B$ thì các điểm $A$, $B$, $C$ thuộc cùng một đường thẳng.

Tiên đề III₄. Bất kỳ đường thẳng nào $p$ chia tập hợp các điểm trên mặt phẳng không thuộc nó thành hai tập hợp không trống sao cho:

1. • Hai điểm thuộc hai tập hợp khác nhau cách nhau một đường thẳng
     $p$;*
2. hai điểm bất kỳ thuộc cùng một tập hợp không cách nhau bởi một đường thẳng $p$.

Cơm. 6

Bài toán 8. Lấy trục số $Ox$, mở
đoạn $]AB[$ giao nhau với trục này (Hình 6) và các điểm $C$ và $D$ như vậy
đó $(BC)\parallel(Ox)$, $(AD)\parallel(Ox)$. Điểm chùm tia $Ox$ sẽ được thiết kế
đến đoạn $OB$ từ tâm $C$; điểm của tia đối diện với tia $Ox$,
Hãy chiếu từ tâm $D$ lên đoạn $AO$. Sau đó trên đoạn mở $]AB[$
chúng ta có được một thang số vô hạn. Chúng ta sẽ đo khoảng cách giữa các điểm
đoạn mở $]AB[$ sử dụng thang số thu được: nếu tại điểm
$M$ là viết tắt của số $m$, tại điểm $N$ là viết tắt của số $n$, sau đó là $|MN|=|m-n|$.

1. Chỉ vào $]AB[$ một số cặp chấm nằm cách nhau 2 đơn vị; 5 chiếc; 8 chiếc; 10 đơn vị.
2. Cho biết vị trí gần đúng của một điểm nằm trên đoạn $]AB[$ và ở xa
   từ $O$ trên 1000 đơn vị.
3. Tiên đề II$_{\text{1—3}}$ có giữ nguyên điểm $]AB[$ cho những trường hợp như vậy không
   đo khoảng cách?

Cơm. 7

Bài toán 9. Hình 7 thể hiện một số
dòng. Khoảng cách giữa hai điểm của đường thẳng có nghĩa là độ dài
đường đi ngắn nhất từ ​​điểm này đến điểm khác dọc theo đường này. Bên dưới máy bay
Chúng ta sẽ giả sử một chiếc máy bay bình thường. Kiểm tra xem tất cả các tiên đề có thỏa mãn cho các dòng được hiển thị hay không.

Phần kết luận

Chúng tôi đã kiểm tra một số mô hình đơn giản trong đó các tiên đề nhất định được thỏa mãn. Có nhiều mô hình thỏa mãn mọi tiên đề
hình học. Điều này được giải thích bởi thực tế là điểm không phải là một mũi kim đâm, mà là một đường thẳng - không phải một sợi dây căng chặt, kéo dài vô tận theo cả hai hướng.
Điểm và đường có thể được gọi là bất kỳ đối tượng nào mà nó
các thuộc tính được chỉ định trong các nhóm tiên đề. Ví dụ: dưới dấu chấm chúng ta có thể
có nghĩa là một cặp số $(x,y)$ và theo một đường thẳng bất kỳ tập hợp cặp $(x,y)$ nào là nghiệm của phương trình $ax+by+c=0$.

Vì vậy, điểm và đường thẳng là những khái niệm, tính chất hình học
Được mô tả trong các tiên đề. Đây có thể là đoạn ngắn đáp số của bạn
cho giáo viên trong kỳ thi.

• Nhưng còn hình ảnh các điểm và đường dùng phấn và bút chì thì sao? - bạn hỏi. Vâng, đây chỉ là hình ảnh.
  những điểm và đường giúp chúng ta lý luận. Và đó là tất cả. Nhưng không có cách nào
  trường hợp không phải là điểm cũng như đường thẳng. Và ai biết được, có thể ở một hành tinh xa xôi nào đó
  học sinh mô tả các điểm và đường theo một cách hoàn toàn khác và không biết rằng chúng có thể
  miêu tả nó theo cách nó được thực hiện ở đây, trong các trường học “trần thế”.