Bài toán M391—M395; F403—F407

28

Bài toán

M391—M395; F403—F407

M391. a) Trong dãy $x_0, x_1, x_2, \dots$, các số $x_0$ và $x_1$ là số tự nhiên và nhỏ hơn 1000, mỗi số còn lại có modulo bằng hiệu của hai số trước. Chứng minh rằng một trong các số $x_1, x_2, \dots x_{1500}$ bằng 0. (10 phím)

6. Trong chuỗi $x_0, x_1, x_2, \dots$, các số $x_0$ và $x_1$ là tự nhiên và nhỏ hơn 10000, và mỗi số $x_2, x_3, \dots$ bằng hiệu nhỏ nhất của hai số trước đó. Chứng minh rằng $x_{20}=0$. (lớp 8, lớp 9)

S. Fomin

M392. Ba người đi bộ đang đi dọc theo những con đường ven biển với tốc độ không đổi. Lúc đầu chúng không nằm trên cùng một đường thẳng. Chứng minh rằng chúng có thể nằm trên cùng một đường không quá hai lần. (10 lớp)

N. Vasiliev

M393. Tìm số tiền

$$\varphi(0) + \varphi\left(\frac{1}{n}\right) + \varphi\left(\frac{2}{n}\right) + \dots + \varphi(1),$$

nếu $\varphi(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$.

M. Levin

M394. Một) *. Các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ cho trên mặt phẳng, tổng của chúng bằng 0. Chứng minh bất đẳng thức

$$|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| + |\vec{d}| \geqslant |\vec{a} + \vec{d}| + |\vec{b} + \vec{d}| + |\vec{c} + \vec{d}|.$$

Chứng minh bất đẳng thức tương tự:

6. cho bốn số và

b) * bốn vectơ trong không gian ba chiều, tổng của chúng bằng 0. (9 ô, 10 ô)

29

M395*. Ở đầu $n$-giác thông thường có tâm tại điểm $O$ các số (+1) và (-1) được đặt. Trong một bước, phép cắt sẽ thay đổi dấu của tất cả các số nằm ở đầu bất kỳ $k$-giác thông thường nào có tâm $O$ (đồng thời, chúng tôi cũng cho phép 2-giác, lấy một đoạn dưới 2-giác có trung điểm tại điểm $O$). Chứng minh rằng trong trường hợp a), 6), c) có sự sắp xếp ban đầu (+1) và (-1) sao cho không có số bước nào có thể thu được chỉ (+1) từ nó:

a) $n=15$,
b) $n=30$,
b) $* n$ - bất kỳ số nào lớn hơn 2.
d) $*$ Cố gắng tìm một cách tùy ý $n$ có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau (+1) và (-1) sao cho không cách nào có được cách sắp xếp nào khác trong vài bước. Ví dụ, chứng minh rằng với $n=2100$ có ​​$2^{480}$ cách sắp xếp như vậy. (10 lớp)

S. Fomin

F403. Trong mạch điện gồm hai tụ điện emkom $C$ giống hệt nhau và một cuộn cảm $L$ mắc nối tiếp (Hình 1), tại thời điểm ban đầu một trong các tụ điện có điện tích $q_0$, tụ điện thứ hai không được tích điện.

Điện tích của tụ điện và dòng điện trong mạch sẽ thay đổi như thế nào theo thời gian sau khi đóng công tắc? Đề xuất một hệ dao động cơ tương tự như hệ dao động điện này. (10 lớp)

F404. Xác định hiệu suất của động cơ phản ứng là động cơ nhiệt và lực kéo của nó. Động cơ tên lửa sử dụng hydro làm nhiên liệu và oxy lỏng làm chất oxy hóa. Tiêu thụ hydro thứ cấp 24 kcal/giây. Tốc độ dòng khí từ vòi phản ứng là $4,2 \cdot 10^3$ m/giây. Nhiệt trị của hydro là $1,1 \cdot 10^8$ J/kk. (9 lớp)

F405. Một quả cầu có thành mỏng đồng nhất có bán kính $R$ được cắt thành hai phần và buộc chặt, như trong Hình 2. Trọng tâm của tấm kính ở độ cao bao nhiêu nếu chiều cao của thân nó là $h$? (8 lớp)

F406. Vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn ở khoảng cách tính từ bề mặt Trái đất bằng bán kính của nó $R$. Tại một thời điểm nào đó, một trạm được phóng từ vệ tinh đến hành tinh khác, sau đó phần còn lại của vệ tinh di chuyển theo quỹ đạo hình elip chạm vào bề mặt Trái đất tại một điểm đối diện với điểm trạm.