Задачи М391—М395; Ф403—Ф407

28

Задачи

M391—M395; Ф403—Ф407

M391. a) В последовательности $x_0, x_1, x_2, \dots$ числа $x_0$ и $x_1$ — натуральные и меньше 1000, а каждое из остальных чисел равно modulo разности двух предыдуших. Докажите, что одно из чисел $x_1, x_2, \dots x_{1500}$ равно 0. (10 кл.)

6. В последовательности $x_0, x_1, x_2, \dots$ числа $x_0$ и $x_1$ — натуральные и меньше 10000, а каждое из чисел $x_2, x_3, \dots$ равно наименьшей из разностей двух кихх-то предыдуших чисел. Докажите, что $x_{20}=0$. (8 кл., 9 кл.)

С. Фомин

M392. По тем примолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальной момент они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз. (10 кл.)

H. Васильев

M393. Найти сумму

$$\varphi(0) + \varphi\left(\frac{1}{n}\right) + \varphi\left(\frac{2}{n}\right) + \dots + \varphi(1),$$

если $\varphi(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$.

M. Левин

M394. a) *. На плоскости даны векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$, сумма которых равна 0. Докажите неравенство

$$|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| + |\vec{d}| \geqslant |\vec{a} + \vec{d}| + |\vec{b} + \vec{d}| + |\vec{c} + \vec{d}|.$$

Докажите аналогичное неравенство:

6. для четырех чисел и

b) * четырех векторов в трехмерном пространстве, сумма которых равна 0. (9 кл., 10 кл.)

29

М395*. В верхних правильного $n$-угольника с центром в точке $O$ расставлены числа (+1) и (-1). За один шаг разрезается изменить знак у всех чисел, стоящих в верхних какого-либо правильного $k$-угольника с центром $O$ (при этом мы допускаем и 2-угольники, поимая под 2-угольником отрезок с серединой в точке $O$). Доказите, что в случае a), 6), в) существует такое первоначальное расположение (+1) и (-1), что из него ни за какое число шагов нельзя набор из одних (+1):

a) $n=15$,
b) $n=30$,
b) $* n$ — любое число, больше 2.
г) $*$ Попробуйте выяснить для произвольного $n$, сколько существует различных расстановок (+1) и (-1) таких, что никакую из них нельзя получить ни из какой другой за несколько шагов. Доказите, например, что для $n=2100$ существует $2^{480}$ таких расстановок. (10 кл.)

С. Фомин

Ф403. В электрической цепи из двух одинаковых конденсаторов emkoсти $C$ и катушки индуктивности $L$, соединенных последовательно (рис. 1), в начальной момент один из конденсаторов имеет заряд $q_0$, второй не заряжен.

Как будет изменяться со временем заряды конденсаторов и ток в контуре после замыкания ключа? Предложите механическую колебательную систему, аналогичную данной электрической. (10 кл.)

Ф404. Определить к. п. д. реакторо двигаателя как тепловой машины и его силу тягги. Ракетный двигаатель использует в качестве горючего водород, в качестве окислителя — жидкий кислород. Секундный расход водорода 24 ккал/сек. Скорость истечения газов из сопла реакты $4,2 \cdot 10^3$ м/сек. Теплотворная способность водорода $1,1 \cdot 10^8$ дж/кк. (9 кл.)

Ф405. Оdnородную тонкостенную сферу радиуса $R$ разрезали на две части и скрепили, как показано на рисунке 2. На какой высоте находится центр тяжесте польчившегося бокала, если высота его ножки $h$? (8 кл.)

Ф406. Спутник движется по круговой орбите на расстоянии от поверхности Земли, равном ее радиусу $R$. В некоторых момент со спутника запускается станция на другую планету, после чего оставшаяся часть спутника движется по эллиптической орбите, касающейся поверхности Земли в точке, противоположной точке станции.