Задачи

Задачи

1. В некотором царстве каждые двое — либо друзья, либо враги. Каждый
   человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться
   со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом
   стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в государстве могут стать
   друзьями.
2. Для каких простых чисел $p$ числа $2p+1$ и $4p-1$ тоже простые?
3. Найти множество центров тяжести треугольников $OBA$, у которых
   вершина $O$ фиксирована, а вершины $A$ и $B$ лежат на двух окружностях
   одинакового радиуса. А что получится, если радиусы окружностей не равны?
4. Докажите, что плоскость можно раскрасить 9 красками так, что никакие две точки одного цвета не будут находиться на расстоянии 1 м.
5. Пароход плывёт из города $A$ в город $B$ и обратно. Одинаковое ли время затратит пароход, если города находятся:
   на берегу реки,
   на берегу озера?
   Скорость парохода относительно воды
   постоянна.