Об одном методе решения задач по электростатике

9

Изучая постояние (не изменяющиеся со временем) электрические поля, создавемые заряженными проводниками, прежде всего следует иметь в виду, что направность электросетиского поля внутри проводников равна нулю. Отсюда непосредственно следует, что заряды в проводниках распределются по их поверхности. Таким образом, задачи электросетики обычно связаются к нахождению электрического поля вне проводников и к определению распределения зарядов на поверхности проводников.

Сформируем несколько типичных электросетиских задач.

Задание 1. Точный заряд q находится на расстоянии d от поверхности замещенного сферического проводника радиуса r (рис. 1). Определить заряд q’, индуцированный на этой поверхности.

Задание 2. Между двумя замещенными концентрическими сферами расчетными поверхностями, радиусы которых r₁ и r₂, помещены мощный заряд q (рис. 2). Расстояния от заряд до сферических поверхностей равны соответствующим d₁ и d₂. Наимену индцированные на сферах заряды q’₁ и q’₂.

Задание 3. Точный заряд q находится на расстоянии d₁ и d₂ от проводящих замещенных бесконечных плоскостей (рис. 3). Наимену заряды q’₁ и q’₂, наведенные на этих плоскости.

Observe methods решения подобных задач изучаются в соответствиишем разделе математической физики, не входящей в школьную программу. Однако существует ряд сравнительно простых частных методов, которые позволяют решать задачи по электросетике, не выходя за пределы элементной математики (например, метод изображений, о котором упоминалось в статье Г. Мякишева «Электросетиское поле»; см. «Квант», 1975, № 4). Здесь мы рассмотрим один из

10

таких методов, основанный на теореме (или прициппе) взаимности.

В чем заключается существ этой теоремы? Ее можно формулировать так: если в системе из $n$ проводников проводники, несуществующие $q_1, q_2, \dots, q_n$, имеются помещцы $\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n$, соответствующего, а при зарядах $q'_1, q'_2, \dots, q'_n$ помещцы проводников равны $\varphi'_1, \varphi'_2, \dots, \varphi'_n$, то справедливо равенство

$$\sum_{i=1}^{n} q_i \varphi'_i = \sum_{i=1}^{n} q'_i \varphi_i.$$ (1)

Покажем, что это действительное так.

Согласно принципу суперпозиции потенциальы проводников находится в линейной зависимости от зарядов. Или, наоборот, заряды на проводника линейно зависит от потенциальов. Расмотрим сначала частный случай—внутри заземленной проводящей поверхности находится два заряженных проводника 1 и 2 (рис. 4). Соединим второй проводник с заземленной проводностью, тогда потенциаль этого проводника обратится в нуль (см. рис. 4, а). Потенциаль первый проводника обозначает через $\varphi_1$. Заряды на каждой из проводников должны быть пропорциональны $\varphi_1$, т. е.

$$\Delta q_1 = C_{11} \varphi_1 \quad \text{и} \quad \Delta q_2 = C_{21} \varphi_1.$$ (2)

Здесь $\Delta q_1$ и $\Delta q_2$ заряды на первом и втором проводника соответственно, а $C_{11}$ и $C_{21}$ — постоянные величины, называемые коэффициентами емкости и зависящие от формы и взаимного расположения проводников. $C_{11}$ и $C_{21}$ характеризуют заряды первого

$$q_i = C_{i1} \varphi_1 + C_{i2} \varphi_2 + \dots + C_{in} \varphi_n = \sum_{k=1}^{n} C_{ik} \varphi_k \quad (i=1, 2, \dots, n).$$ (3)

Здесь коэффициент емкости $C_{ik}$ характеризует заряд $i$-го проводника, когда все проводники, кроме $k$-го, за-

11

Рис. 5.

землены, а потенциаль $k$-го проводника равен единице. Пусть теперь заряд $i$-го проводника равен $q'_i$, а его потенциаль $\varphi'_i$. Умножим равенство (4) почленно на $\varphi'_i$:

$$q'_i \varphi'_i = \sum_{k=1}^{n} C_{ik} \varphi_k \varphi'_i,$$

а затем просуммируем обе части полученного равенства по всем значениями $i$ от 1 до $n$:

$$\sum_{i=1}^{n} q'_i \varphi'_i = \sum_{i,k=1}^{n} C_{ik} \varphi_k \varphi'_i.$$

Но

$$\sum_{i,k=1}^{n} C_{ik} \varphi_k \varphi'_i = \sum_{i,k=1}^{n} C_{ik} \varphi'_i \varphi_k = \sum_{i=1}^{n} q'_i \varphi'_i$$

(так как $i$ и $k$ принимают все значения от 1 до $n$), поэтому окончательно получаем

$$\sum_{i=1}^{n} q'_i \varphi'_i = \sum_{i=1}^{n} q'_i \varphi'_i.$$

Таким образом, теорема взаимности доказана, поскольку равенства (1) и (5) идентичны.

Прежде чем применить теорему взаимности для решения сформулированных выше задач, рассмотрим две дополнительные задачи.

Дополнительная задача 1. Имеется система проводников, которые все, кроме $i$-го, заземлены, а $i$-й проводик имеет поенциusal $\varphi'_i$ (рис. 5). В некоторых точке $A$ системы поенциusal равен $\varphi$. Определить заряд $q'_i$, индуцируемый

$$q \varphi + q'_i \varphi'_i = 0,$$

откуда

$$q'_i = -q \frac{\varphi}{\varphi'_i}.$$

Дополнительная задача 2. В замкнутой проводящей поверхности 1, помещаем комороди $\varphi_1$, находимся проводник 2 (рис. 6). Ето помещаем равен $\varphi_2$, а помещаем точки $A$, находящейся между проводниками, равен $\varphi$. Найти заряды $q'_1$ и $q'_2$, индуцируемые на проводиках, если проводники заземились, а в точку $A$ помещить заряд $q$.

12

Имеем два состояния системы:
a) заряд в точке $A$ равен нулю, ее потенциаль $q$, а потенциаль проводников равны $\varphi_1$ и $\varphi_2$ (см. рис. 6, а);
б) заряд в точке $A$ равен $q$, потенциаль проводников равны нулю, а индуцированные на них заряды равны $q'_1$ и $q'_2$ (см. рис. 6, б).

Для простоты здесь и далее мы будем говорить о заряде и о потенциалье мощи $A$, подзаумевая, что в этой точке находится проводник (как это было сделано в задаче 1).

По теореме взаимности
$$q'_1 \varphi_1 + q'_2 \varphi_2 + q \varphi = 0. \tag{6}$$

Из одного этого равенства нельзя, конечно, найти оба индуцированных заряда. Однако можно воспользоваться еще тем условием, что проводящая проводность $1$ во втором случае замещена. Это означает, что электрическое поле снаружи отсутствует, а значит, алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся внутри замещенной проводности, равна нулю, т. е.
$$q'_1 + q'_2 + q = 0. \tag{7}$$

Решая совместно уравнения (6) и (7), получим
$$q'_1 = q \frac{\varphi_2 - \varphi}{\varphi_1 - \varphi_2}$$
и
$$q_2 = -q \frac{\varphi_1 - \varphi}{\varphi_1 - \varphi_2}.$$

Теперь уже можно вернуть к основным тем задачам. Для их решения будем пользоваться теоремой взаимности. Метод, основанный на применении этой теоремы, несколько формальный, но очень простой и удобный. Вся сложность состоит только в том, чтобы разумно выбрать рассматриваемые два состояния системы и записать для них равенство (1).

Решение задачи 1. По условию задачи точный заряд $q$ находится на определенном расстоянии от замещенной проводшей сферы, на которой находится заряд $q'$ (соответие 1).

Предположим, что сферическая поверхность не замещена и имеет потенциаль $\varphi_0$, а заряд $q$ нет. Тогда на его месте потенциаль поля равен
$$\varphi = \varphi_0 \frac{r}{r + d} (r - \text{радис сферической поверхности}, d - \text{расстояние от заряда } q \text{ до этой поверхности}).$$ Это — второе состояние системы.

Запишем для этих двух состояния системы теорему взаимности:
$$q \varphi + q' \varphi_0 = 0,$$
или
$$q' = -q \frac{\varphi}{\varphi_0} = -q \frac{r}{r + d}.$$

Полученный результат можно применить к случаяю, когда заряд $q'$ находится на бесконечной проводящей плоскости. Действительно, бесконечную плоскость можно рассматривать как сферическую поверхность с бесконечной большим радиусом, т. е.
$$r \rightarrow \infty.$$ Следовательно, в пределе при $r \rightarrow \infty$ имеем
$$q' = -q \frac{r}{r + d} = -q \frac{1}{1 + d/r} = -q,$$
т. е. индуцированный на бесконечной плоскости заряд равен по значению, но противоположен по значению с точки точки точки, где бы этот заряд ни находился.

Решение задачи 2. Согласно условиям задачи первое состояние системы таково: заряд $q$ находится в заданной точке между замещенными сферическими проводениями, на которых находится заряд $q'_1$ и $q'_2$.

В качестве второго состояния расстояним случай, когда внешняя сфера замещена, внутренняя сфера имеет потенциаль $\varphi_1$, заряд $q$ отсутствует, но на его месте потенциаль поля равен $q$.

Исходя из решения дополнительной задачи 1, получим
$$q'_1 = -q \frac{\varphi}{\varphi_1}. \tag{8}$$

13

Рис. 7.

Заряд $q'_2$, индуцированный на внешней сфере, найдем из условия, что алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри заемленной поверхности, равна нулю:

$$q'_1 + q'_2 + q = 0.$$ (9)

Таким образом, нам остается найти отношение $\varphi/\varphi_1$. Предположим, что, когда внешняя сфера заемлена, а внутренняя имеет потенциаль $\varphi_1$, заряд внутренней сферы равен $q_0$. Очевидно, что при этом на внешней сфере наведется заряд $-q_0$. Выразим потенциальы $\varphi$ и $\varphi_1$ через заряды $q_0$ и $-q_0$:

$$\varphi = \frac{q_0}{r_1 + d_1} + \frac{-q_0}{r_2},$$

$$\varphi_1 = \frac{q_0}{r_1} + \frac{-q_0}{r_2}.$$ (10)

Тогда окончательно из равенств (8) – (10) получим:

$$q'_1 = -q \frac{r_1 d_2}{(r_1 + d_1)(d_1 + d_2)},$$

$$q'_2 = -q \frac{r_2 d_1}{(r_1 + d_1)(d_1 + d_2)}.$$

Решение задачи 3. Оно непосредственно следует из решения задачи 2, поскольку две параллельные бесконечные плоскости можно

Рис. 8.

расматривать как две концентрические сферы с бесконечно большими радиусами.

Запишем результат решения задачи 2 в виде:

$$q'_1 = -q \frac{r_1 d_2}{(r_1 + d_1)(d_1 + d_2)} = -q \frac{d_2}{(1 + d_1/r_1)(d_1 + d_2)},$$

$$q'_2 = -q \frac{r_2 d_1}{(r_1 + d_1)(d_1 + d_2)} = -q \frac{d_1}{(1 - d_2/r_2)(d_1 + d_2)}.$$

Если $r_1 \to \infty$ и $r_2 \to \infty$, то

$$q'_1 = -q \frac{d_2}{d_1 + d_2},$$

$$q'_2 = -q \frac{d_1}{d_1 + d_2}.$$

Уражнения

1. Центр шара, несуществующего $q$, находится на расстоянии $a$ от центра заемленного шарового проводаника радиуса $r$ (рис. 7). Определить заряд $q'$, индуцированный на заемленном шаре.

2. Из двух концентрических сфericalных проводников, радиусы которых $r_1$ и $r_2$ ($r_1 < r_2$), внутренний заемлен, а внешний имеет заряд $q$ (рис. 8). Найти заряд $q'$, наведенный на внутренней сфере.