Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина

44

Математика

Вариант 1

1. В цилиндр вписана правильная четырехугольная призма. Диагональ призмы образует с боковой гранью угол $\alpha$, высота призмы равна $h$. Найти боковую поверхность цилиндра.
2. Решить уравнение
   $$|1 + \log \frac{1}{3}x| = 3 + |2 - \log \frac{1}{3}x|.$$
3. Найти область определения функции
   $$y = \sqrt[4]{\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2 - 3x} - 2,5} + \frac{1}{\sqrt{\log_3 x - \log_2 x}}.$$
4. Решить уравнение
   $$\sin^2 2x - 4 \cos^4 x = \sin 4x.$$
   Вариант 2
5. Основанием прямой призмы служит прямогольный треугольник с радиусом описанной окружности, равным $R$. Определить площадь секения, образованного диагоналями набольшей и наименьшей боковых граней и стороной основания, если диагонали наклонены к основанию под углами $\alpha$ и $3\alpha$.
6. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{7}{\sqrt{xy}} + 1, \\ x \sqrt{xy} + y \sqrt{xy} = 78. \end{cases}$$
7. Решить неравенство
   $$\log_4 (2x^2 + x + 1) - \log_2 (2x - 1) \leq -tg \frac{7}{4}\pi.$$
8. Решить уравнение
   $$\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x,$$
   если $\pi < x < \frac{3}{2}\pi$.

Физика

1. С поверхностями длинойровной горы, наклоненной под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту, брошен камень в горизонтальном направлении со скоростью $v_0 = 20$ м/сек. Определить время $t$ полета камня. Сопротивление воздуха не учитывать.

2. Поверхность плотность заряда равномерного заряженной бесконечной плоскости, расположенной вертикально, $\sigma = 1,73 \cdot 10^{-4} \text{ к/м}^2$. На невесомой нити в поле этой плоскости высит шарик массой $m = 1$ е. Заряд шарика $q = 3$ ед. Заряд СГСЭ. Какой угол $\alpha$ образует нить с плоскостью? Электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ф/м}$.

3. В однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,02 \text{ mл}$ находится проводник длиной $l = 10 \text{ cm}$, расположенный перпендикулярно к линям магнитной индукции. По проводнику течет ток $I = 2 \text{ a}$, величина которого поддерживает постоянной. Под действием сил поля проводник переместился на расстояние $s = 5 \text{ cm}$. Найти работу $A$ сил поля.

4. На главной оптической оси выпуклого зеркала с радиусом кривизны $R = 72 \text{ cm}$ расположена светящая точка. Расстояние от точки до зеркала $d = 150 \text{ cm}$. Найти расстояние $f$ от изображения этой точки до зеркала. Построить изображение.

В. Колпаков, Н. Рахманова

Московский государственный педагогический институт
им. В. И. Ленина

О Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина подробно расскажалось в «Кванте» № 7 за 1973 и 1974 года.
Здесь мы публикуем образцы варантов письменного экзамена по математике и задач устного экзамена по физике в 1975 году на физическом факультете МГПИ им. В. И. Ленина.

Matematika
Вариант 1

1. В усеченном конусе диагонали осевого секения взимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол $\alpha$ и равна 1. Определить объем усеченного конуса.
2. Решить уравнение
   $$\cos 2x - 3 \cos x = 4 \cos^2 \frac{x}{2}.$$
3. Решить систему уравнений ($a > 0, b > 0$)
   $$\begin{cases} \log_a x + \log_a y = 2, \\ \log_b x - \log_b y = 4. \end{cases}$$
4. Решить неравенство
   $$0 < \frac{x}{3 - x} < 1.$$
   Вариант 2
5. В основании прямой четырехугольной правильной призма. Диагональ призмы образует с боковой гранью угол $\alpha$, высота призмы равна $h$. Найти боковую поверхность цилиндра.
6. Решить уравнение
   $$|1 + \log \frac{1}{3}x| = 3 + |2 - \log \frac{1}{3}x|.$$
7. Найти область определения функции
   $$y = \sqrt[4]{\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2 - 3x} - 2,5} + \frac{1}{\sqrt{\log_3 x - \log_2 x}}.$$
8. Решить уравнение
   $$\sin^2 2x - 4 \cos^4 x = \sin 4x.$$
   Вариант 2
9. Основанием прямой призмы служит прямогольный треугольник с радиусом описанной окружности, равным $R$. Определить площадь секения, образованного диагоналями набольшей и наименьшей боковых граней и стороной основания, если диагонали наклонены к основанию под углами $\alpha$ и $3\alpha$.
10. Решить систему уравнений
    $$\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{7}{\sqrt{xy}} + 1, \\ x \sqrt{xy} + y \sqrt{xy} = 78. \end{cases}$$
11. Решить неравенство
    $$\log_4 (2x^2 + x + 1) - \log_2 (2x - 1) \leq -tg \frac{7}{4}\pi.$$
12. Решить уравнение
    $$\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x,$$
    если $\pi < x < \frac{3}{2}\pi$.