Московский институт электронного машиностроения

39

хозяйства, разработавают математические модели производства, потребления и экономии. Регулярно проводятся студенческие научные конференции.

Ниже приведятся варианты вступительного письменного экзамена по математике в МИУ в 1975 году.

Вариант 1

1. В прямогольном треугольнике ABC гипotenуза $AB = a, A = \alpha$. Найти радиус окружности, касающейся катета AC, гипotenузы AB и окружности, описанной около треугольника ABC.
2. Решить уравнение
   $$4x + \sqrt{x^2 - 2} - 5 \cdot 2x - 1 + \sqrt{x^2 - 2} = 6.$$
3. Решить неравенство ($a > 1$)
   $$\log_a^2 (x^{\sqrt{x}}) > \log_a (a^{4x} \cdot x^{3x}).$$
4. Решить уравнение
   $$(\sin 2x + 3)\sin^4 x - (\sin 2x + 3)\sin^2 x + 1 = 0.$$
5. Найти отношение двух чисел, если отношение их среднего геометрического к среднему арифметическому равно $3/5$.

Вариант 2

1. Внутри угла $\alpha$ взята точка M. Ее проекции P и Q на стороны угла удалены от вершины на расстояния $OP = p$ и $OQ = q$. Найти MP и MQ.
2. Решить уравнение
   $$\log_x (125x) \cdot \log_{25}^2 x = 1.$$
3. Решить неравенство
   $$|x^2 - |x| + 3| < 5.$$
4. Решить уравнение
   $$\sec x = 4 \sin x + 6 \cos x.$$
5. Доказать, что если $a > 0, b > 0$, то
   $$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \leq \frac{4\sqrt{ab}}{3}.$$
   В. Машурцев, И. Шарыzin

Московский институт электронного машиностроения
Подробно о Московском институте электронного машиностроения мы расссказывали в «Кванте» № 7 за 1973 год. В этом номере мы приведим варианты вступительного письменного письменного экзамена по математике в МИЗМ в 1975 году.

Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$3x \log_5 1 - \frac{2}{3} = |5x \log_3 1 - 24|.$$

2. Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии с положительным членами равно 13,5, а сумма четвертого и пятого членов равна 7,5. Найти эту прогрессию. Определить также наименьшее возможное значение указанной суммы для всех арифметических прогрессий с положительным членами, у которых произведение третьего и шестого членов равно 13,5.

3. В правильной четырехугольной парамиде, у которой высота $H$ составляет с боковым ребром угол $\alpha$, через диагональ основания проведена плоскость под углом $\beta$ к плоскости основания. Определить площадь секции.

4. Решить уравнение
   $$\frac{a \sin x - 2}{a - 2 \cos x} = \frac{a \cos x - 2}{a - 2 \sin x}$$

и определить число его корней на отрезке [20π, 29π].

5. Решить систему
   $$\begin{cases} x - y = 10a, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{a^2 - 25} \end{cases}$$

и доказать, что при любом целом $a \neq \pm 5$, $a \neq 0$ система имеет два решения $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ таких, что произведение $x_1x_2y_1y_2$ является целым кратным 900.

Вариант 2

1. Решить неравенство
   $$\log_3 (1 - x) < \log \frac{1}{3} (x + 2).$$
2. Угол при вершине освенного сечения конуса равен 2α. В каком относительной области конуса плоскостью, проведенной через окружность касания вписанной в этот конус шара с боковой поверхности конуса?
3. Число 150 разделили с остатком на несколько целое положительное число. Затем к делителю прибавили 2 и разделили 151 с остатком на новый делитель. Оказалось, что второе частное на 5 меньше первого. Чему равен первоначальный делитель?
4. Решить уравнение
   $$\sqrt{\frac{2 \sin x + 1}{-\cos x - 2}} = \sqrt{\frac{2 \cos x + 1}{-\sin x - 2}}.$$
5. Решить систему
   $$\begin{cases} \frac{x}{a + 3} - \frac{y}{a + 2} + 1 = 0, \\ \frac{y}{x} - \frac{2}{y - 2} = 1 \end{cases}$$

($a > 0$) и доказать, что если $a$ — целое число, то для каждой из решений $(x, y)$ данной системы числа $1 + xy$ является квадратом числа. Верно ли обратное утверждение?