Скалярное произведение векторов в геометрических задачах. Вычисление площадей

25

Я. Понарин

Вышение плошадей

Площадь треугольника
Известно, что площад треугольника ABC можно вычислить по формуле
$$S = \frac{1}{2} ab \sin \hat{C},$$
(1)

где a, b и c — длины сторона треугольника, лежащих соответственно против углов $\hat{A}, \hat{B}$ и $\hat{C}$.

Обозначим векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$ сторон треугольника через $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Из определения скалярного произведения векторов следует, что $\cos \hat{C} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$, откуда $\sin^2 \hat{C} = \frac{a^2 b^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{a^2 b^2}$
(скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

Возведем обе части формулы (1) в квадрат и подставим найденное выражение для $\sin^2 \hat{C}$; получим
$$4S^2 = a^2 b^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2.$$
(2)

Формула (2) пригодится нам в дальнейшем (в частности, из нее легко получить формулу Герона для плошади треугольника).

Площадь четырехугольника
Если p и q — длины диагоналей произвольного плоского четырехугольника (противоположные стороны которого не пересекаются во внутренних точках), то его площадь можно найти по формуле
$$S = \frac{1}{2} pq \sin (\vec{p}, \vec{q}).$$
(3)

Как и в случае треугольника, перепишем эту формулу в виде, аналогичном (2):
$$4S^2 = p^2 q^2 - (\vec{p} \cdot \vec{q})^2.$$
(4)

Чтобы оценить полученные формулы (2) и (4), решим несколько задач (если вы попытаете решить их иначе, без использования скалярного произведения, вы увидите, насолько усложняет решение).

Задача 1. Вычислить площадь грани ABC метраэдра ABCD, если a, b, c — длины его ребер DA, DB и DC, а α, β, γ — плоские углы при вершине D, соответствующего промиолежащей ребрам BC, AC и AB.

Решение е. Введем такие обозначения: $\vec{DA} = \vec{a}, \vec{DB} = \vec{b}, \vec{DC} = \vec{c}$. Тогда для плошади S грани ABC имеем
$$4S^2 = |\vec{CA}|^2 \cdot |\vec{CB}|^2 - (\vec{CA} \cdot \vec{CB})^2 = (\vec{a} - \vec{c})^2 \cdot (\vec{b} - \vec{c})^2 - ((\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}))^2 = (a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta)(b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha) - (ab \cos \gamma - ac \cos \beta - bc \cos \alpha + c^2)^2.$$

Фактически задача уже решена, но в полученное выражение длинны a, b, c и углы α, β, γ входят несимметрично, хотя по условию задачи значения a, b, c, а также α, β, γ должны

27

Задание 4. Через вершину правильного метраэдра с ребром a проведен а плоскость так, что линия ее пересечения с плоскостью основания параллельна стороне и делит основание на две равновеликие части. Найти площадь сечения метраэдра указанной плоскостью (рис. 3).

Решение. Обозначим в данном правильном tetraэдре $ABCD$ $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$, причем $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = a$. Пусть плоскость сечения пересекает плоскость $ABC$ по прямой $MN$, $M \in (AB)$, $N \in (AC)$ и $(MN) \parallel (BC)$. Нужную площадь сечения можно посчитать по формуле

$$4S^2 = |\vec{DM}|^2 \cdot |\vec{DN}|^2 - (\vec{DM} \cdot \vec{DN})^2.$$

Эта формула подсказывает, как решать задачу.

Имеем $\vec{DM} = \vec{DA} + \vec{AM}$, где $\vec{AM} = k \cdot \vec{AB}$.

Число $k$ находится из того условия, что прямая $MN$ делит основание $ABC$ на две равновеликие части, причем так, что треугольники $AMN$ и $ABC$ подобыны; поэтому

$$S_{AMN} : S_{ABC} = |\vec{AM}|^2 : |\vec{AB}|^2 = k^2 = \frac{1}{2},$$

откуда $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Поэтому

$$\vec{DM} = \vec{DA} + k \cdot \vec{AB} = a + \frac{1}{\sqrt{2}} (\vec{b} - \vec{a}) = \frac{(\sqrt{2} - 1) \vec{a} + \vec{b}}{\sqrt{2}}.$$

Аналогично $\vec{DN} = \frac{(\sqrt{2} - 1) \vec{a} + \vec{c}}{\sqrt{2}}$.

Подставляя выражения для $\vec{DM}$ и $\vec{DN}$ в формулу для $S$, получаем

$$16S^2 = ((\sqrt{2} - 1) \vec{a} + \vec{b})^2 \cdot ((\sqrt{2} - 1) \vec{a} + \vec{b}) \times ((\sqrt{2} - 1) \vec{a} + \vec{c})^2.$$

Так как для правильного tetraэдра с ребром длины $a$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2} a^2,$$

то после всех прошеней получаем

$$S = \frac{1}{8} a^2 \sqrt{11 - 4\sqrt{2}}.$$

Решите самостояльное следующие задачи:

1. Дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Точки $A_1$ и $C_1$ являются образами и вершин $A$ и $C$ при пектором параллельном пересечении. Докажите, что четырехугольник $A_1BC_1D$ равновелик данному четырехугольнику $ABCD$.

2. В tetraэдре $ABCD$ известны длины всех шести ребер: $|DA| = a$, $|DB| = b$, $|DC| = c$, $|BC| = a_1$, $|AC| = b_1$, $|AB| = c_1$. Через середину ребра $DB$ проведена плоскость параллельно ребрам $AD$ и $BC$. Найти площадь сечения tetraэдра этой плоскостью.

3. В правильной треугольной примите плоский угол при вершине равна $\alpha$, а длина бокового ребра равна $a$. Найти площадь сечения примыdlos плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противного бокового ребра.