Bài toán

Bài toán

1. Ở một vương quốc nào đó, cứ hai người là bạn hoặc là kẻ thù. Mọi
   một người có thể đôi lúc cãi vã với tất cả bạn bè của mình và làm hòa
   với mọi kẻ thù. Hóa ra cứ ba người lại có thể làm được điều này
   trở thành bạn bè. Chứng minh rằng khi đó mọi người trong bang đều có thể trở thành
   bạn.
2. Với số nguyên tố nào $p$ thì các số $2p+1$ và $4p-1$ cũng là số nguyên tố?
3. Tìm tập trọng tâm của các tam giác $OBA$ sao cho
   đỉnh $O$ cố định và các đỉnh $A$ và $B$ nằm trên hai đường tròn
   cùng bán kính. Điều gì xảy ra nếu bán kính của các vòng tròn không bằng nhau?
4. Chứng minh rằng có thể tô một mặt phẳng bằng 9 màu sao cho không có hai điểm cùng màu nào cách nhau 1m.
5. Tàu hơi nước đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ và quay lại. Con tàu sẽ dành thời gian tương tự nếu các thành phố là:
   trên bờ sông,
   trên bờ hồ?
   Vận tốc của tàu so với mặt nước
   là không đổi.