"Nghệ thuật vĩ đại"

2

S. Gindikin

“Nghệ thuật vĩ đại”

Bài viết này dành cho lịch sử về thành tựu chính của toán học thế kỷ 16 - lời giải phương trình đại số bậc ba và bậc bốn. Những người yêu thích toán học vẫn bị thu hút bởi những sự kiện kịch tính gắn liền với khám phá này, trong đó số phận của bốn nhà khoa học gắn liền với nhau - del Ferro, Tartaglia, Cardano và Ferrari. Năm 1976 đánh dấu kỷ niệm 475 năm ngày sinh của Cardano, 400 năm ngày mất của ông và 450 năm ngày mất của del Ferro.

Trong cuộc thảo luận của chúng ta về những nhà toán học này và những khám phá của họ, có một số điều còn chưa rõ ràng: có rất nhiều điều chúng ta chưa biết về các sự kiện bốn năm trước.

Tiêu đề của bài báo là một phần tựa đề cuốn sách của Cardano, xuất bản năm 1545. Felix Klein đã viết về nó: “Công trình vô cùng giá trị này chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại, vượt ra ngoài ranh giới của toán học cổ đại”.

Thế kỷ 16 là thế kỷ của sự hồi sinh của toán học châu Âu sau thời kỳ ngủ đông thời Trung cổ. Lúc đầu, các nhà khoa học châu Âu cố gắng tìm hiểu những gì đã được thực hiện bởi những người tiền nhiệm cổ đại và phương đông (Ấn Độ và Ả Rập). Những thành tựu đầu tiên của các nhà toán học thế kỷ 16 liên quan đến đại số. (Điều này là do thực tế là vào thế kỷ 16, đại số mới chỉ mới xuất hiện, trong khi hình học là một môn khoa học đã được khẳng định.)

Tình trạng đại số vào đầu thế kỷ 16 và 16 đã được chuẩn bị trong một trong những cuốn sách in đầu tiên về toán học, “Tổng hợp kiến ​​thức về số học, hình học, quan hệ và tỷ lệ,” viết ở Venice năm 1494. Cuốn sách được viết bằng ngôn ngữ Inalyan. Đó là một trong những cuốn sách khoa học đầu tiên không được viết bằng tiếng Latin. Tác giả của nó là tu sĩ Luca Pacioli, một người bạn của Leonardo da Vinci vĩ đại. Ở cuối cuốn sách, Pacioli viết: đối với lời giải phương trình bậc ba “nghệ thuật đại số chưa đưa ra phương pháp, cũng như phương pháp bình phương hình tròn chưa được đưa ra”. Những từ này rõ ràng được coi là một tuyên bố về việc không thể có công thức cho phương trình bậc ba lời giải.

Scippon del Ferro

Có một người đã không ngăn Pacioli lại cho tôi. Chính giáo sư toán học ở Bologna, Scippo della Ferro (1465-1526), ​​​​người đã tìm ra cách giải phương trình

$$x^3 + ax = b.$$

(1)

Vì số âm chưa được sử dụng vào thời điểm đó nên các hệ số chữ cái trong phương trình (1) (và ở phần sau của bài viết này) được coi là dương. Do đó, phương trình (1) và

$$x^3 = ax + b$$

(2)

được coi là các phương trình hoàn toàn khác nhau! Bản thân việc trình bày trường hợp Ferro vẫn chưa đến được với chúng tôi. Ferro đã thông báo điều này với người kế nhiệm của ông trong khoa, Annibal della Nava, và với học trò của ông là Antonio Mari Fiore. Sau khi ông qua đời, thầy Fiore quyết định sử dụng bí mật được giao phó để trở nên bất khả chiến bại trong các hành động của lời giải bài toán. Vào cuối năm 1534, ông triệu tập nhà toán học từ Venice Niccolò Tartaglia đến.

Niccolo Tartaglia

Tartaglia sinh khoảng năm 1500 ở Brescia, con trai của một người cưỡi ngựa nghèo.

4

Bằng cách nào đó phương pháp tanistic lời giải của phương trình (1) có hiệu quả. Viễn cảnh chiêu đãi bạn bè của Fiore một bữa tối theo nghi lễ tương đương với số bài toán do người chiến thắng quyết định (đó là quy tắc!) Không hấp dẫn Tartaglia. Anh ta áp dụng các điều kiện, và tám ngày trước thời hạn đã định (thời hạn hết hạn vào ngày 12 tháng 2 năm 1535), hạnh phúc mỉm cười với anh ta: cách mong muốn để tìm thấy bài toán Tartaglia (kỳ lạ là anh ta thậm chí còn không hoàn thành được nhiệm vụ mà lẽ ra có thể giải quyết được bằng phương pháp của vụ án Ferro).

Tartaglia đã sớm tìm ra cách giải phương trình (2).

Họ biết rất nhiều về món ăn Fiore-Tartaglia và bữa tối Tartaglia. Họ quay sang anh với yêu cầu tiết lộ bí mật của anh. Anh ta mở lòng, nhưng có một người thỉnh cầu - Gerolamo Cardano, người đã thuyết phục anh ta.

Cardano Gerolamo
Cardano sinh ngày 24 tháng 9 năm 1501 tại Pavni, trong một gia đình luật sư. Sau khi tốt nghiệp đại học, Gerolamo quyết định cống hiến hết mình cho ngành y. Vì là con bất hợp pháp nên ban đầu anh phải đi tu học một thời gian dài ở tỉnh lẻ. Chỉ đến tháng 8 năm 1539, sau khi thay đổi đặc biệt các quy tắc cho mục đích này, Cardano mới được nhận vào trường Cao đẳng Bác sĩ Milan. Sau này ông thậm chí còn trở thành hiệu trưởng của trường đại học này. Cardano là một trong những bác sĩ nổi tiếng nhất thời bấy giờ; có lẽ là thứ hai - sau người bạn Bezalia của anh ấy.

Trong những năm tháng tuổi già của mình, Cardano đã viết một cuốn tự truyện “Giới thiệu về cuộc đời tôi”. Trong đó, ông chỉ đề cập đến việc nghiên cứu toán học của mình một vài lần và nói chi tiết về nghiên cứu của ông về y học. Cardano tuyên bố rằng ông đã mô tả thêm tới năm nghìn kỹ thuật giảng dạy, số lượng vấn đề ông giải quyết lên tới bốn mươi nghìn và số lượng nhỏ gợi ý - lên tới hai trăm nghìn. Tất nhiên, những con số này không nên quá tin tưởng. Tuy nhiên, lời nói của bác sĩ Cardano là không thể phủ nhận. Cardano tuyên bố rằng anh chỉ gặp phải ba điều bất hạnh trong quá trình hành nghề y.

Tuy nhiên, các nghiên cứu y học không hấp thụ hoàn toàn Cardano. Trong thời gian rảnh rỗi, ông nghiên cứu “mọi thứ trên thế giới”: triết học, chiêm tinh học, vật lý, cơ học, toán học.

Cardano đã biên soạn lá số tử vi của cả người sống và người chết (Christ, Petraki, Dürer, Bezalia, Luther). Giáo hoàng đã sử dụng dịch vụ của một nhà chiêm tinh Cardan. (Theo một truyền thuyết không hay, Cardano đã tự sát để xác nhận lá số tử vi của chính mình.)

Cuốn sách Về vật liệu mỏng của Cardano (1550) đã được dịch sang tiếng Pháp và được dùng làm sách giáo khoa phổ biến về tĩnh học và thủy tĩnh học trong suốt thế kỷ 17. Galileo khi quan sát sự chuyển động của ma trận tự nhiên - chiếc đèn chùm trong nhà thờ - đã sử dụng chỉ dẫn của Cardano là sử dụng xung của chính mình để đo thời gian. Cardano đã viết về sự cần thiết của một cỗ máy chuyển động vĩnh viễn. Một số nhận xét của ông có thể được hiểu như một nguyên tắc của những chuyển động có thể xảy ra. Cardano đã thiết lập bằng thực nghiệm mối quan hệ giữa mật độ không khí và nước. Đối với cỗ xe hoàng gia, ông đã phát minh ra một hệ thống kết nối hai loại tiền tệ, dưới đây gọi là cardan (gimbal, trục cardan, khớp cardan) và được sử dụng rộng rãi trong tự động hóa. (Tuy nhiên, công bằng mà nói thì ý tưởng về một hệ thống như vậy đã có từ thời cổ đại; ngoài ra, một trong những bức vẽ của Leonardo da Vinci cho thấy một chiếc la bàn có gimbal.)

Một số tác phẩm của Cardano thuộc loại bách khoa toàn thư. Trong thời Phục hưng, bách khoa toàn thư được viết bởi những người độc thân. Những bộ bách khoa toàn thư đầu tiên được tạo ra bởi công việc tập thể chỉ xuất hiện sau đó một thế kỷ rưỡi.

Cardano đã viết một số lượng lớn sách (một số đã được xuất bản, một số vẫn còn ở dạng bản thảo, một số bị ông tiêu hủy, chờ bị bắt (xem bên dưới)). Tuy nhiên, chỉ riêng mô tả của họ đã tạo nên toàn bộ cuốn sách, “Những bài viết của chính tôi”. Trong nhiều năm sách của ông về triết học và đạo đức đã được đón nhận. Cuốn sách On Assertion của ông đã được dịch sang tiếng Anh và chịu ảnh hưởng của Shakespeare. Một số học giả sáu câu chuyện thậm chí còn cho rằng Hamlet đã thốt ra

5

thay vào đó là lời độc thoại “Tồn tại hay không tồn tại…”, cầm cuốn sách này trên tay.

Cardano đã chơi cờ trong 40 năm (“Tôi không bao giờ có thể diễn tả bằng lời ngắn gọn mức độ thiệt hại mà không có bất kỳ khoản đền bù nào, họ đã gây ra chuyện gia đình của tôi”), 25 lần chơi xúc xắc (“nhưng cờ vua thậm chí còn làm tổn thương xương của tôi nhiều hơn”). Vì ham chơi nên có khi anh bỏ dở việc học. Sản phẩm phụ của niềm đam mê này là Sách xúc xắc của Cardano, được viết vào năm 1526 nhưng mãi đến năm 1663 mới được xuất bản. Cuốn sách này xem xét một số vấn đề trong lý thuyết xác suất và tổ hợp; nó chứa đựng những quan sát về tâm lý của người chơi.

Cardano và Tartaglia

Đến năm 1539, Cardano hoàn thành cuốn sách đầu tiên của mình, hoàn toàn dành cho toán học, “Thực hành lý luận tổng quát”. Theo kế hoạch của ông, nó được cho là sẽ thay thế cuốn sách của Pacioli. Nghe về bí mật của Tartaglia, anh ấy rất muốn trang trí cuốn sách của mình bằng nó.

Vào tháng 1 năm 1539, Cardano quay sang Tartaglia với yêu cầu đưa cho anh ta quy tắc lời giải của phương trình (1) để xuất bản trong cuốn sách của anh ta hoặc với lời hứa giữ bí mật. Tartaglia mở đầu: “Hãy nói với lãnh chúa rằng ông ấy sẽ tha thứ cho tôi, nhưng nếu tôi muốn công bố khám phá của mình, tôi sẽ làm điều đó bằng tác phẩm của chính mình chứ không phải trong cuốn sách của người khác.” Vào ngày 12 tháng 2, Cardano lặp lại yêu cầu của mình. Tartaglia không ngừng nghỉ. Vào ngày 13 tháng 3, Cardano mời Tartaglia đến Milan, hứa sẽ giới thiệu anh với thống đốc vùng Lombardy. Rõ ràng viễn cảnh này đã mang lại cho Tartaglia: anh ấy chấp nhận lời mời. Vào ngày 25 tháng 3, một cuộc trò chuyện mang tính quyết định đã diễn ra tại nhà Cardano.

Đây là một đoạn trích từ bản ghi âm cuộc trò chuyện này (cần lưu ý rằng đoạn ghi âm được thực hiện bởi Tartali; một sinh viên của Cardano Ferrari khẳng định rằng điều đó không hoàn toàn đúng):

“Niccolo. Tôi nói cho bạn biết: Tôi đã từ chối bạn không chỉ vì chương này và khám phá trong đó, mà vì những điều có thể được khám phá khi biết nó, vì đây là chìa khóa mở ra con đường nghiên cứu một số lượng lớn các phần khác. Tôi đã tìm ra quy tắc chung cho nhiều vấn đề khác từ lâu nếu hiện tại tôi không bận dịch Euclid sang tiếng bản địa (tôi hiện đã hoàn thành bản dịch đến cuối cuốn thứ 13). Nhưng khi công việc này, mà tôi đã bắt đầu, là đã hoàn thành, tôi sẽ xuất bản một tác phẩm ứng dụng thực tế cùng với một đại số mới… Nếu tôi đưa nó cho một nhà lý thuyết nào đó (như Thưa ngài), thì anh ta có thể dễ dàng, với sự trợ giúp của lời giải thích này, tìm các chương khác (và lời giải thích này có thể dễ dàng áp dụng cho các câu hỏi khác) và xuất bản thành quả khám phá của tôi dưới tên của chính anh ta.

Ngài Gerolamo. Tôi thề với bạn bằng sự ràng buộc của Chúa là Đức Chúa Trời và không chỉ cho bạn lời của một người trong sạch rằng tôi sẽ không bao giờ công bố khám phá này của bạn nếu bạn giao phó nó cho tôi, nhưng tôi hứa, và cầu mong sự trọn vẹn của tôi là một Cơ đốc nhân chân chính sẽ là sự đảm bảo cho bạn, để bảo vệ nó để sau khi tôi chết, không ai có thể đọc được những gì được viết. Theo bạn, nếu tôi đáng tin cậy thì hãy làm điều đó; nếu không thì hãy rời khỏi cuộc trò chuyện này.

Niccolo. Nếu tôi không tin lời khẳng định này của anh thì tất nhiên tôi cũng đáng bị coi là kẻ không có đức tin.”

Vì vậy, Tartaglia đã để mình bị thuyết phục. Từ mục trên, thật khó hiểu điều gì đã khiến anh ấy thay đổi lời giải. Anh ta có cần phải sốc đến thế trước lời nguyền của Cardano không? Sau khi kể ra bí mật, Tartaglia ngay lập tức rời Milan, từ chối làm chứng với thống đốc, người mà anh đã thực hiện cuộc hành trình này vì lợi ích của ai. Cardano đã thôi miên anh ta phải không?

Khi Tartaglia nhận được vào ngày 12 tháng 5 cuốn sách “Thực hành các lập luận tổng quát” mới in mà không có “mạng lưới” của mình (anh ấy đã trình bày phương pháp của mình về phương trình lời giải (1) dưới dạng một bài thơ tiếng Latinh: khi đó họ không biết cách viết công thức), anh ấy đã bình tĩnh lại phần nào.

Cardano đã nhận được từ Tartaglia một phương pháp làm sẵn lời giải của phương trình (1) mà không có bất kỳ bằng chứng nào. Ông đã nỗ lực rất nhiều để kiểm tra cẩn thận và biện minh cho quy tắc này. Từ tháp chuông của chúng tôi, không thể hiểu được vấn đề là gì: thay nó vào phương trình và kiểm tra! Tuy nhiên, việc thiếu các ký hiệu đại số phát triển đã khiến

6

Milan (khắc gỗ từ năm 1493)

Ngày nay, nó được thực hiện tự động bởi bất kỳ học sinh nào, chỉ có thể truy cập được bằng mô tả. Nếu không làm quen với các văn bản gốc thời đó, không thể đánh giá được bộ máy đại số “tiết kiệm” tư duy đến mức nào. Người đọc phải luôn ghi nhớ điều này để không quên bản chất “đặc quyền” của những vấn đề mà khách hàng đam mê ở thế kỷ 16.

Luigi Ferrari
Hiện tại, Cardano đã được Luigi Ferrari (1522-1565) giúp đỡ trong nghiên cứu toán học của mình. Trong danh sách 14 học trò của Cardano, Ferrari xuất hiện là một trong ba học trò nổi bật nhất.

Năm 1543, Cardano và Ferrari tới Bologna, nơi della Nave cho phép họ làm quen với các giấy tờ của Ferro quá cố. Ở đó, họ tin rằng sau này đã biết quy tắc của Tartaglia.

Rõ ràng những người đương thời hầu như không biết gì về công thức của vụ Ferro. Không chắc Cardano sẽ tấn công Tartaglia một cách nghiêm trọng như vậy nếu anh ta biết rằng mình có thể nhận được thông tin tương tự từ della Nave.

Hầu hết lịch sử toán học đều đồng ý rằng Ferro đã nghĩ ra công thức, Fiore biết nó và Tartaglia đã khám phá lại nó khi biết rằng Fiore có nó. Tuy nhiên, không có sự thật nào trong số này đã được chứng minh nghiêm ngặt!

Vào cuối đời, Tartaglia đã viết: “… Tôi có thể đảm bảo rằng định lý được mô tả này chưa được Euclid hoặc bất kỳ ai khác chứng minh, mà chỉ được chứng minh bởi Gerolamo Cardano, người mà chúng tôi đã chỉ ra nó… Tôi vào năm 1534 (ở nơi khác viết rằng điều này xảy ra vào ngày 4 tháng 2 năm 1535 - S.G.) đã tìm thấy ở Venice công thức tổng quát của phương trình…”

Thật khó để kiếm sống trong câu chuyện phức tạp này.

Đến năm 1545, Cardano đã học được cách giải không chỉ phương trình (1) và (2) mà còn cả phương trình
$$x^3 + b = ax,$$
(3)
cũng như một phương trình bậc ba “hoàn chỉnh”, tức là một phương trình chứa số hạng có $x^2$. Cùng lúc đó, Ferrari đã tìm ra cách giải phương trình bậc bốn.

“Nghệ thuật vĩ đại”
Cho dù đã quen với các hồ sơ vụ án của Ferro, áp lực mạnh mẽ từ Ferrari, hay rất có thể là việc không muốn chôn vùi thành quả của nhiều năm làm việc đã dẫn đến thực tế là

7

Cardano đưa tất cả những gì ông biết về phương trình bậc ba vào cuốn sách “Nghệ thuật vĩ đại hay các quy tắc của đại số” xuất bản năm 1545.

Trong lời nói đầu, Cardano trình bày lịch sử của vấn đề: “… ở thời đại chúng ta, Scippo del Ferro đã phát hiện ra một công thức theo đó khối lập phương của một mặt phẳng vô danh bằng một con số. Đó là một tác phẩm rất đẹp và tuyệt vời. Vì nghệ thuật này vượt qua mọi sức chịu đựng của con người và tất cả sự sáng suốt của tâm hồn phàm trần, nên nó phải được coi như một món quà có nguồn gốc từ thiên đường, cũng như một khả năng của sức mạnh tinh thần, và đó là một khám phá yếu ớt đến mức người có thể đạt được nó có thể đạt được mọi thứ. Cạnh tranh với anh ta, Nicollo Tartaglia từ Brescia, bạn của chúng tôi, được mời đến sáng tác cùng với một sinh viên của del Ferro, tên là Antono Mario Fiore, đã quyết định, để không bị đánh bại, vấn đề tương tự, và sau nhiều thời gian, anh ấy đã đánh thức nó cho tôi. Tôi đã bị lừa bởi lời nói của Luca Pacioli, người nói rằng không có phương trình lời giải tổng quát nào thuộc loại này, và mặc dù tôi đã có rất, rất nhiều khám phá do chính mình thực hiện, tôi vẫn không tuyệt vọng khi tìm ra điều mà tôi không dám làm. hãy tìm kiếm. Tuy nhiên, khi tôi nhận được chương này và thêm nó lời giải, tôi thấy rằng còn rất nhiều điều có thể làm được với nó; và với sự tự tin ngày càng tăng trong công việc của mình, tôi, nhờ sử dụng, đã khám phá thêm, một phần là bản thân tôi, một phần là với Lodovico Ferrari, học trò cũ của tôi.

Ở dạng hiện đại hóa, cách Cardano tìm lời giải của phương trình (1) có thể được phát biểu như sau. Chúng ta sẽ tìm lời giải của phương trình (1) ở dạng $x = \beta - \alpha$. Sau đó $x + \alpha = \beta$ và

$$x^3 + 3x^2\alpha + 3x\alpha^2 + \alpha^3 = \beta^3.$$ (4)

Vì $3x^2\alpha + 3x\alpha^2 = 3x\alpha(x + \alpha) = 3x\alpha\beta$, đẳng thức (4) có thể được viết lại thành

$$x^3 + 3\alpha\beta x = \beta^3 - \alpha^3.$$ (5)

Hãy thử từng cái một $\langle a, b \rangle$ vậy hãy chọn một cặp $\langle \alpha, \beta \rangle$sao cho (5) trùng với (1). Để làm được điều này, điều cần thiết là cặp đôi $\langle \alpha, \beta \rangle$ là giải pháp của hệ thống

$$\begin{cases} 3\alpha\beta = a, \\ \beta^3 - \alpha^3 = b \end{cases}$$

hoặc hệ thống tương đương

$$\begin{cases} \beta^3 \cdot (-\alpha^3) = -\frac{a^3}{27}, \\ \beta^3 + (-\alpha^3) = b. \end{cases}$$

Theo định lý Vieta, $^*)$ $\beta^3$ và $-\alpha^3$ sẽ là nghiệm của phương trình bậc hai giao nhau $y^2 - by - \frac{a^3}{27} = 0$. Vì chúng ta đang tìm nghiệm dương của phương trình (1), $\beta > \alpha$. Vì vậy, $\beta^3 = \frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}$ và $-\alpha^3 = \frac{b}{2} - \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}$. Kể từ đây,

$$x = \sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}} - \sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^3}{27}}}.$$

Đối với $a$ dương và $b$, nghiệm $x$ cũng dương.

Tính toán trên chỉ về mặt ý thức hệ tuân theo dòng lý luận của Cardano. Bản thân ông lập luận bằng ngôn ngữ hình học: nếu khối lập phương từ cạnh $\beta = \alpha + x$ được cắt bởi các mặt phẳng song song với các mặt thành khối lập phương từ cạnh $\alpha$ và khối lập phương từ cạnh $x$, thì hóa ra, ngoài hai hình khối, có các hình chữ nhật song song từ một bên $\langle \alpha, \alpha, x \rangle$ và ba hình từ một bên $\langle \alpha, x, x \rangle$; tương ứng, giữa các tập cho (4); Để đi đến (5), các hình song song thuộc nhiều loại khác nhau được kết hợp thành từng cặp.

“Vì tôi nhận ra rằng khoa mà Tartaglia giao cho tôi đã được anh ấy phát hiện ra nhờ sự trợ giúp của chứng minh hình học, nên tôi đã nghĩ rằng đây là con đường hoàng gia dẫn đến tất cả các khoa khác.”

$^*)$ Bản thân Viète (1540–1603) sống muộn hơn Cardano, nhưng trường hợp cụ thể về định lý của ông, mà ở trường gọi là định lý Viète, về cơ bản đã được Cardano biết đến.

8

Phương trình (2) có thể được giải bằng cách thay thế $x = \beta + \alpha$, nhưng ở đây đã xảy ra trường hợp khi phương trình ban đầu có ba nghiệm thực và phương trình bậc hai phụ không có nghiệm thực. Đây được gọi là trường hợp “không thể giảm được”*). Anh ta đã gây ra rất nhiều rắc rối cho gia đình Cardan (và có lẽ cả Tartaglia).

Kardanov đã giải được phương trình (3), đưa ra một sự xa lánh rất táo bạo đối với thời đó, đè nặng lên tính tiêu cực của gốc rễ. Chưa có ai trước anh ấy sử dụng các số âm một cách dứt khoát như vậy, mặc dù Kardanov vẫn còn lâu mới có thể tự do xử lý chúng: anh ấy xem xét các phương trình (1) và (2) một cách riêng biệt!

Kardanov cũng đã hoàn toàn tìm ra phương trình bậc ba tổng quát $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (Tartaglia không liên quan gì đến điều này!), sau đó, nói theo ngôn ngữ hiện đại, phép thay thế $x = y - \frac{a}{3}$ sẽ phá hủy thuật ngữ bằng $x^2$.

Kardanov quyết định xem xét không chỉ các số âm (anh ấy gọi chúng là “hoàn toàn sai”) mà còn cả những số phức (anh ấy gọi chúng là “ngụy biện một cách tích cực”). Ông lưu ý rằng nếu bạn thao tác với chúng theo một số quy tắc tự nhiên, thì các nghiệm phức có thể được gán cho một phương trình bậc hai không có nghiệm thực. Có thể là số Cardan phức tại SEL liên quan đến trường hợp “không thể rút gọn”.

Đóng góp cá nhân của Ferrari cũng được phản ánh trong “Nghệ thuật vĩ đại” - lời giải phương trình bậc bốn.

Trong ngôn ngữ hiện đại, phương pháp Ferrari cho phương trình
$$x^4 + ax^2 + bx + c = 0$$
(phương trình bậc bốn dễ dàng trùng với phương trình (6)) như sau.

*) Người ta đã viết về anh ấy vào năm «Kvant»: 1971, số 11, tr. 20 và 1973, không. 3, tr. 30. Xem thêm tr. 11 trong số này.

Bằng cách đưa vào tham số phụ $t$, chúng ta viết lại phương trình (6) ở dạng tương đương:
$$\left(x^2 + \frac{a}{2} + t\right)^2 = 2tx^2 - bx + \left(t^2 + at - c + \frac{a^2}{4}\right).$$

Bây giờ chúng ta hãy chọn giá trị của tham số $t$ sao cho bình phương (so với $x$) trilen ở vế phải của phương trình (7) có hai nghiệm trùng nhau. Để làm được điều này, điều cần thiết là phân biệt của bộ ba này phải bằng 0:
$$b^2 - 4 \cdot 2t \cdot \left(t^2 + at - c + \frac{a^2}{4}\right) = 0.$$

Chúng ta đã thu được phương trình bậc ba phụ cho $t$. Chúng ta hãy tìm một số gốc của nó $t_0$ bằng cách sử dụng công thức Cardanov. Phương trình (7) bây giờ có thể được viết lại thành:
$$\left(x^2 + \frac{a}{2} + t_0\right)^2 = 2t_0 \left(x - \frac{b}{4t_0}\right)^2.$$

Phương trình (8) được chia thành một cặp phương trình bậc hai cho bốn nghiệm mà chúng ta đang tìm kiếm.

Như vậy, theo phương pháp của Ferrari, phương trình lời giải bậc 4 sẽ trùng với phương trình bậc ba phụ lời giải và hai phương trình bậc hai.

Vị trí của “Nghệ thuật vĩ đại” trong lịch sử toán học trước hết được xác định không phải bởi kết quả cụ thể về phương trình bậc ba và bậc bốn, mà bởi thực tế là các khái niệm đại số tổng quát (ví dụ: bội số của một nghiệm) và mệnh đề (nếu phương trình $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ có ba nghiệm thực, thì tổng của chúng bằng - $a$) lần đầu tiên xuất hiện trong đó.

Ferrari và Tartaglia

Không khó để tưởng tượng việc xuất bản “Nghệ thuật vĩ đại” (1545) đã gây ấn tượng như thế nào đối với Tartaglia. Trong phần cuối của cuốn sách “Các vấn đề và những phát minh khác nhau” (1546), ông công bố thư từ với Cardanov và ghi lại các cuộc trò chuyện với anh ta và tấn công anh ta bằng những lời lăng mạ và trách móc. Kardanov không phản ứng trước đòn tấn công.

9

Ngày 10 tháng 2 năm 1547 Tartaglia cùng với Cardano phản ứng với Ferrari. Anh ta phản đối những lời trách móc của Tartaglia, chỉ ra những thiếu sót trong cuốn sách của anh ta, và trong một trường hợp, anh ta khiển trách anh ta vì đã chiếm đoạt kết quả của người khác và có trí nhớ kém (có vẻ như vào thời điểm đó đây là một lời buộc tội khó khăn). Tóm lại, Tartaglia được kêu gọi tham gia một cuộc tranh luận công khai “về hình học, số học hoặc các ngành liên quan, chẳng hạn như Chiêm tinh học, Âm nhạc, Vũ trụ học, Phối cảnh, Kiến trúc, v.v.”

Vào ngày 19 tháng 2, Tartaglia, trong đáp số của mình, cố gắng cãi nhau với chính Cardano: “Tôi đã viết ở đó với giọng điệu nóng nảy và xúc phạm như vậy để buộc lãnh chúa của anh ấy (chứ không phải bạn) viết điều gì đó của riêng anh ấy, nếu không tôi có điểm cũ với anh ấy.”

Cuộc thảo luận về các điều khoản tranh chấp đang kéo dài. Tartaglia bắt đầu hiểu rằng Cardano sẽ vẫn ở vị trí hàng trăm

rone. Sau đó, anh ấy bắt đầu nhấn mạnh sự thiếu độc lập của Ferrari, cụ thể là “sinh vật Cardano” của anh ấy, như anh ấy tự gọi mình trong thử thách của mình. “Câu hỏi” của anh ấy, mà theo truyền thống, anh ấy gửi tới đáp số để thử thách, anh ấy giải quyết cả hai: “Bạn, Messer Gerolamo, và bạn, Messer Luigi…”

Cuối cùng Tartaglia đã đồng ý TRANH CHẤP với Ferrari. TRANH CHẤP diễn ra vào ngày 10 tháng 8 năm 1548 tại Milan, với sự có mặt của nhiều người nổi tiếng, nhưng vắng mặt Cardano. ODISPUTE chỉ có những ghi chép ngắn về Tartaglia được bảo tồn, từ đó gần như không thể tái tạo lại bức tranh chân thực. Có vẻ như Tartaglia đã mất trật tự.

Tuy nhiên, TRANH CHẤP không liên quan gì đến vấn đề gây ra tranh chấp. Và nói chung, họ ít liên quan đến việc làm sáng tỏ TRANH CHẤP thực sự như những cuộc đấu tay đôi.

10

Số phận xa hơn của những anh hùng

Một năm trước khi Tartaglia qua đời (ông mất năm 1557), “Chuyên luận tổng quát về số và thước đo” của ông bắt đầu được xuất bản, bao gồm những kết quả mà ông đã thu được trong những năm đó về tổ hợp và lý thuyết xác suất. Luận thuyết nói rất ít về phương trình bậc ba. Luận thuyết được xuất bản xong sau khi tác giả qua đời.

Sau cuộc tranh chấp, Ferrari đã đạt được danh tiếng lớn: ông diễn thuyết trước công chúng ở Rome, đứng đầu bộ phận quản lý nhân sự ở Milan và tham gia vào việc giáo dục con trai nhà vua. Nhưng ông không để lại dấu vết nào nữa trong khoa học! Ông mất lúc 43 tuổi (1565).

Kardanov sống lâu hơn họ. Nhưng cuộc sống của anh không hề dễ dàng. Một trong những người con trai của ông đã đầu độc vợ mình và bị xử tử. Một người con trai khác trở thành kẻ bắt nạt và một người cha hạn chế. Năm 1570, chính Kardanov bị bỏ tù và tài sản của ông bị tịch thu. (Không rõ lý do bị bắt. Người ta chỉ biết rằng trước khi bị bắt, ông đã tiêu hủy 120 cuốn sách của mình.) Cardanov kết thúc những ngày ở Rome, trong tư cách một “người tư nhân” (cách diễn đạt của ông), tốt hơn một khoản trợ cấp khiêm tốn từ Giáo hoàng. Ông đã cống hiến phần cuối đời của mình cho cuốn tự truyện “Giới thiệu về cuộc đời tôi”. Sự thật cuối cùng được đề cập trong cuốn sách này bắt nguồn từ ngày 28 tháng 4 năm 1576. Kardanov qua đời vào ngày 21 tháng 9 năm 1576.

Trong cuốn sách của mình, Kardanov đã nhiều lần nhớ lại Tartaglia. Anh ấy viết rằng Tartaglia thích có trong mình “một đối thủ và một người chiến thắng, hơn là một người bạn và một người có nghĩa vụ phải cảm ơn anh ấy”. Ở chỗ khác, ông liệt kê Tartaglia là một trong những cuốn sách “không vượt quá giới hạn ngữ pháp”. Tuy nhiên, ở những trang cuối cùng, ông viết: “Tôi thú nhận rằng trong toán học, tôi đã vay mượn một thứ gì đó, nhưng thực tế là một lượng không đáng kể, từ Anh Niccolo.”

Rõ ràng trong lòng hắn đang bất an!

---

Lịch sử toán học chỉ quay trở lại với bài toán Tartaglia-Kardanov vào đầu thế kỷ 19, sau khi phát hiện ra sự tồn tại của một Tartaglia chung, mà vào thời điểm đó thực tế đã bị lãng quên. Câu chuyện gần như bị lãng quên đã được công khai, và không chỉ những người chuyên nghiệp mà cả những người nghiệp dư cũng sẵn sàng gánh chịu hậu quả của Tartaglia. Với sự truyền tải lịch sử nhiều lần và sự thâm nhập của nó vào văn học đại chúng, Kardanov đôi khi biến thành một nhà thám hiểm và một kẻ phản diện, kẻ đã đánh cắp những cuốn sách mở của mình từ Tartaglia và đặt tên cho khám phá này.

Vào cuối thế kỷ 19, một phần của cuộc thảo luận bắt đầu mang tính chất nghiên cứu lịch sử-toán học dựa trên dịch vụ. Các nhà toán học nhận ra vai trò to lớn của công trình của Cardan trong khoa học thế kỷ 16. Rõ ràng là điều Leibniz đã lưu ý trước đó: “Kardanov là một vĩ nhân với tất cả những khuyết điểm của mình; nếu không có chúng, ông ấy sẽ trở nên hoàn hảo”.

Nhà sử học vĩ đại nhất về toán học, Moritz Cantor (1829-1920; không cùng quan điểm với người tạo ra lý thuyết multivest, Georg Cantor!), bày tỏ giả định, vốn đã được tìm thấy ở Ferrari, rằng Tartaglia đã không khám phá lại phép chia Ferro chính xác mà đã học được nó ở dạng hoàn chỉnh ở dạng cũ.

Trong một thế kỷ rưỡi, những đam mê lắng xuống hoặc lại bùng lên. Nhưng có lẽ đây là một trong những câu hỏi không còn có thể trả lời bằng một đáp số rõ ràng nữa?

Và đằng sau công thức của phương trình bậc ba lời giải cái tên “công thức Cardan” đã bám rễ chắc chắn.