Đối xứng trục

56

Phần này là mới trong tạp chí của chúng tôi. Trong đó chúng ta sẽ đặt những ghi chú nhỏ liên quan đến chương trình giảng dạy của trường. Trong mỗi ghi chú, tôi sẽ trình bày tài liệu lý thuyết và phân tích một số bài toán từ sách giáo khoa của trường, và bài toán cho lời giải độc lập sẽ được cung cấp. Chúng tôi hy vọng rằng bài toán này sẽ hữu ích cho giáo viên trong các bài học toán và giúp học sinh hiểu rõ hơn và nắm vững chương trình học ở trường tốt hơn. Trong dấu ngoặc đơn bên cạnh các điều kiện bài toán, chúng tôi chỉ ra lớp mà bài toán này chủ yếu nhắm đến.

B. Geidman

Làm chủ tính đối xứng

A. Tam giác đều

Tam giác đều là hình đối xứng: đường phân giác của góc ở đỉnh là trục đối xứng của tam giác đó. Trong môn học hình học lớp sáu, tính đối xứng trục được sử dụng để chứng minh tính chất của một tam giác đều về các góc ở đáy và chiều cao tính từ đỉnh.

Đây là một tính chất đơn giản khác của tam giác đều; nó sẽ giúp chúng ta giải quyết một số bài toán khó khăn trong tương lai.

Nếu các cạnh AB và BC của tam giác cân ABC chứa các đoạn AM và CN bằng nhau thì giao điểm của các đường thẳng CM và AN nằm trên phân giác BD của tam giác.

Bằng chứng. Thật vậy, nếu đường phân giác BD của tam giác đều ABC cho trước đối xứng thì đỉnh A đi đến đỉnh C, cạnh AB đi đến cạnh CB (xem Hình 1). Đối xứng cơ bản là chuyển động; độ dài của các đoạn được bảo toàn dưới sự đối xứng. Theo điều kiện $N \in [BC]$ và $|CN| = |AM|$, do đó, điểm $M \in [AB]$ tiến đến điểm $N$.

Vì vậy, các điểm $A$ và $C$, cũng như các điểm $M$ và $N$ đối xứng với trục BD; Điều này có nghĩa là các đoạn AN và CM đối xứng với nhau.

Hãy để $K = [AN] \cap [BD]$. Vì $K$ nằm trên trục đối xứng nên điểm đối xứng với nó chính là điểm đó. Mặt khác, $K \in [AN]$; do đó, ảnh của điểm $K$ phải thuộc ảnh của đoạn $AN$, tức là đoạn CM. Vậy $K = [AN] \cap [CM] \in [BD]$ là điều cần chứng minh.

Sử dụng tính đối xứng của một tam giác đều, giải phương trình bài toán *).

1°. Chứng minh rằng trong một tam giác đều: a) các đường trung tuyến; b) các đường phân giác; b) độ cao của nút giao tại một điểm. (lớp 6).

2°. Tam giác $A'BC'$ thu được từ tam giác đều $ABC$ ($|AB| = |BC|$) bằng cách quay tâm ở đỉnh $B$ một góc có độ lớn nhỏ hơn góc $B$ (Hình 2). Các cạnh của hình tam giác $AC$

*) Bài toán 2° và 3° xuất hiện ở dạng linted trong các lựa chọn thi tuyển sinh cho mex.-mat. Khoa Đại học quốc gia Moscow năm 1975.

Cơm. 1.

57

Cơm. 2.

và $A'C'$ cắt nhau tại điểm $K$, $AC$ và $A'B$ tại điểm $M$, $A'C'$ và $BC$ tại điểm $L$. Chứng minh rằng: a) $BK$ là phân giác của góc $A'BC$; b) các đường phân giác của tam giác $A'BL$ và $MBC$ cắt nhau tại cùng một điểm. (lớp 6)

$3^\circ$. Hình thoi $AB'C'D'$ thu được từ hình thoi $ABCD$ bằng cách quay tâm ở đỉnh $A\left(\hat{A}<\frac{\pi}{2}\right)$ một góc có độ lớn nhỏ hơn giá trị của góc $A$ (Hình 3). Điểm $B'$ nằm bên trong viên kim cương $ABCD$. Các cạnh của hình thoi $CD$ và $B'C'$ cắt nhau tại điểm $K$. Chứng minh $AK$ là phân giác của góc $B'AD$ (lớp 8)

B. Đường đi ngắn nhất

Cùng giải bài toán đoạn 18 sách “Hình học 6”.

Cho một đường thẳng $l$ và hai điểm $A$ và $B$ nằm về một phía của đường thẳng đó. Tìm đường đi ngắn nhất từ ​​$A$ đến $B$ với một đoạn đi vào đường thẳng $l$.

Cơm. 3.

Chúng ta biểu thị bằng $A'$ điểm đối xứng với điểm $A$ so với đường thẳng $l$ (xem Hình 4). Giả sử $X$ là một điểm nào đó trên đường thẳng $l$. Sau đó $|AX| = |A'X|$ và $|AX| + |BX| = |A'X| + |XB|$.

Đặt từ $A$ đến $B$ khi đi vào đoạn thẳng $l$ bằng độ dài đoạn thẳng gãy $A'XB$; nó sẽ ngắn nhất nếu chiều dài của đường đứt nét này nhỏ nhất. Khi đó, đường gãy $A'XB$ sẽ chuyển thành đoạn $A'B$ và điểm $X$ sẽ chuyển thành điểm $C = [A'B] \cap (l)$.

Đặt $ACB$ là giá trị mong muốn.

Từ lời giải này bài toán, theo đường đi ngắn nhất $ACB$ các góc $1$ và $2$ bằng nhau (xem Hình 4). Vì vậy, đường đi ngắn nhất có thể được đặc trưng bởi thực tế là đối với nó “góc tới” bằng “góc phản xạ”.

Đặc biệt, thực tế này rút ra từ công thức at và pas nổi tiếng của Fermat: ánh sáng (thông qua sự phản xạ, khúc xạ, v.v.) truyền giữa hai điểm dọc theo một đường đi mất ít thời gian nhất để tới được *).

Đối xứng cơ bản thường được sử dụng để tìm đường đi ngắn nhất hoặc để thực hiện tình huống “góc tới bằng góc phản xạ”.

*) Chính xác hơn, không phải nhỏ nhất mà là cực đoan. Để biết thêm chi tiết về vấn đề này, xem các bài viết của S. Verov, «Kvant», 1975, Số 12, tr. 29, A. Zemlyakova, «Kvant», 1976, số 5, tr. 17 và L. Turiyansky, «Kvant», 1976, số 8, tr. 17.