Đồ họa lời giải của phương trình bậc ba

18

Đồ họa lời giải của phương trình bậc ba
A. Krasnodemskaya

Công thức Cardan nổi tiếng
$$x = \sqrt[3]{\frac{k}{54} + \sqrt{\frac{-D}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{-k}{54} - \sqrt{\frac{-D}{108}}} - \frac{b}{3a},$$
trong đó $k = (2b^3 - 9abc + 27a^2d)/a^3$, $D = (b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d + 18abcd - 27a^2d^2)/a^4$, cho phép bạn tìm chính xác nghiệm của phương trình bậc ba
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.$$ (*)

Đúng, các phép tính sử dụng công thức này mất rất nhiều thời gian, chưa kể thực tế là trong nhiều trường hợp bạn phải thao tác với số phức. Không thể tìm ra nghiệm của phương trình (*) trống bằng phương pháp gần đúng, nhưng nhanh chóng, chẳng hạn bằng đồ họa - bằng cách sử dụng la bàn và thước kẻ? Hóa ra là bạn không thể làm được chỉ với một la bàn và một thước kẻ - như đã trình bày trong bài viết của V. Nilme («Kvant», 1975, Số 6), với một la bàn và một thước kẻ, bạn chỉ có thể xây dựng các đại lượng biểu thị thông qua dữ liệu ban đầu bằng cách sử dụng hành động cộng, trừ, nhân, chia và trích căn bậc hai (ví dụ: các nghiệm của phương trình bậc hai được biểu thị thông qua các hệ số, vì vậy phương trình bậc hai có thể được giải bằng đồ họa bằng cách sử dụng la bàn và những người cai trị - điều này được mô tả trong bài viết của A. Presman, «Kvant», 1972, số 4).

Và các nghiệm của phương trình bậc ba cũng yêu cầu trích xuất căn bậc ba nên trong trường hợp tổng quát chúng không thể dựng được bằng compa và thước. Một ví dụ cụ thể về phương trình “hình học không thể giải được”: $x^3 - 2 = 0$, đã được V. Nilme đưa ra trong cùng một bài báo.

Đồng thời, nhiều bài toán, không thể giải được với sự trợ giúp của la bàn và thước kẻ, được giải quyết với sự trợ giúp của các thiết bị khác hoặc cách sử dụng thước kẻ một cách khéo léo (ví dụ: phép chia bài toán của một góc - trong cùng một bài viết của V. Nilme). Phương trình bậc ba cũng không ngoại lệ - chúng