Графическое решение кубических уравнений

18

Графическое решение кубических уравнений
А. Краснодемская

Известная формула Карданов
$$x = \sqrt[3]{\frac{k}{54} + \sqrt{\frac{-D}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{-k}{54} - \sqrt{\frac{-D}{108}}} - \frac{b}{3a},$$
где $k = (2b^3 - 9abc + 27a^2d)/a^3$, $D = (b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d + 18abcd - 27a^2d^2)/a^4$, позволяет точно находить корни кубического уравнения
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.$$ (*)

Правда, вычисления по этой формуле занимают много времени, не говоря уже о том, что во многих случаях приходится операровать с комплисными числами. А нельзя ли находить корни уравнения (*) пусты приближению, но быстро, скажем, графические — с помощью циркуля и линейки? Оказывается, одним лишь циркулем и линейкой обойтись нельзя — как было показано в статье В. Нильме («Квант», 1975, № 6), циркулем и линейкой можно строить лишь величины, выражающие через исходные данные с помощью действия сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня (скажем, так выражаются через коэффициенты корни квадратного уравнения, поэтому квадратные уравнения можно решать графические с помощью циркуля и линейки — об этом расскажано в статье А. Пресмана, «Квант», 1972, № 4).

А корни кубического уравнения требуют еще извлечения кубического корня, поэтому в обшем случае их нельзя построить с помощью циркуля и линейки. Конкретный пример такого «геометрического неразрешимого» уравнения: $x^3 - 2 = 0$, — был приведен в той же статье В. Нильме.

В то же время многое задачи, неразрешимые с помощью циркуля и линейки, решаются с помощью других приборов или хитрым использованием линейки (например, задача трисекции угла — в той же статье В. Нильме). Не являются исключением и кубические уравнения — их