Задачи М401—М405; Ф413—Ф417

Квант 1976, №9 с. 47-48 Тег 3NOE

Задачи

M401—M405; Ф413–Ф417

M401. Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P такая, что $APB = \widehat{ABC} + 60^\circ$ , $\widehat{BPC} = \widehat{BAC} + 60^\circ$ , $\widehat{CPA} = \widehat{CBA} + 60^\circ$ . Доказите, что точки пересечения продолжений отрезков AP, BP, CP (за точку P) с окружностью, описанной вокруг $\Delta ABC$ , лежат в вершинах равностороннего треугольника.

A. Ягубьянц

M402. Доказите, что не существует строго возрастающее последовательности целых неотрицательных чисел $a_1, a_2, a_3, \ldots$ , для которых при любых n и m выполняется соответствие $a_{nm} = a_n + a_m$ .

Ю. Ионин

M403. Доказите, что если в выпуклом многоугольнике из каждой вершины выходит четное число ребер, то в любом сечении его плоскостью, не проходящей ни через одну из его вершин, получится многоугольник с четырьмя числом сторона.

M404. На полке стоит первые n томов энциклопедии. С ним можно проводить следующую операцию: взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя томами, а также в начало или в конец ряда, не меняя при этом порядка этих трех томов. Можно ли, применив несколько раз указанную операцию, поставить их в порядке возрастания номеров томов (независимо от первогочаального расстановки томов)?

A. Савин

M405. На шахматной доске размера $99 \times 99$ отмечана фигура Ф (эта фигура будет разной в пунктах a), б) и в)). В каждой клетке фигуры Ф сидит жук. В каждой момент жуки взлетели и сели снова в клетки той же фигуры Ф; при этом в одну клетку могло есть несколько жуков. После перелета любые два жука, занимашие соседние клетки, оказались снова в соседних клетках или попали на одну клетку. (Соседними называются клетки, имеющие общую сторону или общую вершину.)

a) Пусть фигура Ф — это «центральный крест», (см. рис. 1). Доказите, что в этом случае какой-то жук вернулся на место либо перелетел в соседнюю клетку.

Верно ли это утверждение, если фигура Ф — это «оконная рама», (см. рис. 2)?

в) Верно ли это утверждение, если фигура Ф — это вся доска? (8 кл.)

В. Произвольов

Ф413. Имеется идеальный запирающий слой с p—n-переходом. Толщина этого слоя d, диэлектрическая проницаемость ε. Нарисуйте график напряженности и потенциала электрического поля в слое, полагая распределение плотности заряда в слое таким, как показано на рисунке 3. (9 кл.)

Ф414. Коэффициент жесткости резинового жута длины l и массы m равен k. Кольцо, изготовленное из этого жута, врашает с угловой скоростьюω в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр колца. Определить радиус врашающего колца. (8 кл.)

Ф415 *. Упрощенно atom геля можно представлять как систему, в которой два электрона совершают колбания около общего центра — неподвижного ядра. Используя эту модель, попробyte оценить приближение диэлектрического проницаемость жидкого геля в постоянном электрическом поле, принимая во внимание, что гелиный сильно поглощает ультрафилолетовое излучение на длина волны λ = 0,06 мк. Плотность жидкого геля ρ = 0,14 e/cm³.

С. Козел

Ф416. Самолет, протеев расстояние l₁ по прямой AB, попадает из пункта A в пункт B за время t₁. Затем он протеает расстояние l₂ по прямой BC из пункта B в пункт C за время t₂ и возвращается в пункт A по прямой CA, протеев расстояние l₃ за время t₃. Во время перелета дует ветер, скорость которого не меняется в течение всего перелета. Определить скорость ветра, если скорость самолета относительно воздуха во время всего полета по абсолотной величины постоянна.

Ф417. В теплопроводном баллоне находится 5 e водорода и 12 e кислорода. Смеся поджигают. Определить давление и температуру в сосуде, если известно, что при образования 1 моля воды выделяется 2,4·10⁵ днс. Объем сосуда 100 литров. Начальная температура смеси кислорода и водорода 20 °C. Теплоемкость водорода при постоянном объеме равна 14,3 кдж/кг· град, а водяных паров — 2,1 кдж/кг· град.