Приближённая квадратура круга

58

Приведем несколько таких задач *).

4°. Данные прямая $l$ и две точки $P$ и $Q$ по одному сторону от $l$. Найдите на прямой $l$ такую точку $R$, чтобы переметр треугольника $PQR$ был наиболеешим. (6 класс)

*) В упомянутой выше статье А. Землякова «Математика биллиарда», «Квант», 1976, № 5, обсуждался общий вопрос об экстремальных свойствах траекторий биллиарда; в частности, там предлагались задачи, аналогичные тем, которые мы помещаем.

5°. Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и высотой равноведенной имеет наиболеешим перimeter. (6 класс)

6°. Дорога $AB$ пересекает под острым углом реку $BC$ (см. рис. 5). Гонец находится в точке $P$ внутри угла $ABC$. Конь хочет пить, а гонец спешит выехать на дорогу $AB$. В каком месте реки должны напойти коня, чтобы как можно скорее попасть на дорогу? (6 класс)

7°. Дан острый угол $ABC$ и точка $P$ внутри него. Построите треугольник наименьшего перimeter, одна вершина которого совпадает с точкой $P$, а две другие лежат на сторонах данного угла. (6 класс)

Как изменяется решение задачи 6° и 7°, если в их условиях острыые углы заменить прямыми или тупыми?

8°. На прямой угольном биллиарде $ABCD$ даны два шара $M$ и $N$. Как надо толкнуть шар $M$, чтобы он, отразившись от бортов $AB$ и $BC$, попал в шар $N$? (6 класс)

Приближенная квадратура круга

Неразрешимость задачи о разыскании квадрата, равновеликого данному кругу, с помощью циркуля и линейки была строено доказана в XIX веке. Но приближение задачу легко решить. Предварительно найдем отношение диагонали квадрата к диаметру круга: $S_{кр} = \pi R^2$, сторона равновеликого квадрата $a = \sqrt{\pi R^2} = R\sqrt{\pi}$, диагональ квадрата (по теореме Пифагора) $l = R\sqrt{2\pi}$, откуда

$$\frac{l}{2R} = \frac{R\sqrt{2\pi}}{2R} = \frac{\sqrt{2\pi}}{2}.$$

Выбирая для этого числа разысканные приближения, получаем приближение решения задачи о квадратуре круга. Например, положим

$$\frac{l}{2R} = \frac{\sqrt{2\pi}}{2} \approx \frac{\sqrt{2\cdot 3,1416}}{2} \approx \frac{5,013}{4} \approx \frac{5}{4},$$

т. е. $l = \frac{5R}{2}$ (см. рис. ), тогда относительная погрешность площади квадрата равна

$$\delta = \frac{\left|\pi R^2 - \frac{1}{2} l^2\right|}{\pi R^2} = \frac{\left|\pi - 2\left(\frac{l}{2R}\right)^2\right|}{\pi} \approx 0,0053.$$

А. Падалко (г. Свободный)