Осевая симметрия

56

Этот раздел — новый в нашем журнале. В нем мы будем помещать небольшие заметки, тено связанные со школьной программы. В каждой заметке, нарушу с изложением теоретического материала и разбором некоторых задачи из школьного учебника, будут предлагаться и задачи для самостоятельного решения. Мы надемся, что эти задачи пригодятся учителью на уроках математики и помогут ученику глубже понять и лучше усвоить школьную программу. В скобках рядом с условиям задачи мы указываем класс, для которого в первую очередь эта задача предназначается.

Б. Гейдман

Освая симметрия

А. Равноведренный треугольник

Равноведренный треугольник — симметриная фигура: биссектриса угла при вершине — его ось симметрии. В курсе геометрии шестого класса с помощью осевой симметрии доказываются свойства равноведренного треугольника об углах при его основании и о высоте, проведенной из вершины.

Вот еще одно простое свойство равноведренного треугольника; оно нам помогет в дальнейшем решить несколько трудных задач.

Если на боковых сторонах AB и BC равноведренного треугольника ABC отложены конгрузимые отрезки AM и CN, то точка пересечения прямых CM и AN лежит на биссектрисе BD треугольника.

Доказательство. Действительно, при симметрином биссектрисы BD данного равноведренного треугольника ABC вершина A переходит в вершину C, сторона AB переходит в сторону CB (см. рис. 1). Освая симметрия — перемещение, длины отрезков при симметрии сохраняются. По условию $N \in [BC]$ и $|CN| = |AM|$, следовательно, точка $M \in [AB]$ переходит в точку $N$.

Итак, точки $A$ и $C$, а также точки $M$ и $N$ симметрины относительно оси BD; значит, симметрицы друг друга и отрезки AN и CM.

Пусть $K = [AN] \cap [BD]$. Поскольку $K$ лежит на оси симметрии, симметриная ей точка — она сама. С другой стороны, $K \in [AN]$; следовательно, образ точки $K$ должен принадлежать образу отрезка $AN$, т. е. отрезку CM. Тем самым $K = [AN] \cap [CM] \in [BD]$, что и требовалось доказать.

Пользовся симметрией равноведренного треугольника, решите следующее задачи *).

1°. Доказите, что в равноведренном треугольнике: a) медианы; b) биссектрисы; b) высоты пересечения в одной точке. (6 класс).

2°. Треугольник $A'BC'$ получается из равноведренного треугольника $ABC$ ($|AB| = |BC|$) поворотом с центром в вершине $B$ на угол, величины которого меньше величины угла $B$ (рис. 2). Стороны треугольников $AC$

*) Задачи 2° и 3° в завылированном виде фигурировали в вариантах вступительных экзаменов на mex.-мат. факультете МГУ в 1975 году.

Рис. 1.

57

Рис. 2.

и $A'C'$ пересекаются в точке $K$, $AC$ и $A'B$ — в точке $M$, $A'C'$ и $BC$ — в точке $L$. Доказите, что: а) $BK$ — биссектриса угла $A'BC$; б) биссектрисы треугольников $A'BL$ и $MBC$ пересекаются в одной и той же точке. (6 класс)

$3^\circ$. Ромб $AB'C'D'$ получается из ромба $ABCD$ поворотом с центром в ввершине $A\left(\hat{A}<\frac{\pi}{2}\right)$ на угол, величины которого меньше величины угла $A$ (рис. 3). Точка $B'$ лежит внутри ромба $ABCD$. Стороны ромбов $CD$ и $B'C'$ пересекаются в точке $K$. Доказите, что $AK$ — биссектриса угла $B'AD$ (8 класс)

Б. Кратчайший путь

Решим задачу из п. 18 книги «Геометрия 6».

Дана пряма $l$ и две точки $A$ и $B$, лежащие по одному сторону от нее. Найти кратчайший путь из $A$ в $B$ с заходом на прямую $l$.

Рис. 3.

Обозначим через $A'$ точку, симметрично точке $A$ относительно прямой $l$ (см. рис. 4). Пусть $X$ — некоторая точка на прямой $l$. Тогда $|AX| = |A'X|$ и $|AX| + |BX| = |A'X| + |XB|$.

Пусть из $A$ в $B$ с заходом на прямую $l$ равен длине ломаной $A'XB$; он будет кратчайшим, если длина этой ломаной будет наименьшей. Тогда ломана $A'XB$ должна превращаться в отрезок $A'B$, а точка $X$ — перейти в точку $C = [A'B] \cap (l)$.

Пусть $ACB$ и будет искомым.

Из решения этой задачи следует, что для накратайшего пути $ACB$ углы $1$ и $2$ равны между собой (см. рис. 4). Итак, накратайший путь можно охарактеризовать тем, что для него «угол падения» равен «углу отражения».

Этот факт следует, в частности, из знамененного при и па Ферма: свет (при отражении, преломлении и т. д.) распространяется между двумя точками по пути, проходящие к которой занимает наименьшее время *).

Освая симметрия часто используется для отыскания кратчайшего пути или для реализации ситуации «угол падения равен углу отражения».

*) Точнее, не наименьшее, а экстремальное. Подробно об этом см. в статьях С. Верова, «Квант», 1975, № 12, с. 29, А. Землякова, «Квант», 1976, № 5, с. 17 и Л. Туриянского, «Квант», 1976, № 8, с. 17.