Формула Кардано и геометрия

Формула Кардано и геометрия

Вы хорошо знакомы с как по коэффициентам уравнения второй степени $x^2+px+q=0$ определить, сколько у него действительных корней. Если $p^2-4q\gt0$, то корней два, если $p^2-4q=0$, то корень один и, наконец, если $p^2-4q\lt0$, то корней нет.

В этом номере выводится аналогичное условие для уравнения третьей степени $x^3+px+q=0$. С помощью этого условия можно получить одно хитроумное неравенство, связывающее элементы произвольного треугольника. Вот как это делается.

Пусть $ABC$ — треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$; $p$ — его полупериметр, $S$ — площадь, а $R$, $r$, $r_a$, $r_b$, $r_c$ — радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей. Оказывается, верны такие соотношения:
$$r_a+r_b+r_c=4R+r,\quad r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=p^2,\quad r_ar_br_c=pS.\tag1$$

Равенства (1) означают, что числа $r_a$, $r_b$, $r_c$ являются корнями следующего кубического уравнения:
$$x^3-(4R+r)x^2+p^2x-pS=0.\tag2$$
Это вытекает из того, что $r_a$, $r_b$, $r_c$ — корни многочлена
$$(x-r_a)(x-r_b)(x-r_c)=x^3-(r_a+r_b+r_c)x^2+(r_ar_b+r_br_c+r_cr_a)a-r_ar_br_c.$$

Записав для уравнения (2) условие действительности всех трёх его корней, мы, после несложных преобразований и с помощью формулы $S=pr$, придём к такому неравенству:
$$[p^2-(2R^2+10Rr-r^2)]^2\le4R(R-2r)^3.\tag3$$
Из (3) следует, что $$R\ge2r\tag4$$
и что $$|p^2-(2R^2+10Rr-r^2)|\le2\sqrt{R(R-2r)^3}.\tag5$$
Равенство в (3) и (5) достигается, когда два из чисел $r_a$, $r_b$, $r_c$ равны, т. е. когда треугольник равнобедренный.

Упражнения

1. Докажите формулы (1). Выведите для этого следующие выражения для $S$:
   $$S=rp=r_a(p-a)=r_b(p-b)=r_c(p-c)=\dfrac{abc}{4R}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$
2. Выясните условия достижения равенства в (4).
3. Докажите, что $16Rr-5r^2\le p^2\le4R^2+4Rr+3r^2$.
4. Исследуйте, для каких равнобедренных треугольников число $p^2-(2R^2+10Rr-r^2)$ неотрицательно.