Может ли часть равняться целому?

72

Принбегают как-то ко мне Тамуна и Георгий и перебивая друг друга, спрашивают:

— Может ли часть равнять целому?
— Часть — целому? — говorio я. — Конечно же не может. Часть всегда меньше целого. Между прочим, великий древнегреческий математик Евклид, написавший первый систематический курс геометрии, принял это утверждение за одну из аксимом.

— А вот сегодня к нам в школе заходил брат нашего одноклассника — Каха, он студент, и сказал, что это не так, что бывают случай, когда часть равна целому. Он даже пример нам показывает, — сказал Георгий.

— А вы помните этот пример?
— Помним, отлично помним, вот послушайте… — сказали они в один голос.

— Пожалуйста, я к вашим услугам. Только давайте по порядку, не перебивайте друг друга. Ну, Тамуна, расскажай, о чем была речь.

— Значит, так. Возьмем множество всех натуральных чисел
{1, 2, 3, 4,…}
и в нем подмножество все четных чисел
{2, 4, 6, 8,…}.

Ведь второе — часть первого?
— Конечно.

— А, оказывается, они равны. Вот посмотрите, — и она нарисовала следующую таблицу:

| 1 | 2 | 3 | 4 | … | 100 | 101 | … | 500 | 501 | … |
| 2 | 4 | 6 | 8 | … | 200 | 202 | … | 1000 | 1002 | … |

В этой таблице под каждым натуральным числом написано определение четное число, причем ни одно не пропущено и ни одно не повторяется. Получается, что четных чисел столбко же, сколько и натуральных, т. е. эти множества равны!

— Как ты сказал — «равны»? Нeyжели ты не помнишь, какие множества называются равными?

73

Помню: два множества $A$ и $B$ называются равными, если каждый элемент множества $A$ принадлежит также множеству $B$, и наборот — каждый элемент множества $B$ принадлежит одновременно и множеству $A$, т. е. если эти множества составят из одних и тех же элементов.

Ну, и как ты думешь, равны между собой множество натуральных и множество четных чисел?

Нет, они не равны, но … получается, что у них одно и то же число элементов…

Да, да,— подхватил Георгий, эти множества равны по количеству элементов, т. е. все-tаки часть равна целому.

Допустим. Будем говорить, что часть колчественно равна целому. А что вы скажете, если для этих же множества я составлю вот такую таблицу:

| 1 | 2 | 3 | 4 | … | 100 | 101 | … | 500 | 501 | … |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| | 2 | | 4 | … | 100 | | … | 500 | | … |

Здесь во второй строке выписаны все четные числа, да еще есть свободные клетки, причем, как нетрудно догадаться, число их бесконечно. Получается, что четных чисел все же меньше, чем натуральных!

— ??

Тамуния и Георгий были в замечательстве, — они удивленно смотрели друг на друга, потом вопросительно посмотрели на меня.

Что же, — сказал я, — давайте разберемся, в чем тут дело. Начнем с конечных множества. Пусть нам даны два конечных множества, и требуется сравнить их количество, т. е. выяснить, поровну содержат они элементов или нет. Как вы думаете, что для этого надо сделать?

Подсчитать число элементов этих множества, — не задумываясь сказал Георгий.

Конечно, подсчитать, а потом сравнить полученные числа, — добавила Тамуния.

Верно. Это первое, что приходит в голову. Безусловно, пересечет в принципе решает вопрос, но если подойти к делу критических, то оказывается, что метод пересечета не самый лучший. Помимо того, что его нельзя применить к бесконечным множествам, он обладает и другими недостатками.

Во-первых, при пересечете мы получаем лишнюю, ненужную нам информацию — нас вовсе не интересует, сколько элементов в каждой из данных множества, нам достаточно выяснить лишь, поровну их в множествах или нет.

Во-вторых, не всегда удобно применять этот метод. К примеру, представьте себе, что вы проводите вечер заиматательной математики и пригласили на него учащихся соседней школи. Гостей пришло много, да и хозяйев немало. Все собрались в большом школьном зале, где вдоль стен расставлены стулья. Вам требуется выяснить: хватит ли всем стульев. Нужели вы начете считать всех присутствуютших — один, два, три, четыре, пяты, …?

Нет, это было бы неудобно, — сказали мои собеседники.

Недобно и непросто, — добавил я. — Как же все-tаки поступить, нужно ведь вовремя привести стулья, если их не хватает?

А если попросить всех есть? — после некоторых раздумы сказала Тамуния, — ведь тогда легко будет узнать, кто остался без места…

Правильно! Нужно попросить всех занять места, причем позаботиться, чтобы на каждый стол один школьник. Какие возможности варианты, Георгий?

Все丝и и свободных стульев нет — первый вариант; все丝и и свободные стулья остались — второй вариант; все стулья заняты, а кто-то остался без места — третьий. При варианта!

Точно. В первом случае в множестве людей и в множестве стульев элементов поровну, во втором людей

74

меныше, чем стульев, в третьем — наоборот. Вот мы и нашли способ для количественного сравнения двух конечных множества, который легко переносится на случай бесконечных множества. Посмотрим, как это можно сделать. Пусть нам даны два множества: $A$ и $B$. Конечы они или нет — неважно. Говорят, что множество $A$ взаимно однозначно отображается на множество $B$, если существует соответствие, при котором каждому элементу $A$ соответствует определенный элемент $B$ множества $B$, и при этом каждый элемент $B$ соответствует единственному $a$. Ясно, что тогда из элементов множества $A$ и $B$ можно составить пары $(a, b)$ с соблюдением указанных условий, то $A$ взаимно однозначно отображается на $B$. Приведу пример. Пусть

$$A = \{m, o, p, e\}, \quad B = \{1, 2, 3, 4\}.$$

Составим пары $(m, 1), (o, 2), (p, 3), (e, 4)$. Они удовлетворяют названным условиям, т. е. $A$ взаимно однозначно отображается на $B$.

— А нельзя ли составить пары другим способом: $(m, 4), (o, 3), (p, 2), (e, 1)$ или $(m, 1), (o, 2), (p, 4), (e, 3)$? — спросила Тамуна.

— Конечно, можно. Важно лишь чтобы указанные условия выполнялись. В нашем случае, например, способов составить пары будет 24. Это показывает, что, как правило, одно множество на другой можно отображить взаимно однозначно несколькими способами (если, конечно, такое отображение возможно). Вместо того, чтобы говорить: «Множество $A$ взаимно однозначно отображается на $B$», —

говорят коротко: «$A$ эквивалентно $B$», — и пишут: «$A \sim B$». Ясно, что если $A \sim B$, то и $B \sim A$. Подумайте, при каком условиядва конечных множества эквивалентны?

— Если они содержат одно и то же число элементов, — не задумываясь ответили оба.

— Правильно. Ясно, что верно и обратное: если два конечных множества эквивалентны, то …

— В них поровну элементов, — заключил Георгий.

— Значит, два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одно и то же число элементов, — подвела итог Тамуна.

— Совершенно верно! Итак, для конечных множества все объект очень просто, и вряд ли стонло бы вводить понятие эквивалентности, если бы… не существовали бесконечные множества. Этот случай города интересней. Здесь мы встречемся с ситуацией, в котором даже трудно поверить. Возьмем хотя бы множества натуральных и четных (положительных) чисел. Взглянув в таблицу, которое нарисовала, — обратился я к Тамуни, — мы видим, что элементы этих множества можно спарить требуемым образом, т. е. множество натуральных чисел эквивалентно своей части — множеству четных чисел. Такого в конечных множества быть не может!

— Да, но ведь по Вашей таблице получается, что эти множества не эквивалентны… — робко спросила Тамуна.

— Я окидал, то ты задашь этот вопрос. В самом деле, может показаться, что эти множества эквивалентны и в то же время не эквивалентны, но этот не так — здесь все верно и никакого противоречия нет. Дело в том, что $A$ эквивалентно $B$, если его можно не он, я подчеркиваю — «множества» взаимно однозначно отображать на $B$. Итак, если можно взаимно однозначно отображать, если нельзя, то не

75

В качестве второго примера возьмем отрезок [0, 1] и отрезок [a, b], где a и b — произвольные числа. Эти отрезки (они рассматривают как множество чисел) оказываются эквивалентными, хотя отрезок [a, b] может оказаться во много раз длинее (или короче) отрезка [0, 1]. Доказать эту эквивалентность можно, например, так. Расмотрим функцию $y = a + (b - a)x$ с области определения [0, 1]. При изменении x в области определения (от 0 до 1) y будет меняться от a до b, т. е. множество значений этой функции будет [a, b]. А так как при этом

$$x = \frac{y - a}{b - a},$$

то каждое y будет соответствовать только одному x.

На этом наша беседа закончилась. Тамчина и Георгий остались очень довольны. Я им дал в виде задания несколько задач, которые предлагаю и вам.

1. Докажите, что множество натуральных чисел эквивалентно множество чисел, кратных 10-ти.
2. Докажите, что множество точки матета AC и гипотенузы AB прямогоного треугольника ABC эквивалентны (рис. 2).
3. Укажите геометриски взаимно однозначное соответствие между множеством точки отрезка $|AB|$ и множеством точки отрезка $|A'B'|$ (рис. 3). Постарайтесь сделать это двумя разными способами.
4. Докажите, что множество целых чисел Z эквивалентно множество натуральных чисел N.