Броуновское молекулярное движение

20

Броуновское молекулярное движение
А. Ноффе

В самом начале школьного курса физики, в шестом классе, учащся знакомятся с двумя интересными физическими явлениями — броуновским движением и диффузей, непредседательно связанным с движением молекул. Эти явления служат экспериментальной основой молекулярно-kinетической теории. Теория этих явлений в школе не изучается. Поэтому остается непонятным даже такой очень важный вопрос — а почему в процессе диффузии молекул могут перемешаться на значительные расстояния? Ведь они движутся совершенно случайно, все направления движения для них равноправны, и казалось бы, за большие промежутки времени они должны были бы фактически оставаться почти на одном и том же месте.

Teория броуновского движения была создана Альбертом Эйнштейном. Она содержится в его работе «О движении взвешенных в покоящей жидкости частиц, требуемом молекулярно-kinетической теории теплоты», опубликованной в 1905 году. Экспериментальные исследования, проведенные вскоре французским физиком Жаном Перреном, полностью подтвердили эту теорию, а вместе с ней и наши представления о молекулярном строении вещества.

Мы приводим здесь изложение основ теории броуновского движения, заимствованное из научно-популярной книги академика Абрама Федоровича Иоффе «Основные представления совершенной физики», выпущенной Государственным издательством физико-математического литературы в 1949 году.

Существует непосредственное доказательство непрерывного теплового движения молекул — так называемое броуновское молекулярное движение. Еще в 1827 году английский броун заметил в растительных препаратах под микросом постоянное движение или дрожжные мелких взвешенных в жидкости частиц. Воспледствии оказалось, что это свойство не ограничивается живой природой, что всякая достаточно мелкая крупинка, помещенная в среду, где она может двигаться, совершает постоянные перемешения самого случайного характера. Исследование этого явления показало, что оно не может быть обязывано побочных причины, например, потоками, которые возникают в жидкой или газообразной среде под влиянием неравномерного

21

нагревания, электризации, освещения и т. п. Это движение никака не прекрашается, оно тесно связывано с тепловым состоянием жидкости: с повышением температуры интенсивность броуновского движения воздуха. Можно считать доказанным, что в совершенном способе живимое непрекрашающее движение мелчайших частиц, так как только такое движение способно сообщить те точки, которые передвигают наблюдаемую крупинку то в одну, то в другую сторону.

Легко понять, почему понадобились микросоппические крупинки, чтобы обнаружить тепловое движение. Далее в сравнительно разреженном веществе, в газе, при нормальных условиях заключится 2,7·1019 молекул в каждой кубическом сантиметре; все эти молекулы движутся с громадными скоростями по всевозможным направлениям. Поэтому число толчков, испытываемых телом объченных размеров, так велико, что мы не только не успеваем подметить отдельного толчка, но и не замечаем случайного преобладания толчков в одном направлении над толчками в противоположном направлении. Чем меньше тело, тем меньше толчков оно испытывает, а для микросоппических пылинок число испытываемых им们 толчков уже так не велико, что преобладание толчков то одного, то другой направления случайности постоянно, и пылинка кидается именно из стороны в сторону. Такая пылинка заключит в себе еще миллионы молекул, поэтому ее беспорядочное движение, которое мы видим, не есть собственно молекулярное движение; мы не замечаем только отдельной молекулы, а только преобладание толчков какого-нибудь направления; но это пылинка является верным показателем существования молекулярного движения, подобно тому, как вид качающегося на море судна указывает на существование волн.

Рис. 1.

Чтобы составить себе представление о хаотическом характеристике броуновского движения, рассмотрим рисунок, полученный Перреном, подробно исследовавшим это явление (рис. 1). На рисунке отмечено положение одной и той же частицы в поле микросоппала через каждые 1/2 мин. Приемые линии, соединяющие эти положения, ни в какой степени не соответствуют действительному пути частицы за протекшное 1/2 мин. Наоборот, пусть между двумя положениями представляется собой такую же сложную запутанную картину, как вес рисунок. Каждый следовение частицы с молекулой окружающей жидкости немного меняет направление ее движения, а таких следовений — до 1012 в течение 1 сек. Изображить действительный пути частицы мы не можем; однако даже наблюдаемые положения частицы в определенные моменты времени уже выясняет неоторные типичные черты теплового движения.

Как и следовало ожидать, через каждые 1/2 мин частица оказывается смешенной вправо, влево, вверх или вниз, причем, по смесению за пределы предсказания о направлении смешения за следующее 1/2 мин. Be-

22

личина смешення различна, но все же большей частью близка к некоторому среднему значению (около 5 мм на рисунке 1). Отступления и в ту, и в другую сторону тем реже, чем дальнейшее смешення отходят от среднего. Много, например, смешений в 3 или в 8 мм, но значительно меньше в 2 или 12 мм и совсем не видно смешений в 1 или 20 мм за 1/2 мин. Если бы мы проследили не 200 смешений, как на рисунке 1, а тысячи, как это сделал Перен, то встретили бы и больше отступления, но их было бы мало.

Это свойство мы можем описать графическими (рис. 2), нанося по оси абсцисс величины смешения Δx и по оси ordинат — число случав n, когда наблюдаюсь данное смешение Δx, причем, все возможные их значения мы разобъем на группы, например, смешения от 0 до 1 мм, от 1 до 2 мм и т. д. График показет некоторый максимум величины 5 мм. Отсюда кривая будет спадать до нуля в ту и другую сторону. Это сладание происходит настолько быстро, что число случав, соответствующих очень далеким от 5 мм смешениями, оказываетсяничтожно малым.

Мы привыклих характеризовать движение частицы скоростью v, понимая под него отношение смешения за данный промежуток времени t к величины этого промежутка. Когда движение равномерно, пусть пропорционален времени. Когда движение неравномерно, мы можем, постепенно уменьшая промежуток времени t, получать все более сходящая значения, и наконец, перейти к предлуэ этого отношения при бесконечном малом Δt. Этот метод, однако, совершенно не применим к наблюдениям, изобравенным на рисунке 1.

Перейдем от смешений AB и BC (рис. 3) за один промежуток времени, например, за каждые 1/2 мин, к смешиям AC за двойные промежутки времени — 1 мин. Так как второе смешение BC никакогда не связано с предыдущим AB и с одинаковой вероятностю может произходить под любым углом φ к нему, то общее смешение AC за 1 мин обычно будет меньше, чем AB + BC, а иногда может равнять нулю, когда AB = BC и угол φ = 0. Таким образом, смешение за 1 мин может принимать все значения от AB + BC до AB — BC в зависимости от угла φ. Предсказать результаты каждого отдельного смешения мы не можем, но, наблюдая очень сильно смешений, можно установить некоторую связь между средним значением смешения частцы за 1/2 мин и средним значением ее смешения за 1 мин.

При любом угле φ между AB и BC мы имеем AC² = AB² + BC² — 2AB·BC·cos φ. Вместо угла φ можно ввести дополнительный угол α между BC и продолжением линии AB:

cos φ = cos(180° - α) = — cos α,

рис. 2.
рис. 3.

23

позтому
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB \cdot BC \cdot \cos \alpha.$$ (1)

Наблюдая дилтельное движение частицы, мы составим для каждой пары последовательных смещений уравнение, подобное уравнение (1). Сложим все эти уравнения почленно и разделим на число этих уравнений. Тогда получим

$$\frac{A_1C_1^2 + A_2C_2^2 + \cdots + A_nC_n^2}{n} = \frac{A_1B_1^2 + A_2B_2^2 + \cdots + A_nB_n^2}{n} + \frac{B_1C_1^2 + B_2C_2^2 + \cdots + B_nC_n^2}{n} + \frac{2}{n}(A_1B_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos \alpha_1 + A_2B_2 \cdot B_2C_2 \cdot \cos \alpha_2 + \cdots + A_nB_n \cdot B_nC_n \cdot \cos \alpha_n).$$ (1a)

Если движение совершеноxaотично, то все значения угла $\alpha$ должны встречаться одинаково части. Слгаемые последнего члена, благодаря множительм cos $\alpha_i$, одинаково части приннимают положительные и отрицательные значения, поэтому их алгебраическая сумма, а вместе с тем и весь последний членрезвычайно близки к нулю. По сравнению с остальных членами, состоящими из одних положительных слгаемых, он будет настолько мал, что им можно пребежать. Оставшиеся члены выражают связь между средним значением квадратов всех смещений части за каждую минуту, которые мы обозначим через $(\Delta x_2)^2$, и средним значением квадратов смещений за 1/2 мин (его обозначим $(\Delta x_1)^2)$. Уравнение (1a) перепишется при этих обозначениях так:
$$(\Delta x_2)^2 = 2(\Delta x_1)^2.$$
Точно так же можно убедиться, что средний квадрат смещения части $(\Delta x_3)^2$ за тройной промежуток времени будет
$(\Delta x_3)^2 = 3(\Delta x_1)^2.$

Обозначим через $A, B, C, D, E, \ldots, Y, Z$ (рис. 4) положения крупинки через ряд последовательных и равных между собой промежутков времени $\Delta t$ и вычислим, на сколько в среднем крупинка удалится от своего начального положения в точке $A$ в результате $n$ смещений за время $n\Delta t$.

Для удаления крупинки $AZ$ через $n$ промежутков времени $\Delta t$ получим
$$AZ^2 = (AB^2 + BC^2 + CD^2 + \ldots + YZ^2) + (2AB \cdot BC \cdot \cos \alpha_1 + 2AC \cdot CD \cdot \cos \alpha_2 + \ldots + 2AY \cdot YZ \cdot \cos \alpha_n).$$

Сумма членов в выражении для $AZ^2$, содержащих многочлен cos $\alpha_1$, cos $\alpha_2$, …, cos $\alpha_n$, одинаково часто может иметь и положительный и отрицательный знак, так как все значения углов $\alpha_i$ одинаково верятны. Позтому при повторении опыта среднее значение этой суммы будет тем близке к нулю, чем больше число ответов. При вычислении среднего результата его можно пребрать по сравнению с суммой положительных величины $AB^2, BC^2, \ldots, YZ^2$. Средние значения квадратов каждой смещения будут, очевидно, одинаковы:

$$AB^2 = BC^2 = CD^2 = \ldots = YZ^2.$$

Мы обозначим их через $(\Delta x)^2$. Среднее значение квадрата полного смещения $AZ$ будет в $n$ раз больше.

Итак, в результатеxaотическая смещения крупинки в течение $n$ промежутков времени $\Delta t$ среднее значение квадрата окончательно уда-

24

ления ее $L = AZ$ в каком-нибудь направлении от исходного положения выразится формулой:

$$\overline{L^2} = n(\Delta x)^2.$$

Обозначим через $t$ продолжительность опыта, в течение которого произло $n$ стшейний $\Delta x$, измененных через промежутки времени $\Delta t$. Тогда

$$n = \frac{t}{\Delta t}, \quad \overline{L^2} = \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} t.$$

Отметим прежде всего, что, участву в хаотическом движении, крупинка с течение времени в среднем удаляется от первого嗽ального положения на величины $L$, квадрат которого (а не сама величина $L$) растет пропорционально времени $t$.

Среднее смшение $L_0$ за время $t$ мы определим как $\sqrt{\overline{L^2}}$:

$$L_0 = \sqrt{\overline{L^2}} = \sqrt{\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}} \cdot \sqrt{t} = B \sqrt{t}.$$

Среднее смшение $\sqrt{\overline{L^2}}$ с одинаковой вероятностью может иметь любое направление в пространстве. Мы можем утверждать, что крупинка, находившаяся в начальной момент времени в точке $A$, через $t$ сек окажется в среднем где-нибудь вблизи поверхности шара радиусом $R = B\sqrt{t}$. Радиус этого шара растет не пропорционально времени $t$, а пропорционально корню квадратному из $t$. Указанное значение радиуса определяется тем точнее и тем увеличением, чем больше отделных значений $\Delta x$ входит в состав смшения $L$ или чем чаще повторяется опыт для вычисления среднего значения $\overline{L^2}$.

Легко убедиться, что понятие скорости движения частицы как отношенная смшення $L_0$ частицы за некоторый промежуток времени к величины $t$ этого промежутка теряет смысл для хаотического движения. Действительно,

$$\frac{L_0}{t} = \frac{L_0}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} = \frac{B}{\sqrt{t}}.$$

В противоположность скорости упо-

рядоченного движения тела, которая стремится к определенному пределу $v$ по мере уменьшения промежутка времени $t$. И только тогда, когда $t$ сделается меньше, чем время между двумя соударениями с молекулами среды, движение в течение этого времени можно считать упордочным и общим образом определить скорость этого движения.

Если проследить весь запутанный путь частицы и разделить общую его длину на промежуток времени, то это относительно скорость $\overline{v}$ теплового движения частицы, а величины $\frac{1}{2} \overline{mv^2}$ — среднюю кинетическая энергия молекул среды

$$B = \frac{1}{3\pi\eta} \frac{1}{2} \overline{mv^2}.$$

(2)

(a — радиус крупинки, η — коэффициент, определяющий вззвость среды).

Вычисленное из уравнения (2) значение $\frac{1}{2} \overline{mv^2}$, как показывает опит, не зависит ни от свойств среды, ни от выбора крупинок, ни от других условий опыта, пока он производится при неизменной температуре. Наблюдая же броуновское движение частицы при различных температурах, можно установить прямую связь средней кинетической энергии $\frac{1}{2} \overline{mv^2}$ с абсолотной температурой $T$:

$$\frac{1}{2} \overline{mv^2} = \frac{3}{2} kT,$$

где $k$ — универсальная постоянная, одинаковая для всех веществ и в любых состояниях. Постоянную $k$ называют постоянной Больцмана.