Chuyển động phân tử Brown

20

Chuyển động phân tử Brown
A. Noffe

Khi bắt đầu môn vật lý cấp trường, lớp 6, học sinh được làm quen với hai hiện tượng vật lý thú vị - chuyển động Brown và sự khuếch tán, liên quan trực tiếp đến chuyển động của các phân tử. Những hiện tượng này đóng vai trò là cơ sở thực nghiệm của lý thuyết động học phân tử. Lý thuyết về những hiện tượng này không được nghiên cứu ở trường. Do đó, ngay cả một câu hỏi rất quan trọng như vậy vẫn chưa rõ ràng - tại sao các phân tử có thể trộn lẫn với nhau ở những khoảng cách đáng kể trong quá trình khuếch tán? Rốt cuộc, chúng di chuyển hoàn toàn ngẫu nhiên, mọi hướng chuyển động đều bằng nhau đối với chúng và có vẻ như trong một khoảng thời gian dài, chúng thực sự phải ở gần như cùng một chỗ.

Lý thuyết chuyển động Brown được tạo ra bởi Albert Einstein. Nó có trong tác phẩm “Về chuyển động của các hạt lơ lửng trong chất lỏng đứng yên, theo yêu cầu của lý thuyết động học phân tử về nhiệt,” xuất bản năm 1905. Các nghiên cứu thực nghiệm được thực hiện ngay sau đó bởi nhà vật lý người Pháp Jean Perrin đã hoàn toàn xác nhận lý thuyết này, và cùng với nó là những ý tưởng của chúng ta về cấu trúc phân tử của vật chất.

Ở đây chúng tôi trình bày những cơ sở cơ bản của lý thuyết chuyển động Brown, mượn từ cuốn sách khoa học phổ thông của viện sĩ Abram Fedorovich Ioffe “Những khái niệm cơ bản về vật lý hoàn hảo”, do Nhà xuất bản Vật lý và Toán học Nhà nước xuất bản năm 1949.

Có bằng chứng trực tiếp về chuyển động nhiệt liên tục của các phân tử - cái gọi là chuyển động phân tử Brown. Trở lại năm 1827, English Brown đã nhận thấy trong các chế phẩm thực vật dưới microsome có sự chuyển động liên tục của các hạt nấm men nhỏ lơ lửng trong chất lỏng. Sau đó, hóa ra đặc tính này không chỉ giới hạn ở bản chất sống, mà bất kỳ hạt đủ nhỏ nào được đặt trong môi trường mà nó có thể di chuyển đều trải qua những chuyển động liên tục có tính chất ngẫu nhiên nhất. Nghiên cứu về hiện tượng này cho thấy không thể do các nguyên nhân thứ cấp, ví dụ như các dòng chảy phát sinh trong môi trường lỏng hoặc khí dưới tác động của các chuyển động không đồng đều.

21

sưởi ấm, điện khí hóa, chiếu sáng, v.v. Chuyển động này không hề dừng lại; nó liên quan chặt chẽ đến trạng thái nhiệt của chất lỏng: khi nhiệt độ ngày càng tăng, cường độ chuyển động Brown của không khí. Có thể coi là đã chứng minh rằng một cách hoàn hảo có sự chuyển động sống động, liên tục của các hạt nhỏ nhất, vì chỉ có chuyển động như vậy mới có khả năng truyền đạt những điểm di chuyển hạt được quan sát theo hướng này hay hướng khác.

Thật dễ dàng để biết tại sao cần có các hạt vi quang để phát hiện chuyển động nhiệt. Hơn nữa, trong một chất tương đối hiếm, ở dạng khí, trong điều kiện bình thường sẽ có 2,7 1019 phân tử trong mỗi cm khối; tất cả những phân tử này di chuyển với tốc độ rất lớn theo mọi hướng có thể. Do đó, số lượng cú sốc mà một vật thể có cùng kích thước phải trải qua lớn đến mức chúng ta không những không có thời gian để nhận thấy một cú sốc riêng lẻ mà còn không nhận thấy sự vượt trội ngẫu nhiên của các cú sốc theo một hướng so với các cú sốc theo hướng ngược lại. Cơ thể càng nhỏ thì càng chịu ít cú sốc và đối với các hạt bụi vi mô, số lượng cú sốc mà nó chịu không còn lớn đến mức ưu thế của các cú sốc từ hướng này hoặc hướng ngẫu nhiên khác là không đổi và hạt bụi bị ném từ bên này sang bên kia. Một hạt bụi như vậy sẽ chứa thêm hàng triệu phân tử nữa, nên chuyển động ngẫu nhiên của nó mà chúng ta nhìn thấy bản thân nó không phải là chuyển động phân tử; chúng ta không chỉ nhận thấy một phân tử đơn lẻ mà chỉ nhận thấy phần lớn các cú sốc theo một hướng nào đó; nhưng hạt bụi này là dấu hiệu chắc chắn về sự tồn tại của chuyển động phân tử, giống như hình ảnh một con tàu lắc lư trên biển cho thấy sự tồn tại của sóng.

Cơm. 1.

Để hiểu được các đặc điểm hỗn loạn của chuyển động Brown, hãy xem xét bản vẽ của Perrin, người đã nghiên cứu chi tiết hiện tượng này (Hình 1). Hình vẽ cho thấy vị trí của cùng một hạt trong trường microsoppal cứ sau 1/2 phút. Các đường nhận nối các vị trí này không tương ứng với đường đi thực tế của hạt trong suốt 1/2 phút. Ngược lại, hãy để hình ảnh giữa hai vị trí phức tạp và phức tạp như một bức vẽ cân nặng. Mỗi dấu vết của một hạt với một phân tử chất lỏng xung quanh sẽ thay đổi một chút hướng chuyển động của nó và có tới 1012 vệt như vậy trong vòng 1 giây. Chúng ta không thể mô tả đường đi thực tế của hạt; Tuy nhiên, ngay cả những vị trí quan sát được của hạt tại những thời điểm nhất định cũng đã bộc lộ những đặc điểm điển hình không xoắn của chuyển động nhiệt.

Đúng như dự đoán, cứ sau 1/2 phút, hạt được trộn sang phải, trái, lên hoặc xuống và về mặt trộn, vượt quá dự đoán về hướng trộn trong 1/2 phút tiếp theo. Là-

22

Sự khác biệt là khác nhau, nhưng phần lớn nó gần với một giá trị trung bình nào đó (khoảng 5 mm trong Hình 1). Sự sai lệch theo cả hai hướng trở nên ít thường xuyên hơn khi sự nhầm lẫn càng lệch khỏi mức trung bình. Ví dụ: có rất nhiều hỗn hợp ở 3 hoặc 8 mm, nhưng ít hơn nhiều ở 2 hoặc 12 mm và không có hỗn hợp nào ở 1 hoặc 20 mm được nhìn thấy trong 1/2 phút. Nếu chúng ta truy tìm không phải 200 hỗn hợp, như trong Hình 1, mà là hàng nghìn, như Peren đã làm, thì chúng ta sẽ gặp phải nhiều sự rút lui hơn, nhưng chúng sẽ rất ít.

Chúng ta có thể mô tả thuộc tính này bằng đồ họa (Hình 2), vẽ đồ thị giá trị trộn Δx trên trục abscissa và số trường hợp n trên trục tọa độ khi quan sát thấy một sự trộn nhất định Δx và chúng ta sẽ chia tất cả các giá trị có thể có của chúng thành các nhóm, ví dụ: trộn từ 0 đến 1 mm, từ 1 đến 2 mm, v.v. Biểu đồ sẽ hiển thị một giá trị tối đa nhất định là 5 mm. Từ đây đường cong sẽ giảm xuống 0 theo cả hai hướng. Sự điều chỉnh này xảy ra nhanh đến mức số trường hợp tương ứng với các hỗn hợp ở rất xa 5 mm hóa ra là nhỏ không đáng kể.

Chúng ta quen mô tả chuyển động của một hạt với tốc độ v, hiểu nó là tỉ số pha trộn trong một khoảng thời gian t nhất định với giá trị của khoảng thời gian này. Khi chuyển động thẳng đều thì nó tỉ lệ với thời gian. Khi chuyển động không đều, chúng ta có thể giảm dần khoảng thời gian t, thu được các giá trị ngày càng hội tụ và cuối cùng chuyển sang phần mở đầu của tỷ lệ này ở mức Δt nhỏ vô hạn. Tuy nhiên, phương pháp này hoàn toàn không thể áp dụng được với các quan sát được mô tả trong Hình 1.

Hãy chuyển từ trộn AB và BC (Hình 3) trong một khoảng thời gian, chẳng hạn như cứ sau 1/2 phút, sang trộn AC trong khoảng thời gian gấp đôi - 1 phút. Vì lần trộn BC thứ hai không bao giờ liên quan đến AB trước đó và có thể xảy ra với xác suất bằng nhau ở bất kỳ góc φ nào với nó nên tổng AC trộn trong 1 phút thường sẽ nhỏ hơn AB + BC và đôi khi có thể bằng 0 khi AB = BC và góc φ = 0. Như vậy, lần trộn trong 1 phút có thể lấy mọi giá trị từ AB + BC đến AB - BC tùy theo góc φ. Chúng ta không thể dự đoán kết quả của từng lần trộn riêng lẻ, nhưng bằng cách quan sát các lần trộn rất mạnh, chúng ta có thể thiết lập một số mối liên hệ giữa giá trị trung bình của quá trình trộn hạt trong 1/2 phút và giá trị trung bình của quá trình trộn của nó trong 1 phút.

Với mọi góc φ giữa AB và BC ta có AC2 = AB2 + BC2 - 2AB·BC·cos φ. Thay vì góc φ, bạn có thể nhập thêm góc α giữa BC và phần tiếp theo của đoạn thẳng AB:

cos φ = cos(180° - α) = — cos α,

cơm. 2.
cơm. 3.

23

bởi vì
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2AB \cdot BC \cdot \cos \alpha.$$ (1)

Quan sát chuyển động dài hạn của một hạt, chúng ta sẽ soạn cho mỗi cặp chuyển vị liên tiếp một phương trình tương tự như phương trình (1). Hãy cộng tất cả các phương trình này theo số hạng và chia cho số của các phương trình này. Sau đó chúng tôi nhận được

$$\frac{A_1C_1^2 + A_2C_2^2 + \cdots + A_nC_n^2}{n} = \frac{A_1B_1^2 + A_2B_2^2 + \cdots + A_nB_n^2}{n} + \frac{B_1C_1^2 + B_2C_2^2 + \cdots + B_nC_n^2}{n} + \frac{2}{n}(A_1B_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos \alpha_1 + A_2B_2 \cdot B_2C_2 \cdot \cos \alpha_2 + \cdots + A_nB_n \cdot B_nC_n \cdot \cos \alpha_n).$$ (1a)

Nếu chuyển động hoàn hảo thì tất cả các giá trị của góc $\alpha$ phải xảy ra như nhau. Các số hạng của số hạng cuối cùng, nhờ vào hệ số cos $\alpha_i$, các phần bằng nhau mang giá trị dương và âm, do đó tổng đại số của chúng, đồng thời toàn bộ số hạng cuối cùng, cực kỳ gần bằng 0. So với các số hạng còn lại, chỉ bao gồm các số hạng khẳng định, nó sẽ nhỏ đến mức bạn có thể lướt qua nó. Các thuật ngữ còn lại biểu thị mối quan hệ giữa giá trị trung bình của bình phương của tất cả các chuyển vị của bộ phận trong mỗi phút, mà chúng tôi ký hiệu là $(\Delta x_2)^2$, và giá trị trung bình của bình phương của các chuyển vị trong 1/2 phút (chúng tôi sẽ ký hiệu là $(\Delta x_1)^2)$. Phương trình (1a) sẽ được viết lại với các ký hiệu này như sau:
$$(\Delta x_2)^2 = 2(\Delta x_1)^2.$$
Theo cách tương tự, người ta có thể bị thuyết phục rằng độ dịch chuyển bình phương trung bình của phần $(\Delta x_3)^2$ trong khoảng thời gian gấp ba lần sẽ là
$(\Delta x_3)^2 = 3(\Delta x_1)^2.$

Chúng ta hãy biểu thị bằng $A, B, C, D, E, \ldots, Y, Z$ (Hình 4) các vị trí của hạt qua một chuỗi các khoảng thời gian liên tiếp và bằng nhau $\Delta t$ và tính xem trung bình hạt sẽ di chuyển ra khỏi vị trí ban đầu của nó tại điểm $A$ như thế nào do sự dịch chuyển $n$ theo thời gian $n\Delta t$.

Để loại bỏ hạt $AZ$ sau $n$ khoảng thời gian $\Delta t$ chúng ta thu được
$$AZ^2 = (AB^2 + BC^2 + CD^2 + \ldots + YZ^2) + (2AB \cdot BC \cdot \cos \alpha_1 + 2AC \cdot CD \cdot \cos \alpha_2 + \ldots + 2AY \cdot YZ \cdot \cos \alpha_n).$$

Tổng các số hạng trong biểu thức cho $AZ^2$, chứa đa thức cos $\alpha_1$, cos $\alpha_2$, …, cos $\alpha_n$, thường có thể có cả dấu dương và dấu âm, vì tất cả các giá trị của các góc $\alpha_i$ đều có giá trị như nhau. Vì vậy, khi lặp lại thí nghiệm, giá trị trung bình của tổng này sẽ càng gần 0 thì số đáp số càng lớn. Khi tính kết quả trung bình có thể so sánh với tổng các giá trị dương $AB^2, BC^2, \ldots, YZ^2$. Giá trị trung bình của các bình phương của mỗi offset rõ ràng sẽ giống nhau:

$$AB^2 = BC^2 = CD^2 = \ldots = YZ^2.$$

Chúng ta sẽ biểu thị chúng bằng $(\Delta x)^2$. Giá trị trung bình của bình phương tổng độ dịch chuyển $AZ$ sẽ lớn hơn $n$ lần.

Vì vậy, do sự dịch chuyển xaotic của hạt trong khoảng thời gian $n$ $\Delta t$, giá trị trung bình của hình vuông cuối cùng bị loại bỏ

24

hướng $L = AZ$ của nó theo bất kỳ hướng nào tính từ vị trí ban đầu sẽ được biểu thị bằng công thức:

$$\overline{L^2} = n(\Delta x)^2.$$

Chúng ta hãy biểu thị bằng $t$ khoảng thời gian của thử nghiệm trong đó $n$ lần đầu tiên $\Delta x$, thay đổi trong khoảng thời gian $\Delta t$, đã xảy ra. Sau đó

$$n = \frac{t}{\Delta t}, \quad \overline{L^2} = \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} t.$$

Trước hết, chúng ta hãy lưu ý rằng, bằng cách tham gia vào chuyển động hỗn loạn, trung bình một hạt sẽ di chuyển ra khỏi vị trí đầu tiên theo giá trị $L$, bình phương của hạt đó (chứ không phải chính giá trị $L$) tăng tỷ lệ với thời gian $t$.

Chúng tôi xác định độ dịch chuyển trung bình $L_0$ trong thời gian $t$ là $\sqrt{\overline{L^2}}$:

$$L_0 = \sqrt{\overline{L^2}} = \sqrt{\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}} \cdot \sqrt{t} = B \sqrt{t}.$$

Độ dịch chuyển trung bình $\sqrt{\overline{L^2}}$ có thể có bất kỳ hướng nào trong không gian với xác suất bằng nhau. Chúng ta có thể nói rằng một hạt ở điểm $A$ tại thời điểm ban đầu, sau $t$ giây, trung bình sẽ ở đâu đó gần bề mặt của một quả bóng có bán kính $R = B\sqrt{t}$. Bán kính của quả bóng này không tăng tỷ lệ với thời gian $t$ mà tỷ lệ với căn bậc hai của $t$. Giá trị được chỉ định của bán kính được xác định càng chính xác và càng tăng thì càng có nhiều giá trị riêng lẻ $\Delta x$ được đưa vào chuyển vị $L$ hoặc thí nghiệm được lặp lại thường xuyên hơn để tính giá trị trung bình $\overline{L^2}$.

Dễ dàng thấy rằng khái niệm vận tốc của hạt là tỉ số giữa chuyển động $L_0$ của hạt trong một khoảng thời gian nhất định với giá trị $t$ của khoảng này mất đi ý nghĩa đối với chuyển động hỗn loạn. Thật sự,

$$\frac{L_0}{t} = \frac{L_0}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} = \frac{B}{\sqrt{t}}.$$

Ngược lại với tốc độ

chuyển động tuyến tính của cơ thể, có xu hướng đạt đến một giới hạn nhất định $v$ khi khoảng thời gian $t$ giảm đi. Và chỉ khi $t$ trở nên nhỏ hơn thời gian giữa hai lần va chạm với các phân tử của môi trường thì chuyển động trong thời gian này mới có thể coi là liên tục và tốc độ của chuyển động này mới có thể được xác định một cách tổng quát.

Nếu chúng ta vẽ toàn bộ đường đi phức tạp của một hạt và chia tổng chiều dài của nó cho một khoảng thời gian, thì đây là tốc độ tương đối $\overline{v}$ của chuyển động nhiệt của hạt và giá trị $\frac{1}{2} \overline{mv^2}$ là động năng trung bình của các phân tử của môi trường

$$B = \frac{1}{3\pi\eta} \frac{1}{2} \overline{mv^2}.$$

(2)

(a là bán kính hạt, η là hệ số xác định tính lưu động của môi trường).

Giá trị $\frac{1}{2} \overline{mv^2}$ được tính từ phương trình (2), như thí nghiệm cho thấy, không phụ thuộc vào tính chất của môi trường, sự lựa chọn hạt hoặc các điều kiện khác của thí nghiệm, miễn là nó được thực hiện ở nhiệt độ không đổi. Bằng cách quan sát chuyển động Brown của một hạt ở các nhiệt độ khác nhau, người ta có thể thiết lập mối liên hệ trực tiếp giữa động năng trung bình $\frac{1}{2} \overline{mv^2}$ và nhiệt độ tuyệt đối $T$:

$$\frac{1}{2} \overline{mv^2} = \frac{3}{2} kT,$$

trong đó $k$ là hằng số phổ quát, giống nhau đối với mọi chất và ở mọi trạng thái. Hằng số $k$ được gọi là hằng số Boltzmann.