Công thức và hình học Cardano

Công thức và hình học Cardano

Bạn đã quen với cách sử dụng các hệ số của phương trình bậc hai $x^2+px+q=0$ để xác định xem nó có bao nhiêu nghiệm thực. Nếu $p^2-4q\gt0$ thì có hai nghiệm, nếu $p^2-4q=0$ thì có một nghiệm, và cuối cùng, nếu $p^2-4q\lt0$ thì không có nghiệm nào.

Trong vấn đề này, điều kiện tương tự được rút ra cho phương trình bậc ba $x^3+px+q=0$. Sử dụng điều kiện này, bạn có thể nhận được một bất đẳng thức thông minh nối các phần tử của một tam giác tùy ý. Đây là cách nó được thực hiện.

Cho $ABC$ là một tam giác có các cạnh $a$, $b$, $c$; $p$ là bán chu vi, $S$ là diện tích của nó và $R$, $r$, $r_a$, $r_b$, $r_c$ là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và ngoại tiếp. Hóa ra các mối quan hệ sau đây là đúng:
$$r_a+r_b+r_c=4R+r,\quad r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=p^2,\quad r_ar_br_c=pS.\tag1$$

Đẳng thức (1) có nghĩa là các số $r_a$, $r_b$, $r_c$ là nghiệm của phương trình bậc ba sau:
$$x^3-(4R+r)x^2+p^2x-pS=0.\tag2$$
Điều này xuất phát từ thực tế là $r_a$, $r_b$, $r_c$ là nghiệm của đa thức
$$(x-r_a)(x-r_b)(x-r_c)=x^3-(r_a+r_b+r_c)x^2+(r_ar_b+r_br_c+r_cr_a)a-r_ar_br_c.$$

Sau khi viết phương trình (2) điều kiện cho tính đúng của cả ba nghiệm của nó, sau khi biến đổi đơn giản và sử dụng công thức $S=pr$, chúng ta đi đến bất đẳng thức sau:
$$[p^2-(2R^2+10Rr-r^2)]^2\le4R(R-2r)^3.\tag3$$
Từ (3) suy ra $$R\ge2r\tag4$$
và cái gì $$|p^2-(2R^2+10Rr-r^2)|\le2\sqrt{R(R-2r)^3}.\tag5$$
Sự bình đẳng ở (3) và (5) đạt được khi hai trong số các số $r_a$, $r_b$, $r_c$ bằng nhau, tức là khi tam giác cân.

Bài tập

1. Chứng minh công thức (1). Để thực hiện việc này, hãy in các biểu thức sau cho $S$:
   $$S=rp=r_a(p-a)=r_b(p-b)=r_c(p-c)=\dfrac{abc}{4R}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$
2. Tìm điều kiện để đạt được đẳng thức trong (4).
3. Chứng minh rằng $16Rr-5r^2\le p^2\le4R^2+4Rr+3r^2$.
4. Xét xem tam giác cân nào có số $p^2-(2R^2+10Rr-r^2)$ không âm.