Sáu con thỏ trong năm cái lồng

17

vòng tròn toán học

V. Boltyansky

Sáu con thỏ trong năm cái lồng

“Chà, thỏ rừng, đợi một chút!”
Sói

Đồng ý rằng nếu bạn được phép đặt không quá một con thỏ rừng vào mỗi ô, thì bạn sẽ không thể đặt sáu con thỏ rừng vào năm ô và nói chung, với bất kỳ n tự nhiên nào, bạn sẽ không thể đặt n + 1 con thỏ rừng vào n ô. Chúng ta có thể nói cách khác: nếu n ô chứa n + 1 con thỏ trở lên thì chúng ta sẽ tìm thấy một ô chứa ít nhất hai con thỏ.

Chúng ta hãy biểu thị thỏ rừng bằng các ký hiệu p₁, …, pₙ+1 và các ô bằng q₁, …, qₙ. thì mỗi cách đặt thỏ vào ô có thể được coi là một ánh xạ nhất định (Hình 1) của tập P = {p₁, …, pₙ+1} vào tập Q = {q₁, …, qₙ}: thỏ pᵢ ∈ P được liên kết (dưới dạng “hình ảnh” của nó) với ô qᵢ ∈ Q mà con thỏ này nằm trong đó. Như vậy, phát biểu trên về thỏ rừng trong lồng có ý nghĩa toán học như sau: đối với mọi ánh xạ tập P chứa n + 1 phần tử vào tập Q chứa n phần tử thì có hai phần tử của tập P có cùng một ảnh.

Tuyên bố này được gọi là nguyên tắc Dirichlet*). Chứng minh khá dễ dàng bằng phương pháp quy nạp toán học. Theo một truyền thống bất thành văn, các nhà toán học trên toàn thế giới, khi xem xét nguyên lý Dirichlet, giải thích ý nghĩa của nó không phải bằng ngôn ngữ của tập hợp và ánh xạ, cũng không phải bằng bất kỳ đối tượng nào khác, cụ thể là bằng thỏ rừng và ô.

Nguyên lý Dirichlet, mặc dù đơn giản và tuyệt vời, nhưng lại rất thường được sử dụng trong việc chứng minh các định lý và lời giải bài toán.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu đường thẳng l nằm trong mặt phẳng của tam giác ABC không đi qua bất kỳ điểm nào.

*) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) - nhà toán học kiệt xuất người Đức; Ông sở hữu những công trình cơ bản về lý thuyết số và các lĩnh vực toán học khác.

Hình 1.

20

Chúng ta sẽ tìm được bao nhiêu số hạng tiếp theo của dãy số không phải là số nguyên tố, v.v.

Ví dụ 6. Cho $p$ và $q$ là các số tự nhiên, viết số hữu tỷ $\frac{p}{q}$ dưới dạng số thập phân vô hạn. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng mô hình của phân số này nhất thiết phải có tính tuần hoàn.

Bằng chứng của thực tế này (nó không được xem xét trong trường học) có thể dễ dàng thu được bằng cách sử dụng lý do Dirichlet. Khi chia $p: q$ theo kiểu “cột”, sẽ luôn thu được số dư từ 0 (nếu không thì số $\frac{p}{q}$ sẽ không được viết dưới dạng phân số thập phân vô hạn). Như vậy, mỗi lần tìm thấy chữ số tiếp theo của thương số, số dư sẽ là một trong các số 1, 2, …, $q-1$). Chúng tôi sẽ coi các giá trị có thể có này của phần còn lại là “ô”, do đó có tổng cộng $q-1$ “ô”. “Thỏ rừng” chúng ta sẽ xem xét số dư thực sự thu được sau khi chúng ta loại bỏ chữ số có nghĩa cuối cùng của số bị chia (Hình 4). Hãy xem xét $q$ “thỏ rừng” đầu tiên (1 lớn hơn số lượng “ô”). Mỗi “thỏ rừng” kết thúc trong một “ô” nào đó - mỗi số dư bằng một trong các số 1, 2, …, $q-1$. Vì lý do Dirichlet mà có hai “thỏ rừng” cùng chung một “chiếc lồng”. Nói cách khác, trong các số 1, 2, …, $q$ ta có thể chọn hai số $i, j$ sao cho số dư thứ $i$ và thứ $j$ (sau khi đã loại bỏ chữ số có nghĩa cuối cùng