Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

54

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Trong số này, chúng tôi xuất bản các mẫu phiên bản của bài kiểm tra viết môn toán và bài kiểm tra miệng bài toán trong vật lý, được tổ chức tại Đại học quốc gia Moscow thuộc Khoa Cơ và Toán, Khoa Toán tính toán và Điều khiển học và Khoa Vật lý năm 1976.

Toán học

Khoa Cơ học và Toán học

1. Giải phương trình
   $$\log_{\sin(-x)} \left( \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{3x}{2} \right) = 1.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{7}{9^x} - 2 \geq \frac{2}{3^x} - 1.$$

3. Trong tam giác $ABC$ ($\widehat{C} = 90^\circ$; $\widehat{B} = 30^\circ$, $|CA| = 1$) đường trung tuyến $CD$ được vẽ. Ngoài ra, một đường thẳng được vẽ từ điểm $D$ nghiêng một góc $15^\circ$ đến cạnh huyền, cắt đoạn $BC$ tại điểm $F$. Tìm mặt phẳng của tam giác $CDF$. Cho biết giá trị gần đúng của nó dưới dạng phân số thập phân với độ chính xác 0,01.

4. Ba quả bóng, trong đó có hai quả giống hệt nhau, chạm vào mặt phẳng $P$ và ngoài ra, chạm vào nhau theo cặp. Đỉnh của hình nón tròn vuông thuộc mặt phẳng $P$ và trục của hình nón vuông góc với mặt phẳng này. Cả ba quả bóng đều nằm trong một hình nón và mỗi quả bóng chạm vào một số đường sinh của hình nón. Tìm cosin của góc giữa đường sinh của hình nón và mặt phẳng $P$, nếu biết rằng trong một tam giác có các đỉnh tại điểm tiếp xúc của các quả cầu với mặt phẳng $P$ thì đỉnh của một trong các góc bằng $150^\circ$.

5. Các số $r$, $s$, $t$ sao cho $r < s < t$. Ngoài ra, người ta biết rằng sau khi thay từng số trong ba số $r$, $s$, $t$ cùng với $y$ vào đẳng thức
   $$x^2 - (9 - y)x + y^2 - 9y_r + 15 = 0$$
   ít nhất một trong hai số còn lại sẽ nằm trong số các nghiệm của phương trình bậc hai thu được. Chứng minh rằng $-1 < r < 1$.

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Cho: một hình bình hành có các cạnh bằng $\sqrt{19}$ và $\sqrt{2}/6$ và một góc $45^\circ$ giữa chúng và một hình vuông có các cạnh bằng $3\sqrt{2}/5$. Xác định cái nào lớn hơn: diện tích hình bình hành hay diện tích hình vuông.

2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 7^y \cdot \log_5 x = -2, \\ 4 \cdot 7^y + \log_5 x = 2. \end{cases}$$

3. Giải phương trình
   $$\sqrt{2 + \text{ctg} x - \sin^2 x} - \sqrt{\frac{4}{17} - \sin^2 x} = \sqrt{\frac{30}{17} + \text{ctg} x}.$$

4. Trên một mặt phẳng cho trước có hai đường tròn cắt nhau. Cái đầu tiên có tâm ở $N_1$ và bán kính bằng $5\sqrt{2}$; thứ hai tại điểm $N_2$ và bán kính bằng 8. Đoạn $N_1N_2$ cắt cả hai đường tròn và giá trị của góc $FN_2N_1$, trong đó $F$ là một trong những điểm giao nhau của các đường tròn, bằng $45^\circ$. Đỉnh $L$ của tam giác vuông $KLM$ là giao điểm của đường tròn thứ nhất và đoạn $N_1N_2$, cạnh $KM$ là dây cung của đường tròn thứ hai vuông góc với đường thẳng đi qua các điểm $N_1$ và $N_2$. Tìm các cạnh của tam giác $KLM$ nếu biết rằng $|KL| > 8$.

5. Tìm tất cả các số dương $a$ tồn tại vô số số $x$ và $y$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
   $$18x^2 + \frac{3}{2}(1 - a)(x^3 + 9x) - \frac{1}{8}a(x^2 + 9)^2 \leq 0,$$
   $$\frac{6x}{x^2 + 9} = \frac{1}{9y} + \frac{ay}{3} + \frac{a}{6},$$
   $$y > 0.$$

Khoa Vật lý

1. Giải phương trình
   $$1 - 2\sqrt{2}\cos^3 3x + \cos 6x = 0.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{\sqrt{3}}(4 - x) < 4 + 2\log_3(x + 3).$$

3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \frac{x - 2y}{2} + \frac{x - 2y}{4} = 20, \\ \frac{x}{2} + 4 - \frac{y}{2} = 10. \end{cases}$$

4. Trong một tam giác $KLM$ có tất cả các cạnh phân biệt, các bisertis của góc $KLM$ cắt cạnh $KM$ tại điểm $N$. Qua điểm $N$ vẽ một đường thẳng cắt cạnh $LM$ tại điểm $A$ sao cho $|MN| = |AM|$.

55

Được biết, $|LN|=a, |KL|+|KN|=b$. Tìm độ dài của đoạn $AL$.

5. Tất cả các góc phẳng của góc tam diện $SPQR$ ($S$ là đỉnh) đều là góc vuông. Trên mặt $PQS$, một điểm $A$ được lấy cách cạnh $QS$ 12 và cách cạnh $PS$ 5. Từ một điểm nhất định $T$, nằm bên trong góc tam diện $SPQR$, một tia sáng hướng tới điểm $A$. Nó tạo thành một góc $\pi/4$ với cạnh $RS$ và một góc $\pi/3$ với cạnh $PS$. Chùm tia bị phản xạ đặc biệt từ các mặt có góc $SPQR$, đầu tiên tại điểm $A$, sau đó tại điểm $B$, sau đó tại điểm $C$. Tìm độ dài của đoạn $BC$.

Vật lý

Khoa Cơ học và Toán học và Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Hai vật có khối lượng $m_1=100$ e và $m_2=600$ e được nối với nhau bằng một sợi dây không trọng lượng và một hệ khối (Hình 1). Một đầu của sợi được cố định cố định. Một vật có khối lượng $m_1$ trượt dọc theo một mặt phẳng nghiêng tạo một góc $\alpha=30^\circ$ với đường chân trời. Xác định gia tốc $a_2$ của một vật có khối lượng $m_2$. Bỏ qua lực căng và khối lượng của vật.

2. Các quả bóng có khối lượng bằng nhau được gắn vào hai đầu của một sợi dây có chiều dài $l=0,2$ m, theo tâm vuông góc. Dây được treo một góc trên đinh $A$ (Hình 2), sau đó bị lệch sao cho một chân của dây nằm ngang và chân kia thẳng đứng, và được thả ra mà không cần dùng lực đẩy. Tìm mô hình vận tốc của quả bóng khi đi qua vị trí cân bằng. Dây được coi là cứng và không trọng lượng. Bỏ bê việc đào tạo.

3. Một sợi chỉ quấn trên ống chỉ được buộc vào một chiếc đinh đóng vào tường. Cuộn dây treo chạm vào tường, như trong Hình 3, và sợi chỉ tạo một góc $\alpha=30^\circ$ với tường. Bán kính của trục cuộn dây là $r=1$ cm, bán kính cổ của nó là $R=10$ cm. Tìm giá trị nhỏ nhất của hệ số ma sát $\mu$ giữa tường và khung dây.

4. Trên hình trụ của bộ điều hướng, phần cuối của nó được cố định ở điểm trên cùng của mặt phẳng nghiêng. Hình trụ nằm trên một mặt phẳng nghiêng, như trong Hình 4, với hướng chuyển động nằm ngang. Khối lượng xi lanh $m=10$ kts. Tìm mô hình lực $\vec{F}$ của áp suất của hình trụ lên mặt phẳng.

5. Ở giữa hình trụ, đóng kín hai đầu và cố định một góc $\alpha=30^\circ$ so với đường chân trời có một piston có khối lượng $m=1$ kts (Hình 5). Diện tích pít-tông $S=10$ cm². Áp suất không khí bên dưới và bên trên piston là như nhau và bằng $p=1,5 \cdot 10^4$ h/m2. Piston sẽ chuyển động với gia tốc ban đầu bằng bao nhiêu nếu lần đầu tiên nó chuyển động chậm, tăng thể tích bên dưới nó lên $n=1,5$ lần, rồi thả ra? Bỏ bê việc đào tạo.

6. Với tải nhỏ cùng điện tích, quả bóng cân bằng trên hai mặt phẳng nhẵn không dẫn điện nghiêng bằng nhau về phía chân trời, nằm ở các đỉnh của một tam giác đều (Hình 6). Điện tích của quả bóng 1 và 2 bằng nhau và gấp đôi điện tích của quả bóng 3. Tìm tỉ số khối lượng của quả bóng thứ hai và thứ ba.

7. Dọc theo hai thanh kim loại song song, cách nhau một khoảng $l=20$ cm, một dây dẫn vuông góc với các thanh kim loại chuyển động với tốc độ không đổi $|v|=6$ m/giây (Hình 7). Các thanh này được kết nối với một pin gồm hai tụ điện, có điện dung là $C_1=4$ µF và $C_2=6$ µF. Mọi thứ về

56

Hình 7. Hình 8. Hình 9.

Các dây dẫn nước được đặt trong cùng một mặt phẳng và nằm trong từ trường không đổi, cảm ứng của nó hướng vuông góc với mặt phẳng của đường viền được tạo thành bởi các dây dẫn và $|\vec{B}|=1$ ml. Tìm điện áp $U_1$ giữa các bản của tụ điện có điện dung $C_1$.

8. Điểm nằm trên trục quang của đường này và cách đường đó $d=40$ cm. Tiêu cự của đường thẳng là $F=10$ cm. Điểm đã di chuyển một khoảng $L=5$ cm trong mặt phẳng vuông góc với trục quang học. Các đường thẳng phải di chuyển ở khoảng cách nào $l$ để ảnh của điểm xuất hiện ở vị trí ban đầu?

9. Màn trập máy ảnh nên cung cấp tốc độ màn trập bao nhiêu khi quay phim một cú nhảy, nếu cú ​​nhảy được thực hiện từ một tòa tháp có độ cao $h=10$ m và hình ảnh dịch chuyển sang vị trí âm là $\Delta l=0,1$ mm? Nhiếp ảnh gia được bố trí ở rìa hồ bơi, cách địa điểm lặn $a=15$ m. Tiêu cự của ống kính máy ảnh là $F=15$ cm. Bỏ qua sức cản của không khí.

10. Mặt phẳng của một đường lõm phẳng có tiêu cự $|F|=3$ cm nằm ở chính giữa. Ở khoảng cách $d=6$ cm so với đường trên trục quang của nó ở phía bề mặt lõm có một nguồn sáng chính xác. Tìm khoảng cách $l$ giữa nguồn và ảnh của nó.

Khoa Vật lý

1. Một tên lửa được phóng theo phương thẳng đứng từ mặt đất sẽ chuyển động với gia tốc không đổi $2|\vec{g}|$ trong $t=50$ giây. Sau đó, hành động này ngay lập tức bị tắt. Xác định độ cao nâng tối đa của tên lửa. Bỏ qua lực cản đối với gia tốc. Giả sử rằng $|\vec{g}|=10$ m/giây².

2. Một vật nhỏ có khối lượng $m$ rơi tự do từ độ cao $h$, rơi vào giữa một tấm ván có khối lượng đồng nhất $M$ và ngay lập tức nổi lên đó (Hình 8). Tấm ván nằm ngang khi nhảy, hệ số đàn hồi là $k$. Xác định cuộn tối đa (nghĩa là thay đổi độ dài) của bước nhảy. Bỏ qua khối lượng của bước nhảy.

3. Một vật nhỏ $M$ bắt đầu trượt không vận tốc ban đầu tính từ điểm trên cùng của mặt phẳng nghiêng. mặt phẳng nghiêng được gắn trên một bàn nằm ngang như Hình 9 và có chiều cao $H$ và góc nghiêng $\alpha$. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng là $\mu$. Ở khoảng cách theo phương ngang bao nhiêu tính từ đầu dưới $A$ của mặt phẳng nghiêng thì vật sẽ rơi xuống sàn nếu chiều cao của bàn là $h$?

4. Cần bao nhiêu than để vận chuyển một đoàn tàu đi quãng đường $L=100$ km, nếu cáp kéo kéo với lực $|\vec{F}|=80$ kn, và một tàu kéo không có đoàn tàu có cùng tốc độ chuyển động cao hơn $n=4$ lần, thả cùng một lượng than mỗi giờ? Giả sử lực cản nước tỷ lệ thuận với tốc độ. Hiệu quả lưu thông tàu $\eta=10\%$. Thông báo loại bỏ than $q=7000$ kcal/kg.

5. Bể thép chứa không khí nghiêng ở nhiệt độ $t_1=-23^\circ\text{C}$. Có van an toàn trên bình. Van mở nếu áp suất trong bể tăng thêm 2 ampe. Khi bể được làm nóng đến $t_2=27^\circ\text{C}$, 10% khối lượng khí thoát ra khỏi nó. Áp suất khí ban đầu trong bình là bao nhiêu? Bỏ qua sự phân bố của bể chứa.

6. Trong hai tập có $N_1=10^{19}$ trong một và $N_2=4 \cdot 10^{18}$ phân tử của cùng một loại khí trong tập kia. Các khối được đưa vào tiếp xúc nhiệt. Ở trạng thái ban đầu, nội năng của khí thứ nhất lớn hơn $W=1,9$ J so với nội năng của khí thứ hai. Ở trạng thái ổn định, năng lượng trung bình trên mỗi phần của một phân tử trong thể tích đầu tiên giảm 25%. Nội năng của khí ở thể tích thứ nhất là bao nhiêu? Khí được coi là lý tưởng. Bỏ qua sự trao đổi chất của cơ thể với các vật thể xung quanh.

7. Một bình thủy tinh hình khối ở nhiệt độ $t$ chứa đầy chất lỏng có trọng lượng $\mathcal{P}$. Khi bình được làm nóng đến nhiệt độ $t_1$, một phần chất lỏng chảy ra ngoài và trọng lượng của nó bằng $\mathcal{P}_1$. Xác định hệ số phân bố thể tích thủy tinh là $\beta$.

8. Trong mạch như hình 10, $\mathcal{E}_1=1$v, $\mathcal{E}_2=2$v, $C_1=10$ µF, $C_2=20$ µF. Tìm điện tích trên các bản tụ $C_2$ nếu điện tích trên các bản tụ $C_1$ bằng $Q_1=10^{-5}$ k.

9. Từ nguồn có điện áp 110 V cần truyền công suất hữu ích 5 kcal trên một khoảng cách nhất định. Điện trở tối đa mà đường dây truyền tải điện có thể có là bao nhiêu để năng lượng trong đó không vượt quá 10% công suất hữu ích tiêu thụ?