Bài toán về vật lồi

30

S. Pukhov

Vấn đề
về vật thể lồi

Ghi chú này được dành riêng cho lời giải bài toán M380, được xuất bản trên “Zadchina «Kvant»” (xem số 3, 1976). Chúng ta hãy nhớ lại công thức của nó.

a) Có một hình lồi trên mặt phẳng đáy và bên trong nó có một điểm O. Với mỗi đường thẳng l đi qua điểm O, vẽ lại một phân phối lại tại điểm O và trên đó, trên cả hai phía của điểm O, có hai đoạn thẳng có độ dài bằng độ dài của đoạn thu được khi hình này cắt đường thẳng l. Hợp của tất cả các đoạn này là một hình mới có tâm đối xứng O. Hình thu được có lồi không?

b) Cho một vị trí lồi đối xứng tâm có tâm O trong không gian. Đối với mỗi mặt phẳng α đi qua điểm O, một phân bố lại được vẽ tại điểm O và hai đoạn thẳng được đặt trên đó ở cả hai phía của điểm O này, độ dài của chúng bằng diện tích mặt cắt của vị trí đã cho theo mặt phẳng α. Hợp của tất cả các đoạn này là một vị trí mới có cùng tâm đối xứng O. Chứng minh rằng vị trí thu được có thể lồi.

Bình luận. Trong nhiệm vụ b) giả định rằng một số đơn vị là cố định. Sau đó đơn vị diện tích được xác định tự động. Và quá trình đặt các đoạn nên được hiểu như sau: đoạn chứa số đơn vị chiều dài bằng số đơn vị diện tích mà phần được xác định lại chứa.

Ở đây chúng tôi sẽ không định nghĩa tập lồi, thân, hình là gì, cũng như không liệt kê các tính chất của tập lồi - tất cả những khái niệm này đều được đưa vào khóa học hình học ở trường và chúng có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa ở trường. Ngoài ra, chúng tôi sẽ không đưa ra một định nghĩa chặt chẽ về diện tích. Hóa ra là bất kỳ hình phẳng lồi nào cũng có diện tích giống như hình tam giác, hình vuông hoặc hình tròn có diện tích. Bạn có thể đọc chi tiết về điều này, chẳng hạn như trong Bách khoa toàn thư về Toán tiểu học, Tập V, các bài báo của V. A. Rokhli và về “Diện tích và Thể tích”, hoặc trong cuốn sách “Vòng tròn và quả bóng” của V. Blyashke. Nói chung, đã có nhiều cuốn sách thú vị viết về tập lồi. Một số trong số chúng được đề cập ở cuối ghi chú.

Vì vậy, hãy cùng học cách giải bài toán M380.

Phủ định đáp số đối với câu hỏi đặt ra trong nhiệm vụ a) đưa ra ví dụ sau.

Xét một tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm O (Hình 1). Đặt $|AO| = |BO| = |CO| = \sqrt{2}$ và $|DO| = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Hãy bắt đầu thực hiện việc xây dựng được mô tả ở điểm a). Trên các tia OB và OC, vẽ các đoạn OP1 và OP2, các đoạn AC và BD lần lượt bằng nhau; điểm P1 và P2 là điểm của tập hợp mới. Trên bisketris của góc BOC, vẽ đoạn OP bằng đoạn EF (nằm trên bisketris của các góc AOB và COD).

Hình 1.

31

Hãy chứng minh rằng đoạn $OP$ không cắt đoạn $P_1P_2$. Vì $P$ là điểm biên của hình mới nên hình mới sẽ không lồi.

Ta hãy biểu thị giao điểm của đường nhị phân của góc $BOC$ với đoạn $P_1P_2$ là $Q$ ($Q \in [P_1P_2]$). Chúng ta cần chứng minh rằng đoạn $OP$ ngắn hơn đoạn $OQ$, tức là $|OP| < |OQ|$.

Không khó để tính $|OE| = 1$, $|OF| = \frac{2}{3}$, tức là $|EF| = |OP| = \frac{5}{3}$. Nhưng $|OQ| = \frac{12}{7}$ (tự mình thực hiện tất cả các phép tính). Vì $\frac{5}{3} < \frac{12}{7}$, chúng ta thu được $|OP| < |OQ|$, tức là hình mới thu được từ tứ giác mà chúng ta đã chọn $ABCD$ theo “resith” được mô tả trong bài toán a), thực sự là không lồi.

Ở bên phải. Chứng minh rằng hình thu được từ tứ giác mà chúng ta đã chọn, không phải là hình bình hành, trong đó giao điểm của các đường chéo của nó được lấy là điểm $O$, cũng không lồi.

Bây giờ chúng ta tiến hành chứng minh khẳng định ở đoạn 6) bài toán. Để thuận tiện, chúng ta hãy biểu thị phần thân mới bằng chữ cái $V$ và phần thân mà từ đó nó có được bằng chữ cái $W$.

Chúng ta sẽ nói rằng điểm biên $P$ của thân mới $V$ tương ứng với tiết diện $\omega$ của thân cũ $W$ theo mặt phẳng $\alpha$ đi qua tâm đối xứng $O$, nếu đoạn $OP$ vuông góc với mặt phẳng $\alpha$ và độ dài của nó bằng diện tích tiết diện $\omega$: $|OP| = S_\omega$. Mỗi phần tương ứng với hai điểm đối xứng với $O$; do đó, phần thân mới $V$ cũng đối xứng với điểm $O$.

Vì phần thân $V$ được hình thành bởi tập hợp các đoạn “nhô ra” từ tâm $O$, nên độ lồi của nó sẽ xuất phát từ thực tế là, cùng với hai ranh giới bất kỳ của phần thân $W$, phần thân $V$ cũng thuộc về toàn bộ đoạn $P_1P_2$ (nghĩ mà xem).

Vì vậy, hãy để các điểm $P_1$ và $P_2$ của cơ thể $V$ tương ứng với hai phần khác nhau $\omega_1$ và $\omega_2$ của cơ thể $W$ bởi các mặt phẳng $\alpha_1$ và $\alpha_2$ đi qua tâm đối xứng $O$. Đặt $Q$ là một điểm bên trong tùy ý của đoạn $P_1P_2$. Cần phải chứng minh rằng $Q \in V$. Chúng ta vẽ qua $O$ một mặt phẳng vuông góc với đoạn $OQ$ và đặt $P$ là một điểm nằm trên tia $OQ$, tương ứng với tiết diện $\omega$ của vật $W$ theo mặt phẳng $\alpha$. Rõ ràng, điểm $Q$ sẽ thuộc về phần thân $V$ khi và chỉ khi $|OQ| \leq |OP|$. Do đó, lời giải bài toán 6) rút gọn về việc chứng minh bất đẳng thức này. Chúng ta hãy đi qua nó trong một vài bước.

1. Chúng ta chiếu (trực giao) các phần $\omega_1$, $\omega_2$ và $\omega$ lên mặt phẳng đi qua các điểm $O$, $P_1$ và $P_2$ (mặt phẳng Hình 2); sau đó các phần $\omega$, $\omega_1$ và $\omega_2$ chuyển thành các phân đoạn. Đặt $[B_1C_1]$, $[B_2C_2]$ và $[BC]$ là các phân đoạn này.

Lưu ý rằng các tia màu trong hình thu được từ các tia đỏ bằng cách quay 90° quanh điểm $O$ và các đoạn dài màu đỏ $OP_1$, $OP_2$ và $OP$ lần lượt bằng diện tích của các phần $\omega_1$, $\omega_2$ và $\omega$. Dưới đây, sử dụng độ lồi của phần thân $W$ và nguyên lý Cavalieri *), chúng ta sẽ rút ra được sự tương ứng.

*) Bonaventura Cavalieri (1598-1647) - nhà toán học nổi tiếng người Ý. Nguyên tắc của nó đã được thảo luận trong «Kvant»—xem. Số 6 cho năm 1972 và số 8 cho năm 1975. Các nguyên tắc của Cavalieri cũng có trong sách giáo khoa của trường - xem. “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 10”, tr. 98.

32

Hình 3.

mang theo mặt phẳng của các mặt cắt này, từ đó suy ra đoạn OP cắt đoạn $P_1P_2$.

Rõ ràng là các mặt phẳng $\omega$, $\omega_1$ và $\omega_2$ cắt nhau dọc theo một đoạn chung $O_1O_2$ (Hình 3). Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng đi qua các điểm $B_1$ và $B_2$ song song với đoạn này; Hãy gọi nó là $\alpha''$. Bất kỳ mặt phẳng nào song song với $\alpha''$ cắt các phần $\omega_1$, $\omega_2$ và $\omega$ dọc theo các đoạn song song $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta$ (xem Hình 3) và nếu bạn trộn $\alpha''$ song song với chính nó thì các đoạn $\Delta_1$ sẽ cạn kiệt tất cả các phần $\omega_1$, các đoạn $\Delta_2$ sẽ dùng hết tất cả các phần $\omega_2$, và các đoạn $\Delta$ (xem Hình 3) sẽ dùng hết phần $\omega$ của phần $\omega$. Hơn nữa, tỷ lệ trong đó đoạn $\Delta$ chia các cạnh của hình thang với các đáy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là như nhau đối với tất cả các mặt phẳng $\alpha''$; hãy đặt nó bằng $\mu: \lambda$, trong đó $\mu + \lambda = 1$ - xem Hình 4, a. Hãy giải thích tại sao lại như vậy. Hãy chiếu tất cả các phần của chúng ta lên một mặt phẳng đi qua tâm $O$, vuông góc với đoạn ku $O_1O_2$; chúng ta có được hình ảnh như trong Hình 4, b. Các phần $\omega$, $\omega_1$ và $\omega_2$ tương ứng với các đoạn được tô màu, họ mặt phẳng $\alpha''$ tương ứng với họ các đường thẳng song song $l''$ và mỗi đoạn trem $\Delta_1$, $\Delta_2$ và $\Delta$ là ba điểm nằm trên một trong các đoạn thẳng của họ $l''$. Rõ ràng là tất cả các trung điểm (tương ứng chung với các đoạn $\Delta$) chia từng đoạn được bao bọc giữa các cạnh bằng các đường thẳng (hình chiếu của các đoạn $\omega_1$ và $\omega_2$) theo cùng một tỷ lệ.

2. Bây giờ chúng ta xét mặt phẳng $\alpha'$ đi qua đoạn $O_1O_2$ và vuông góc với các mặt phẳng $\alpha''$. Hãy chiếu các phần $\omega_1$, $\omega_2$ và $\omega$ lên $\alpha'$. Do lựa chọn mặt phẳng $\alpha''$, hình chiếu của các phần $\omega_1$ và $\omega_2$ ($np. \omega_1$ và $np. \omega_2$) lên mặt phẳng $\alpha'$ có ​​cùng độ cao (Hình 5). Các đoạn $\Delta_1$ và $\Delta_2$ được chiếu thành các đoạn nằm trên cùng một đường thẳng, không bị biến dạng về chiều dài. Dễ thấy $|\Delta| \geqslant \lambda |\Delta_1| + \mu |\Delta_2|$ (vì $\lambda |\Delta_1| + +\mu |\Delta_2|$ là đường thẳng của đoạn $\Delta$, song song với hai đáy của hình thang có chiều dài $|\Delta_1|$ và $|\Delta_2|$, chia các cạnh so với $\mu: \lambda$ và nằm bên trong hình thang, còn đoạn $\Delta$ không ngắn hơn, đi từ thân độ lồi $W$).

Bây giờ chúng tôi phát triển các hình chiếu của các phần $\omega_1$ và $\omega_2$ (trong mặt phẳng $\alpha'$) dọc theo đường thẳng nơi đặt đáy chung của chúng - xem Hình 6; nó chỉ hiển thị nửa trên của hình chiếu, song song với $W$ đối xứng ở giữa. Trong khoảng thời gian giữa các phép chiếu “đã phát triển” này, chúng ta sẽ vẽ một hình khác trong đó:

a) chiều cao giống như đối với $np. \omega_1$ và $np. \omega_2$;

33

6. cơ sở giống như $np.\omega_1$, $np.\omega_2$;
   c) nếu $a$ và $b$ là độ dài của các đoạn do giao điểm của $np.\omega_1$ và $np.\omega_2$ của một đường thẳng nào đó song song với đáy thì độ dài đoạn giao nhau của đường thẳng này với hình mới là $\lambda a + \mu b$ ($\lambda$ và $\mu$ là những đoạn đã đề cập ở trên).

3. Bây giờ chúng ta thử tìm hiểu xem diện tích của các hình chiếu $\omega_1$, $\omega_2$ và hình mới có liên quan với nhau như thế nào và diện tích của hình mới có liên quan như thế nào với diện tích hình chiếu của phần $\omega$. Để làm điều này, chúng ta cần ba tính chất của diện tích (chúng ta sẽ không chứng minh chúng vì chúng ta không định nghĩa chính xác diện tích).

Tài sản đầu tiên là Cavalieri prizzit. Prisicite Cavalieri phát biểu rằng nếu hai hình nằm trong cùng một mặt phẳng có đặc tính là bất kỳ đường thẳng nào song song với một đường thẳng cho trước (nằm trong cùng một mặt phẳng), tại giao điểm với hình này, tạo thành các đoạn thẳng thì hai hình này có kích thước bằng nhau.

Tính chất thứ hai là sự khái quát hóa của Cavalieri’s prizzite. Cho ba hình $F$, $F_1$ và $F_2$ trên mặt phẳng sao cho bất kỳ đường thẳng nào song song với một đường thẳng cho trước nằm trong mặt phẳng của các hình này sẽ cắt các hình này dọc theo các đoạn có độ dài $f$, $f_1$ và $f_2$, và mỗi lần $f = f_1 + f_2$. Sau đó $S_F = S_{F_1} + S_{F_2}$ (lấy thuộc tính này từ Cavalieri prizzite).

Và cuối cùng, thuộc tính thứ ba: khi một hình bị kéo dài so với một trục nhất định với hệ số $k$ thì diện tích của nó được nhân với $k$.

Từ Prizzit của Cavalieri, ngay lập tức suy ra rằng diện tích của hình được xây dựng trong Hình 6 bằng diện tích của hình chiếu lên mặt phẳng