Bài toán M426—M430; F438—F442

22

Bài toán

M426 — M430; F438 — F442

M426. Một bảng gồm $n \times n$ ô chứa các số từ 1 đến $n$ như trong Hình 1. Với mỗi $n$ trong đó, bạn có thể chọn $n$ ô sao cho không có hai ô nào thuộc cùng một hàng hoặc cột và sao cho tất cả các số trong các ô đã chọn đều khác nhau không?

A. Nenatsev

M427. a) Chứng minh rằng tồn tại một số lẻ $n$ sao cho mọi số chẵn $k$ không có số nào trong dãy vô hạn
$$k^k + 1, k^{k^k} + 1, k^{k^{k^k}} + 1, \dots$$
không chia hết cho $n$.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ đều tồn tại một số tự nhiên $k$ sao cho mỗi số hạng của dãy vô hạn
$$k + 1, k^k + 1, k^{k^k} + 1, k^{k^{k^k}} + 1, \dots$$
chia hết cho $n$.

S. Lavrenchenko, lớp 9

M428. $(m - 1)n + 1$ mọi người đang tham gia Olympic. Chứng minh rằng trong số họ có $m$ người tham gia không biết nhau theo cặp hoặc có một người quen với ít nhất $n$ người tham gia Olympic. Liệu tuyên bố bài toán có còn đúng nếu số lượng người tham gia Olympic giảm đi một không?

E. Turkovich

M429. a) Phương trình có bao nhiêu lời giải?
$$|x| - 1977 \{x\} = 1978?$$
(Ở đây $|x|$ là phần nguyên của $x$ và $\{x\} = x - |x|$.)

b) Chứng minh rằng với mọi $p \neq 0$ và $q$ phương trình
$$|x| + p\{x\} = q$$
có $||p||$ hoặc $||p|| + 1$ lời giải.

Zh. satarov

M430. a) Chứng minh rằng mọi hình phẳng lồi có diện tích $S$ đều có thể đặt trong đường thẳng 2S.

23

6)* Chứng minh rằng mọi vật lồi có thể tích $V$ đều có thể đặt trong một hộp có dạng hình chữ nhật song song có thể tích $6V$ (Hình 2).

F438. Một thanh đồng chất nằm bên trong một hộp rỗng hình cầu. Chiều dài của thanh bằng bán kính của hình cầu. Hệ số ma sát là $\mu$. Góc tối đa mà một cây gậy có thể tạo ra với đường chân trời là bao nhiêu?

V. Bukhovtsev

F439. Đèn neon (nl) sáng lên khi hướng của nó đạt giá trị $U_1$. Trong trường hợp này, điện trở của bóng đèn trở nên giả tạo. Khi hướng của đèn giảm xuống $U_2$, đèn tắt và điện trở của nó lớn vô hạn. Đèn này được nối với mục tiêu, như trong Hình 3. Xét $\gg U_1 > U_2$, hãy xây dựng đồ thị gần đúng về hướng của tụ điện theo thời gian sau khi đóng công tắc $K$.

V. Kopylov

F440.* Ước tính gần đúng bán kính tối thiểu của một hành tinh mà nó có thể giữ lại bầu khí quyển bao gồm chủ yếu là oxy và nitơ nếu nhiệt độ bề mặt của hành tinh là $T = 300^\circ\text{K}$. Mật độ trung bình của vật chất trên hành tinh được lấy bằng $\rho = 4 \cdot 10^3 \text{ kg}/\text{m}^3$.

S. Kozel

F441.* Giữa các bản của một tụ điện phẳng kín có điện tích $q$. Diện tích của các tấm vô hạn lớn, khoảng cách giữa chúng là $d$. Ban đầu điện tích nằm cách tấm bên trái một khoảng $\frac{1}{3}d$. Điện tích nào sẽ đi qua dây dẫn làm đóng các bản tụ điện khi điện tích $q$ di chuyển đến một vị trí mới và cách bản điện tích một khoảng $\frac{1}{3}d$?

F442. Các quả bóng có khối lượng 1, 2, 3 và 4 ke được nối với nhau bằng các thanh nhẹ, mỗi thanh dài 1 m. Các thanh được buộc chặt sao cho tạo thành hình chữ thập (Hình 4). Hệ có thể xoay tự do quanh một trục nằm ngang đi qua điểm $O$ vuông góc với mặt phẳng vẽ. Tìm biên độ dao động của hệ nếu tại thời điểm ban đầu thanh nối các tải trọng có khối lượng $m_2 = 2$ke và $m_4 = 4$ke thẳng đứng và các quả cầu không chuyển động.

25

Con dao phải đáp ứng nhiều hơn một kích cỡ. Chúng ta đã đạt được điều kiện cần để giải được bài toán: số $q^n+1$ phải được biểu diễn dưới dạng $M^2N$, $M > 1$.

2. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng điều kiện này cũng là một điều kiện đủ.

Giả sử rằng $q^n+1 = M^2N$, $M > 1$. Nếu số $N$ đã có giá trị $n$, nghĩa là, nếu $q^{n-1} \leq N < q^n$, thì mọi thứ đều theo thứ tự: $N$ bản thân nó phù hợp là $A$: thì $\overline{AA} = N(q^n+1) = M^2N^2$ là một hình vuông chính xác. Nhưng hiện tại, chúng tôi chỉ có thể nói rằng $q^{n-i-1} \leq N < q^{n-i}$, $i \geq 0$ (tức là $N$ có thể nhỏ hơn $n$ chữ số). Hãy lấy $r > 1$ sao cho $r^2 \leq q$ (điều này luôn có thể thực hiện được nếu $q \geq 4$; ví dụ: đặt $r = 2$) và xét cấp số nhân $\{N \cdot r^{2k}\}$, $k = 0, 1, \dots$. Vì số hạng đầu tiên của cấp số này nhỏ hơn $q^n$ và mẫu số $r^2 \leq q$, nên rõ ràng là nó chứa số hạng $B$, thuộc về khoảng $[q^{n-1}, q^n]$. Vì $B$ có ​​dạng $N \cdot r^{2i}$, nên khi đặt $A = B$, chúng ta thu được $\overline{AA}_q = N \cdot r^{2i}(q^n+1) = M^2N^2 \cdot r^{2i}$ là một hình vuông chính xác.

Lý luận của chúng tôi đúng cho tất cả $q \geq 4$. Điều này để lại trường hợp $q = 2$ và $q = 3$. Trong trường hợp $q = 3$ chúng ta lấy $A = 1$ vì $\overline{AA}_3 = 11_3 = 1 \cdot 3 + 1 = 4$ là một hình vuông hoàn hảo. Trong trường hợp $q = 2$, đặt $n = 3$, chúng ta nhận được $2^3 + 1 = 3^2 \cdot 1$, tức là $N = 1 < 2$, và chúng ta cần $2^2 \leq N < 2^3$. Nhân $N = 1$ với $2^2 = 100_2$, ta được số có ba chữ số $A = 100_2$. Số $\overline{AA}_2 = 100 \cdot 100_2 = 36$ là một hình vuông hoàn hảo.

3. Hãy để chúng tôi chứng minh sự tồn tại của lời giải với mọi $q$, tức là chúng tôi chứng minh rằng với mọi $q$ cũng tồn tại $n$ và $M > 1$, nghĩa là $q^n+1 = M^2N$.

Nếu $q - \text{число вида } rs^2 - 1$, $s > 1$ thì $n = 1$, $M = s$ và đáp án cho bài toán là số $A = r$ (được viết dưới dạng một chữ số):

$$\overline{rr}_q = r(rs^2 - 1) + r = (rs)^2.$$

Cụ thể, các số đó có dạng $q$ có dạng $2^k - 1$, $k \geq 2$ (đối với $s = 2$, $r = 2^{k-2}$).

Dưới đây là một số $q$ đầu tiên của biểu mẫu $rs^2 - 1$:

3, 7, 8, 11, 15, 17, 19, 23.

Hãy xem xét số $q+1$. Nếu nó không chứa các thừa số lẻ thì nó có dạng $2^k$, tức là $q = 2^k - 1$, và trường hợp này đã được xem xét. Nếu $q+1$ chứa thừa số lẻ $p$, thì

$$q^p+1 = [(q+1)-1]^p+1 = (q+1)^p-p(q+1)^{p-1}+\dots+p(q+1),$$

do đó $q^p+1$ chia hết cho $p^2$ (vì $q+1$ chia hết cho $p$).

Cụ thể, đối với $q = 10$, chúng tôi nhận được $n = 11$, $M = 11$, $N = 826446281$, $A = 4^2 \cdot 826446281 - 13223140496$, vì vậy $1322314049613223140496 = (4 \cdot 11 \cdot 826446281)^2$.

4. Vì vậy, số $10^n+1$ được biểu diễn dưới dạng $M^2N$, $M > 1$ với $n = 11$. $n = 11$ có phải là nhỏ nhất có thể không? Để làm rõ vấn đề này, chúng tôi đã biên soạn một chương trình máy tính và thu được các hệ số nguyên tố sau:

$$10^1+1=11; \quad 10^8+1=17 \cdot 5882353;$$

$$10^2+1=101; \quad 10^9+1=7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 52579;$$

$$10^3+1=7 \cdot 11 \cdot 13; \quad 10^{10}+1=101 \cdot 3541 \cdot 27961;$$

$$10^4+1=73 \cdot 137; \quad 10^{11}+1=11^2 \cdot 23 \cdot 4093 \cdot 8779;$$

$$10^5+1=11 \cdot 9091;$$

$$10^6+1=101 \cdot 9901;$$

$$10^7+1=11 \cdot 909091;$$

vậy $n = 11$ thực sự là nhỏ nhất.

V. Kukushkin

27

số lượng tăng không ít hơn
$$1 + 2 + 4 + 8 + 7 + 5 = 27.$$
(Chúng tôi lý luận như sau: nếu $a$ khi chia cho 9 thì dư 8, $b$ dư 7 và $a < b$, thì hiệu $b - a$ không nhỏ hơn 8; ước tính về chênh lệch được biểu thị trong Hình 7 màu đỏ). Vì vậy, $s(2^{n+6}) \leq s(2^n) + 27$.

Điều này có nghĩa là tại $n = N + 6k$, nơi $k \geq 1$, sẽ có
$$s(2^n) = s(2^{N+6k}) \geq s(2^N) + 27k = \frac{9}{2}n - \frac{9}{2}N + s(2^N).$$

Vì tất cả các số đều không lớn hơn 9 nên theo II
$$s(2^n) \leq 9\left(\frac{n}{3} + 1\right).$$

Do đó, với mọi $n = N + 6k$ bất đẳng thức
$$\frac{9}{2}n - A \leq s(2^n) \leq 3n + 9$$

(ở đây $A$ là số không phụ thuộc vào $n$). Nhưng vì $\frac{9}{2} > 3$, điều này rõ ràng là sai (với tất cả $n > 2(A+9)/3$). Kết quả mâu thuẫn chứng tỏ rằng Giả định III là sai.

S. Konyaets

F393. Được biết, tần số bức xạ của các nguyên tử chuyển động với tốc độ $v$ theo hướng bề mặt quan sát được thay đổi theo giá trị $\Delta f = \frac{v}{c}f_0$, trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng, $f_0$ là tần số bức xạ dọc theo trục nguyên tử (hiện tượng này gọi là hiện tượng Doppler). Kết quả là, do chuyển động chổi của các nguyên tử, các vạch quang phổ của nguyên tử bị mở rộng. Ước tính nhiệt độ của các nguyên tử Ne, biết rằng trong phổ phát xạ của nó phát hiện một vạch màu đỏ: nguyên tử $f_0 = 4,8 \cdot 10^{14}$ еч, chiều rộng $\Delta f = 1,6 \cdot 10^9$ еч.

Động năng trung bình của chuyển động nhiệt của nguyên tử Ne là $\bar{E}_K = \frac{3}{2}kT$. Mặt khác, $\bar{E}_K = \frac{m\bar{v}^2}{2}$, trong đó $m$ là khối lượng của nguyên tử, $\bar{v}^2$ là bình phương trung bình của tốc độ chuyển động nhiệt của nó. Từ đẳng thức $\frac{m\bar{v}^2}{2} = \frac{3}{2}kT$, chúng ta tìm được vận tốc bình phương trung bình căn bậc hai của nguyên tử Ne:
$$\sqrt{\bar{v}^2} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}},$$
trong đó $\mu$ là khối lượng nguyên tử Ne.

Sự thay đổi tần số của bức xạ nhận được được quan sát thấy phụ thuộc vào tốc độ $v_x$ của nguồn chuyển động theo hướng của đài quan sát. Để ước tính độ lớn của hệ số, chúng ta có thể giả sử rằng thành phần vận tốc $v_x$ đối với các nguyên tử neon khác nhau nằm trong khoảng từ $-\sqrt{\bar{v}_x^2} + \sqrt{\bar{v}_x^2}$, trong đó $\sqrt{\bar{v}_x^2}$ là giá trị căn bậc hai của vận tốc $v_x$.

Sử dụng mô hình được đơn giản hóa phần nào này, chúng ta thu được độ rộng phổ trong phổ phát xạ của nguồn
$$\Delta f = \frac{2\sqrt{\bar{v}_x^2}}{c}f_0.$$

Vì $\bar{v}_x^2 = \frac{1}{3}\bar{v}^2 = \sqrt{\frac{RT}{\mu}}$ nên kết quả cuối cùng có thể viết được
$$\Delta f = \frac{2/0}{c}\sqrt{\frac{RT}{\mu}},$$

từ đâu theo sau
$$T = \frac{\mu c^2}{4R}\left(\frac{\Delta f}{f_0}\right)^2 \approx 700 \text{ °K}.$$

S. Kozel

28

F394. Cấu trúc của một nhiệt kế y tế tiêu chuẩn được thể hiện trong Hình 8. Một mao dẫn mỏng được gắn vào lon rượu rue; do đó, có một “con dấu” - một phần có đường kính khoảng 30 micron. Vai trò của co thắt ceram ema là gì? Hãy ước tính gia tốc cần truyền vào nhiệt kế là bao nhiêu để nhiệt kế có thể “rung chuyển” sau khi thay đổi nhiệt độ?

Hình 8.

Hình 9.

Nhiệt kế y tế được gọi là nhiệt kế “tối đa”. Số đọc của nó tương ứng với nhiệt độ tối đa trong toàn bộ thời gian đo. Điều này xảy ra do “co thắt”. Khi rễ trong hộp được làm nóng, nó sẽ nở ra. Sự khẩn cấp phát sinh trong trường hợp này vượt quá lực căng bề mặt tác dụng lên thanh tay cầm tại điểm thắt và tay cầm bị “đẩy” vào mao quản. Khi nhiệt kế nguội đi, rễ bắt đầu lướt qua, lực sinh ra sẽ nén tay cầm tại điểm co lại và tay cầm tương ứng với nhiệt độ tối đa vẫn ở trong mao mạch. Có các cặp rễ nằm giữa thân trong mao quản và rễ trong ống trụ.

Chúng ta hãy cung cấp cho nhiệt kế một gia tốc hướng về bên phải (Hình 9). Lúc đầu, do quán tính, thanh sẽ đứng yên và “đi vào” chỗ thắt sẽ tạo thành một túi lồi. Áp suất bên trong thanh dưới mặt khum sẽ cao hơn áp suất hơi bão hòa của thanh ở chỗ thắt $\frac{2\sigma}{r}$, trong đó $r$ là bán kính của mặt khum. Đồng thời, áp suất ở đầu bên phải của tay lái trong mao quản cao hơn áp lực lên mặt $\frac{2\sigma}{R}$, trong đó $R$ là bán kính của tay cầm bên phải. Nó có thể được coi là bằng bán kính của ống mao dẫn.

Chúng ta hãy xem xét gia tốc của thanh tay cầm, được tô bóng trong hình, với diện tích mặt cắt ngang $s = \pi r^2$. Áp suất ở đầu bên trái của nó là $p + \frac{2\sigma}{r}$, và ở đầu bên phải là $p + \frac{2\sigma}{R}$ (p là áp suất hơi của rễ). Do đó, lực $|\vec{F}_1| = \left( p + \frac{2\sigma}{r} \right) s$ theo sau và ở bên phải - lực $|\vec{F}_2| = \left( p + \frac{2\sigma}{R} \right) s$.

Sự khác biệt giữa các lực này truyền gia tốc cho người quản lý (có khối lượng $m$)

$$|\vec{a}| = \frac{|\vec{F}_1| - |\vec{F}_2|}{m} = \left( \frac{2\sigma}{r} - \frac{2\sigma}{R} \right) \frac{s}{m}.$$

Nếu gia tốc truyền vào nhiệt kế lớn hơn giá trị này $|\vec{a}|$ thì thanh sẽ “tụt lại phía sau” và bị “đẩy” qua thắt lưng. Trong trường hợp này, bán kính $r$ của sự thay đổi độ co sẽ giảm. Giá trị tối thiểu của nó bằng bán kính $r_0$ của thắt lưng. Do đó, gia tốc tối đa được truyền cho người điều khiển bằng

$$|\vec{a}_0| = \frac{2\sigma s}{m} \left( \frac{1}{r_0} - \frac{1}{R} \right).$$

Vì $r_0 \ll R$, thì $\frac{1}{r_0} \gg \frac{1}{R}$ và chúng ta có thể giả sử rằng

$$|\vec{a}_0| \approx \frac{2\sigma s}{r_0 m}.$$

Giá trị này $|\vec{a}_0|$ là gia tốc tối thiểu phải được truyền vào nhiệt kế để “rũ bỏ nó”. Hãy để chúng tôi ước tính các giá trị của $|\vec{a}_0|$.

Khối lượng của tay cầm phía trên thắt lưng bằng $\rho V$, trong đó $\rho = 13,6 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$ là mật độ của tay cầm và $V$ là thể tích của tay cầm phía trên thắt lưng. Có thể ước tính bằng cách giả sử rằng chiều dài của bàn là khoảng 4 cm và đường kính là ~6·10$^{-5}$ m. Sử dụng những dữ liệu này và giá trị $\sigma = 0,5 \text{ h/m}$, chúng tôi thấy rằng

$$|\vec{a}_0| \approx 80 \text{ m/cm}^2.$$

Khi nhiệt độ thay đổi, nhiệt kế phải ấm lên từ nhiệt độ phòng đến nhiệt độ cơ thể, tức là 15-17 ° C. Bạn chỉ có thể “lắc” nhiệt kế khi nhiệt độ của nó giảm 3-4 ° C. Vì tủ chịu nhiệt

29

Có thể “lắc” nhiệt kế gần như ngay lập tức sau khi thay đổi nhiệt độ không?

F396. Một bình có đường kính khác nhau được gắn hướng lên trên một bình chứa đầy nước, được gắn cố định vào một bình lớn hơn và chứa một phần nước (Hình 11). Một chiếc kuskold nổi trên mặt nước bên trong một chiếc bình đang thay đồ. Điều gì xảy ra với mực nước trong bình khi băng tan? Thể tích sẽ thay đổi như thế nào nếu bình thay đổi không được gắn vào bình lớn hơn và nổi trên mặt nước?

Áp suất của chất lỏng tại bề mặt của nó bên trong một bình nhỏ ở trạng thái cân bằng bằng áp suất của không khí trong bình nhỏ. Để áp suất không khí không thay đổi thì cần phải giữ nó không đổi (bỏ qua sự thay đổi nhiệt độ khi băng tan).

Nước hình thành khi băng tan chiếm thể tích bằng phần băng ban đầu ở dưới nước. Nếu mực nước trong một bình nhỏ không thay đổi thì thể tích nước trong bình sẽ tăng và áp suất không khí sẽ giảm. Vì vậy, khi băng tan, mực nước trong bình nhỏ tăng lên và trong bình lớn, mực nước theo đó giảm xuống.

Nếu một bình nhỏ không gắn với một bình lớn mà nổi trên mặt nước (Hình 12), thì áp suất ở đáy bình không thể thay đổi khi băng tan. Thật vậy, áp suất này bằng trọng lượng của vật chứa trong bình chia cho diện tích đáy bình. Vì các đại lượng này không thay đổi nên áp suất ở đáy bình không thay đổi.

Nhưng áp suất ở đáy bình bằng ρ|g|h, trong đó ρ là mật độ của nước, |g| là gia tốc của áp suất tự do và h là chiều cao của cột nước. Do đó, h không thay đổi khi băng tan. Còn chiếc bình nhỏ sẽ chìm một phần trong nước để thể tích không khí trong đó không đổi.

I. Slovodetsky