Задачи М426—М430; Ф438—Ф442

22

Задачи

M426 — М430; Ф438 — Ф442

M426. Таблица из $n \times n$ клеток заполнена числами от 1 до $n$ так, как показано на рисунке 1. При каждом $n$ в ней можно выбрать $n$ клеток так, чтобы никакие две клетки не принадлежали одной строке или одному столбцу и чтобы все числа в выбранных клетках были разные?

A. Ненацев

M427. a) Докажите, что существует нечетное число $n$, для которых ни при каком четном $k$ ни одно из чисел бесконечной последовательности
$$k^k + 1, k^{k^k} + 1, k^{k^{k^k}} + 1, \dots$$
не делится на $n$.

b) Докажите, что для каждой натурального $n$ существует такое натуральное число $k$, что каждый из членов бесконечной последовательности
$$k + 1, k^k + 1, k^{k^k} + 1, k^{k^{k^k}} + 1, \dots$$
делится на $n$.

C. Лавренченко, 9 класс

M428. В олимпиде участуют $(m - 1)n + 1$ целовек. Докажите, что среди них либо найдется $m$ участников, попарно незнакомых между собой, либо найдется один участник, знакомый не менее чем с $n$ участниками олимпиды. Остатся ли верным утверждение задачи, если число участников олимпиды уменьшить на единицу?

Э. Туркович

M429. a) Сколько решений имеет уравнение
$$|x| - 1977 \{x\} = 1978?$$
(Здесь $|x|$ — целая часть $x$, а $\{x\} = x - |x|$.)

b) Докажите, что при любых $p \neq 0$ и $q$ уравнение
$$|x| + p\{x\} = q$$
имеет $||p||$ или $||p|| + 1$ решение.

Ж. Сатаров

M430. a) Докажите, что любую выпуклую плоскую фигуру площади $S$ можно помещить в прямую никплоди 2S.

23

6)* Докажите, что любое выпуклое тело объема $V$ можно помещить в ящик, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда объема $6V$ (рис. 2).

Ф438. Оdnородная палочка лежит внутри шероховатой сферической полости. Длина палочки равна радиусу сферы. Козффициент треня равен $\mu$. Какой наиболее угол с горизонтом может составлять палочка?

В. Буховцев

Ф439. Неоноваая лампочка (нл) загорается, когда направление на ней достигает значения $U_1$. При этом сопротивление лампочки становится претензioso мальм. Когда направление на лампе падает до значения $U_2$, лампа гаснет, и ее сопротивление становится бесконечно большим. Эту лампу включали в цель, как показано на рисунке 3. Считая $\gg U_1 > U_2$, построить примерный график зависимости направления на конденсатор от времени после замыкания ключа $K$.

В. Копылов

Ф440.* Оцените приближение, при каком минимальном радиусе планеты она сможет удерживать атмосферу, состоящую в основном из кислорода и азота, если температура поверхности планеты $T = 300^\circ\text{K}$. Среднюю плотность вещества планеты принять равной $\rho = 4 \cdot 10^3 \text{ kg}/\text{m}^3$.

С. Козел

Ф441.* Между пластинами замкнутого плоского конденсатора находится заряд $q$. Площадь пластин бесконечного велика, расстояние между равно $d$. Первоначально заряд находится на расстоянии $\frac{1}{3}d$ от левой пластины. Какой заряд пройдет по проводнику, замыкающей пластины конденсатора, при перемещении заряд $q$ в новое положение, при котором он будет находиться на расстоянии $\frac{1}{3}d$ от правой пластины?

Ф442. Шарики с массами 1, 2, 3 и 4 ке соединины легкими стержнями длиной 1 м каждый. Стержни скреплены так, что они образуют крест (рис. 4). Система может свободно врашаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку $O$ перпендикулярно к плоскости рисунка. Найти амплитуду колебаний системы, если в начальной момент стержень, соединяющий грузы с массами $m_2 = 2$ ке и $m_4 = 4$ ке был вертикален и шары были неподвижны.

25

ножитель должны встретиться больше одного размера. Мы получили необходимое условие разрешимости задачи: число $q^n+1$ должно быть представимо в виде $M^2N$, $M > 1$.

2. Докажем теперь, что это условие является также и достаточно мим.

Предположим, что $q^n+1 = M^2N$, $M > 1$. Если число $N$ уже $n$-значно, т. е. если $q^{n-1} \leq N < q^n$, то все в порядке: в качестве $A$ годится само $N$: тогда $\overline{AA} = N(q^n+1) = M^2N^2$ — точный квадрат. Но пока мы можем сказать лишь то, что $q^{n-i-1} \leq N < q^{n-i}$, $i \geq 0$ (т. е. $N$ может оказаться и меньше, чем $n$-значным). Возьмем $r > 1$ такое, что $r^2 \leq q$ (это всегда можно сделать, если $q \geq 4$; например, положить $r = 2$), и рассмотрим геометрическую прогрессию $\{N \cdot r^{2k}\}$, $k = 0, 1, \dots$. Поскольку первый член этой прогрессии меньше $q^n$ изначенатель $r^2 \leq q$, ясно, что в ней найдется член $B$, принадлежащий промежутку $[q^{n-1}, q^n]$. Так как $B$ имеет вид $N \cdot r^{2i}$, то, положив $A = B$, получим, что $\overline{AA}_q = N \cdot r^{2i}(q^n+1) = M^2N^2 \cdot r^{2i}$ — точный квадрат.

Наше рассуждение проходит для всех $q \geq 4$. Остатся случай $q = 2$ и $q = 3$. В случае $q = 3$ возьмем $A = 1$, поскольку $\overline{AA}_3 = 11_3 = 1 \cdot 3 + 1 = 4$ — точный квадрат. В случае $q = 2$, положив $n = 3$, получим $2^3 + 1 = 3^2 \cdot 1$, т. е. $N = 1 < 2$, а нам нужно, чтобы $2^2 \leq N < 2^3$. Умножив $N = 1$ на $2^2 = 100_2$, получим уже трехзначное число $A = 100_2$. Число $\overline{AA}_2 = 100 \cdot 100_2 = 36$ — точный квадрат.

3. Докажем существование решения при любом $q$, т. е. докажем, что для всякого $q$ существует также $n$ и $M > 1$, что $q^n+1 = M^2N$.

Если $q - \text{число вида } rs^2 - 1$, $s > 1$, то $n = 1$, $M = s$, и решением задачи служит число $A = r$ (записьваемое одной цифрой):

$$\overline{rr}_q = r(rs^2 - 1) + r = (rs)^2.$$

В частности, такими являются числа $q$ вида $2^k - 1$, $k \geq 2$ (при $s = 2$, $r = 2^{k-2}$).

Вот несколько первых $q$ вида $rs^2 - 1$:

3, 7, 8, 11, 15, 17, 19, 23.

Рассмотрим число $q+1$. Если оно не содержит нечетных множителей, то оно — вида $2^k$, т. е. $q = 2^k - 1$, а это уже рассмотренный случай. Если же $q+1$ содержит нечетный множитель $p$, то

$$q^p+1 = [(q+1)-1]^p+1 = (q+1)^p-p(q+1)^{p-1}+\dots+p(q+1),$$

откуда следует, что $q^p+1$ делится на $p^2$ (так как $q+1$ делится на $p$).

В частности, при $q = 10$ получаем $n = 11$, $M = 11$, $N = 826446281$, $A = 4^2 \cdot 826446281 - 13223140496$, так что $1322314049613223140496 = (4 \cdot 11 \cdot 826446281)^2$.

4. Итак, число $10^n+1$ представляет в виде $M^2N$, $M > 1$ при $n = 11$. Является ли $n = 11$ наименьшим возможным? Чтобы выяснить этот вопрос, мы составили программу для ЭВМ и получили следующие разложения на простые множители:

$$10^1+1=11; \quad 10^8+1=17 \cdot 5882353;$$

$$10^2+1=101; \quad 10^9+1=7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 52579;$$

$$10^3+1=7 \cdot 11 \cdot 13; \quad 10^{10}+1=101 \cdot 3541 \cdot 27961;$$

$$10^4+1=73 \cdot 137; \quad 10^{11}+1=11^2 \cdot 23 \cdot 4093 \cdot 8779;$$

$$10^5+1=11 \cdot 9091;$$

$$10^6+1=101 \cdot 9901;$$

$$10^7+1=11 \cdot 909091;$$

так что $n = 11$ в самом деле является наименьшим.

В. Кукушкин

27

цифр увеличивается не меньше, чем на
$$1 + 2 + 4 + 8 + 7 + 5 = 27.$$
(Mы рассуждаем так: если $a$ дает при делении на 9 остаток 8, $b$ — остаток 7 и $a < b$, то разность $b - a$ не меньше 8; оценки для разностей указаны на рисунке 7 красным цветом). Итак, $s(2^{n+6}) \leq s(2^n) + 27$.

Значит, при $n = N + 6k$, где $k \geq 1$, будет
$$s(2^n) = s(2^{N+6k}) \geq s(2^N) + 27k = \frac{9}{2}n - \frac{9}{2}N + s(2^N).$$

Поскольку все цифры не больше 9, согласно II
$$s(2^n) \leq 9\left(\frac{n}{3} + 1\right).$$

Таким образом, при всех $n = N + 6k$ должно выполнять неравенство
$$\frac{9}{2}n - A \leq s(2^n) \leq 3n + 9$$

(здесь $A$ — число, не зависит от $n$). Но поскольку $\frac{9}{2} > 3$, это, очевидно, неверно (при всех $n > 2(A+9)/3$). Полученное противоречие доказывается, что предположение III неверно.

С. Коняец

Ф393. Известно, что частота излучения атомов, легяших со скоростью $v$ в направлении наблідамеля, изменяется на величины $\Delta f = \frac{v}{c}f_0$, где $c$ — скорость света, $f_0$ — частота излучения по кояццезосям атома (это явление называется явлением Доплера). Вследствие этого изза метлового движения атомов спектральные линии атомов оказываются уширеными. Оцените температуру атомов Ne, зная, что в спектре его излучения обнаружена красная линия атомы $f_0 = 4,8 \cdot 10^{14}$ еч, ширина коморой $\Delta f = 1,6 \cdot 10^9$ еч.

Средняя кинетическая энергия теплового движения атома Ne равна $\bar{E}_K = \frac{3}{2}kT$. С другой стороны, $\bar{E}_K = \frac{m\bar{v}^2}{2}$, где $m$ — масса атома, $\bar{v}^2$ — средний квадрат скорости его теплового движения. Из равенства $\frac{m\bar{v}^2}{2} = \frac{3}{2}kT$ находим среднеквадратную скорость атома Ne:
$$\sqrt{\bar{v}^2} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}},$$
где $\mu$ — atomная масса Ne.

Изменение частоты излучения, принимаемого наблюдается, зависит от скорости $v_x$ движения источника в направлении наблідамеля. Для оценки величины эффицимы можем предполагать, что компонента скорости $v_x$ у разных атомов неона лежит в пределах от $-\sqrt{\bar{v}_x^2} + \sqrt{\bar{v}_x^2}$, где $\sqrt{\bar{v}_x^2}$ — среднеквадратное значение скорости $v_x$.

Используя эту несколько упрощенную модель, мы получим для ширины линии в спектре излучения источника
$$\Delta f = \frac{2\sqrt{\bar{v}_x^2}}{c}f_0.$$

Поскольку $\bar{v}_x^2 = \frac{1}{3}\bar{v}^2 = \sqrt{\frac{RT}{\mu}}$, окончательное можно записать
$$\Delta f = \frac{2/0}{c}\sqrt{\frac{RT}{\mu}},$$

откуда следует
$$T = \frac{\mu c^2}{4R}\left(\frac{\Delta f}{f_0}\right)^2 \approx 700 \text{ °K}.$$

С. Козел

28

Ф394. Устройство рутного медицинского термометра показано на рисунке 8. К баллончику со рутью приращен монкий капилляр, вызу коморозо имеется «перметяжка» — участок с диаметром примерного 30 микрон. Ккую роль церам эма перетяжка? Оцените, какое ускорение нужно сообщить термометру для мого, чтобы его «стряхнуть» после изменения температуры?

Рис. 8.

Рис. 9.

Медицинский термометр представляет собой так называемый «максимальный» термометр. Его показания соответствуют максимальной температуре за все время измерения. Это происходит за счет «перетяжки». При нагревании рутки в баллончике она расширяется. Возникающие при этом силы ургоости превышают силы поверхностного натяжения, действующие на стольник рутки в месте перетяжки, и руть «продавливается» в капилляр. При остывании термометра руть начинает скиматться, возникающие силы ургоости стольник рутки в месте перетяжки, и в капилляре остаются стольник рутки, соответствующий максимальной температуре. Между стольником рутки в капилляре и рутью в баллоне имеются пары рутки.

Сообщим термометру ускорение, направленное вправо (рис. 9). В первый момент руть в силу инерции будет оставаться в покое и «войдет» в перетяжку, образован выпуклый мешок. Давление внутри рутки под мениском будет выше давления насыщенных паров рутки в перетяжке на всличную $\frac{2\sigma}{r}$, где $r$ — радиус меняска. В то же время давление в правом конце стольника рутки в капилляре выше давления на всличную $\frac{2\sigma}{R}$, где $R$ — радиус правого меняска. Его можно считать равным радиусу капиллярной трубки.

Рассмотрим заштрихованный на рисунке ускорок стольника рутки с площадью сечения $s = \pi r^2$. Давление в его левом конце равно $p + \frac{2\sigma}{r}$, а в правом — $p + \frac{2\sigma}{R}$ (р — давление паров рутки). Потому следует сила $|\vec{F}_1| = \left( p + \frac{2\sigma}{r} \right) s$, а справа — сила $|\vec{F}_2| = \left( p + \frac{2\sigma}{R} \right) s$.

Разность этих сил сообщает стольнику (массы $m$) ускорение

$$|\vec{a}| = \frac{|\vec{F}_1| - |\vec{F}_2|}{m} = \left( \frac{2\sigma}{r} - \frac{2\sigma}{R} \right) \frac{s}{m}.$$

Если ускорение, сообщаемое термометру, больше этого значения $|\vec{a}|$, то руть будет «отставать» и «продавливается» через перетяжку. При этом радиус $r$ меняска в перетяжке будет уменьшаться. Его минимальное значение равно радиусу $r_0$ перетяжки. Следовательно, максимальное ускорение, которое бы сообщено стольнику рутки, равно

$$|\vec{a}_0| = \frac{2\sigma s}{m} \left( \frac{1}{r_0} - \frac{1}{R} \right).$$

Так как $r_0 \ll R$, то $\frac{1}{r_0} \gg \frac{1}{R}$, и можно считать, что

$$|\vec{a}_0| \approx \frac{2\sigma s}{r_0 m}.$$

Это значение $|\vec{a}_0|$ и есть минимальное ускорение, которое нужно сообщить термометру, чтобы его «стряхнуть». Оценим величины $|\vec{a}_0|$.

Масса рутки выше перетяжки равна $\rho V$, где $\rho = 13,6 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$ — плотность рутки и $V$ — объем стольника рутки выше перетяжки. Его можно оценить, полагая, что длина стольника примерного 4 см, а диаметр ~6·10$^{-5}$ м. Используя эти данные и значение $\sigma = 0,5 \text{ h/m}$, найдем, что

$$|\vec{a}_0| \approx 80 \text{ m/cm}^2.$$

При изменении температуры термометр должен нагреть от комнатной температуры до температуры тела, т. е. на 15—17 °C. «Стряхнуть» же термометр можно уже тогда, когда его температура попизится на 3—4 °C. Так как шкафа термо-

29

«стряхнуть» термометр можно практически сразу после изменения температуры?

Ф396. В наполненный водой сосуд подружен вверх дом сосуд меняющего диаметра, неодвижно скрепленный с большим сосудом и частиной заполнения водой (рис. 11). На поверхности воды внутри меняющего сосуда плавает кускольда. Что произойдет с уровнями воды в сосудах, когда лед растаем? Как изменится объем, если меняющий сосуд не скреплен с большим и плавает на поверхности воды?

Давление в жидкости у ее поверхности внутри маленького сосуда при равновесии равно давлению воздуха, находящося в маленьком сосуде. Для того чтобы давление воздуха не менялось, необходимо чтобы его оставался постоянным (изменением температуры при тайнии льда пренебрегаем).

Вода, образующаяся при тайнии льда, занимает объем, который имела часть льда, находившаяся perвоначально под водой. Если бы уровень воды в маленьком сосуде не изменяла, то объем воды в сосуде возрастал бы и давление воздуха уменьшалось. Так что в процессе тайния льда уровень воды в маленьком сосуде поднимается, а в большом, соответственно, попадает.

Если маленький сосуд не скреплен с большим, а плавает на поверхности воды (рис. 12), то давление на дно сосуда при тайнии льда не может измениться. Действительно, это давление равно весу содержимого сосуда, деленому на площадь дна сосуда. Так как ни одна из этих величины не меняется, то не меняется и давление на дно сосуда.

Но давление на дно сосуда равно ρ|g|h, где ρ — плотность воды, |g| — ускорение свободного давления и h — высота стольба воды. Следовательно, h при тайнии льда не меняется. Что касается маленького сосуда, то он несколько погрузится в воду, чтобы объем воздуха в нем остался прежним.

И. Словодецкий