Геометрический смысл производной

35

А. Хинчин

Геометрический смысл производной

В девятом классе на уроках алгебры вы познакомились с определением производной функции. Понятие производной — одно из основных в математическом анализе. Мы помещаем расссказ о геометрической иллюстрации производной, одинаково важной как для анализа, так и для геометрики, которое в школе (см. «Алгебру 9», п. 52) отведено мало времени. Этот расссказ взят нами из «Краткого курса математического анализа» известного советского математика и педагога Алексадра Яковлевича Хинчина (1894—1959)*.

Геометрическое изображение функции служитрезвчайно ценным орудем их исследования, прежде всего потому, что многочетуры в поведении функции, которые трудно было прочитать при ее задании с помощью формулы (а тем более — таблицы), на графике выступают с полной наглядностью и отсутствю и отсутствивы глазу. Любая особенность данной функции должна при ее графикском изображении выступать как неокторое геометрическое свойство изображенной кривой. Можно, в частности, заранее представить, что чертеж, изображющий функцию, дает нам вместе с тем и наглядное представление о ее производной.

Пусть мы изображаем функцию $y=f(x)$ в декартовой системе координат $(x; y)$ (рис. 1). Отметим на кривой точки $M(x; y)$ и $N(x+\Delta x; y+\Delta y)$. Проведем примую MP па-

*) А. Я. Хинчин, «Краткий курс математического анализа», М., Гостехидат, 1957.

рапленью оси $OX$. Очевидно, в прямогольном треугольнике $MNP$ катетами служат $MP=\Delta x$ и $NP=\Delta y$. Поэтому отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ равно тангенсу угла $\varphi$, образуемого хордой $MN$ с положительным направлением оси $OX$.

Заставим теперь $\Delta x$ стремится к нулю. При этом точка $M$ будет оставаться неподвижной, а точка $N$ — неограниченно приближаться к ней. Хорда $MN$ будет изменять свое направление, причем в каждой момент этого процесса угловой коэффициент этой хорды —

$$tg\varphi=\frac{\Delta y}{\Delta x};$$

если данная функция имеет производную в точке $x$, т. е. если существует

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)=y',$$

то геометриски это означает, что направление хорды $MN$ стремится при этом к неокторому предельному направлению $MT$, образующему с положительным направлением оси $OX$ угол $\alpha$, причем

$$tg\alpha=\lim_{\Delta x\to 0}tg\varphi=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'.$$ (1)

Примулю $MT$, которое чисто геометриски можно определить как предельное положение секущей $MN$, соединяющей точку $M$ с безгранично приближенной к ней другой точкой $N$ данной кривой, называют какатель к данной кривой в точке $M$. Равенство (1) показывает, что производная функция $f(x)$ в точке $x$ равна угловому коэффициенту каса-

Рис. 1.

36

Рис. 2.

мельной к соотъемствующей кривой в точке с абсциссой $x$. Если, как это обычно делается, считать (в хорошо согласием с нашим наглядным представлением), что направление касательной характеризует нам направление самой кривой в данной точке, то мы неосредственно видим, что если кривая (с возрастанием $x$, т. е. слева направо) поднимается, то производная ее неотрицательна, и чем круче подъем, тем больше величины производной; направив, там, где кривая (слева направо) опускается, производная неположительна, причем и здесь абсциссная величина производной тем больше, чем круче спуск.

Найdenный нами геометрический образ производной позволяет наглядно разобраться и в примерах отсутствия производной. Рисунок 2 дает нам график функции $y = |x|$, а рисунок 3—функция $y = x \sin \frac{1}{x}$. В первом случае линия $y = |x|$ при $x = 0$ имеет определенное направление вправа и определенное направлениелево, но эти два направления различны между собой; во втором случае кривая $y = x \sin \frac{1}{x}$ в точке $x = 0$ ни вправа, ни влево никакого определенного направления не имеет (отсутствие касательной): по мере того, как $|x|$ становится все меньше и меньше, направление секущей все вновь и вновь колблется между прямыми $y = x$ и $y = -x$ и потому не может стремиться ни к какому предельному направлению.

Наконец, с точки зрения геометрической интерпретации производной легко понять, почему так должно господствовать в том, что всякая непрерывная функция должна

Рис. 3.

жна имеет производную (кроме, может быть, некоторые особых точек): действительно, очень трудно представить себе непрерывную кривую, которая ни в одной точке не имела бы касательной; и даже теперь, когда существование таких кривых твордо установлено, мы лишь весма приблизительно может представить себе их течение; такая кривая в соседстве каждой своей точки расположена примерно так, как кривая рисунка 3 в соседстве точки $O$. Как бы то ни было, такие кривы существенно, и открытие их было в истории математики одним из самых ярких примеров того, как интуиция, господствовавшая целыми веками, может все оказаться ошибочно.

Заметим еще, что знание величины производной $y'$ в точке $x$, очевидно, позволяет нам элементарными примерами построить касательную к кривой $y = f(x)$ в точке $M$. Элементарная геометрия учит нас строить касательные к окружности, в анализческой геометрии мы учимся находить касательные ко всем кривым второго порядка, но только дифференциальное исчисление производят поставить и решить обSUую задачу о проведении касательной к производной кривой в любой данной ее точке.

А теперь в качестве упражнения мы предлагаем читательм несколько задач на касательные к кривым.

Задания

1. $y$ парабoles $y = \frac{4x - x^2}{4}$ проведены касательные в точках $(0; 0), (2; 1), (4; 0)$. Найти их углы наклона к оси $Ox$. (9 кл.)

2. Найти угол наклона касательной к гиперболе $xy = a^2$ в точке $(a; a)$. (9 кл.)

3. a) Под каким углом кривая $y = \ln x$ пересекает ось $Ox$?