Как решать задачи на механическое движение

50

Э. Турчин

Как решать задачи на механическое движение

Как известно, основной задачей механики является определение положения тела в любой момент времени. Для решения этой задачи, то есть для нахождения координат тела в выбранной системе отчета, надо знать начальные координаты и переменные тела. Переменные можно найти, зная начальное скорость и ускорение тела в каждой момент. Если известны силы, действующие на тело, и эти силы не изменяются со временем, то ускорение тела определяется непосредственно из второго закона Ньютона — основного закона диаманки. Поэтому такой путь решения задачи на механическое движение называется диаманческим.

Когда действующие на тело силы не постоянны, применение второго закона Ньютона связано с большими математическими трудностями. В таких случаях удобно воспользоваться законами сохранения, и прежде всего, законами сохранения энергии и импульса, которые выполняются для замкнутых (изолированных) систем тел. При этом конкретный вид закона сохранения энергии зависит от того, какие силы действуют между телами системы.

Например, если это силы тяготения или упругости, то остается неизменной полная механическая энергия системы. При наличии трянения механическая энергия не сохраняется, а ее изменение равно равоте сил тряния. В результате увеличивается внутренняя энергия системы, так что полная энергия, конечно, не изменяется. Или такой пример — заряженная часть движения в электрическом поле под действием силы Кулона. В этом случае сохраняется сумма механической и электрической энергии.

Если же система не изолирована, то энергия и импульс могут и не сохраняться, причем изменение энергии равно равоте внешних сил, действующих на системе.

Таким образом, при решении задачи на механическое движение можно пользоваться не только диаманческим, но и энергетическим способом, основанным на законах сохранения и изменения энергии. Какой способ решения выбрать, зависит от вида взаимодействия между телами (или телами и полями), входящими в систему, а также от условий данной задачи.

Теперь рассмотрим несколько задач.

Задание 1. Шайба после удара клюшкой прибрела скорость $v_0$ и начала скольzmь по луду. Определить расстояние, проеденное шайбой до остановки. Сопротивление воздуха не учитываем, силу преняя ситмь постоянной, коэффициент времени шайбы о лед равен μ.

В процессе движения шайба взаимодействует с Землей и льдом. Поскольку нас интересует перемещение шайбы по поверхности Земли, естественно в условиях данной задачи Землю, а значит, и лед считать неподвижными.

Прициплальное существование шайбы с другими телами (например, с Луной, Солнцем и т. д.). Однако их мы учитываем не будем выду черезчайной малости.

Проанализируем взаимодействия шайбы с Землей и льдом. Между шайбой и Землей существуют гранитное взаимодействие, мерой которого является сила тяжестей шайбы $mg$ (обозначит через $m$ массу шайбы). Взанмещение шайбы со льдом можно охарактеризовать силой реакции опоры (силой упругости) $\vec{N}$ и силой тряния скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$. Таким образом

51

Рис. 1.

разом, на шайбу действуют три силы, то естьровно столько сил, сколько у нее взаимодействий. Ни о каких других силах — толчка, броска, движения, инерции и т. п., которые, к сожалению, нередко указывают абитуренты, не может быть и речи.

Так как все взаимодействия стационарные (не изменяются со временем), то возникны оба способа решения — и динамический, и энергетический. Решим задачу обомни способами.

1. Динамический способ. Прежде всего сделаем схематичный чертеж (рис. 1). Выберем систему координат (XOY), отметим параметры начального ($x_0=0, v_0$) и конечного ($x=|\vec{s}|, v=0$) состояний шайбы и действующие на нее силы ($mg, \vec{N}, \vec{F}_{\text{tp}}$). Цайбу, разумеется, будем считать материалной точкой.

Запишем в проекциях на оси OX и OY известное выражение для модели перемещения $|\vec{s}|$:

$$|\vec{s}| = x = \frac{v_0^2}{2|\vec{a}|}$$

и второй закон Ньютона:

$$|\vec{a}| = \frac{|\vec{F}_{\text{tp}}|}{m}, |\vec{N}| - m|\vec{g}| = 0.$$

С учетом уравнения связи

$$|\vec{F}_{\text{tp}}| = \mu |\vec{N}|$$

получим

$$|\vec{s}| = x = \frac{v_0^2}{2|\vec{a}|} = \frac{v_0^2 m}{2|\vec{F}_{\text{tp}}|} = \frac{v_0^2}{2\mu |\vec{g}|}.$$

II. Энергетический способ. Расмотрим замкнутую систему шайба—Земля — лед. Внутри этой системы действует сила трения скольжения. В таком случае изменение механической энергии системы равно работе силы трения:

$$(K + \Pi) - (K_0 + \Pi_0) = A_{\text{tp}}.$$

Относительно неподвижной Земли (и льда) кинетическая энергия системы в начальной момент равна кинетической энергии шайбы:

$$K_0 = \frac{mv_0^2}{2},$$

а в конечный момент она равна нулю:

$$K = 0.$$

Потенциальную энергию взаимодействия шайбы с Землей естественно отсутствует от поверхности Земли, поэтому

$$\Pi_0 = \Pi = 0.$$

Работа силы трения

$$A_{\text{tp}} = |\vec{F}_{\text{tp}}| |\vec{s}| \cos \alpha = -\mu m |\vec{g}| |\vec{s}|,$$

так как $\alpha = 180^\circ$.

Тогда окончательно

$$0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\mu m |\vec{g}| |\vec{s}|, \text{ и } |\vec{s}| = \frac{v_0^2}{2\mu |\vec{g}|}.$$

Если в системе взаимодействиях тел не включать лед, то она уже не будет замкнутой. Силы реакции опоры и трения — внешние силы для этой системы, и их работа равна изменению механической энергии системы. Поскольку угол между силой $\vec{N}$ и перемещением $s$ равен $90^\circ$, работа этой силы равна нулю, и попрежнему

$$K - K_0 = A_{\text{tp}}$$

(mы уже говорили о том, что $\Pi = \Pi_0 = 0$).

Если же рассматривать только шайбу, то все действующие на нее силы будут внешними. Согласно теореме о кинетической энергии работы этих сил равна изменению кинетической энергии шайбы. Работа силы тяжести, как и работа силы реакции опоры, равна нулю, так что выражение для изменения механической энергии аналогично предыдущему.

Задание 2. Частница с массой $m$ и загядом $q$ движется в электрическом поле одноименного закрепленного заряда $Q$马克, что на расстоянии $R_1$ ее скорость $v_1$ составляет острый

53

на расстоянии $h_1$. Поверхностная плотность заряда плоскости $\sigma$, наальная скорость частцы $\vec{v}_0$. На какое минимальное расстояние частца может прыздать плоскости, если их заряды однозначны?
Сторотивление воздуха отсутствует.

Частца взаимодействует с Землей и однородным электростанческим полем плоскости. Силы, характеризующие эти взаимодействия, — сила тяжестеи и электростанческая сила, — Staционарные, поэтому, в принципе, применены оба способа решения задачи. Отрицимся расстоянием лишь энергетического решения.

Пусть система включает в себя только одну заряженную частцу. Тогда все силы, действующие на нее, — внешние, и их работа равна изменению кинетической энергии частцы.

На минимальном расстоянии $h_2$ от плоскости скорость частцы равна нулю, поэтому изменение кинетической энергии

$$\Delta K = 0 - \frac{m |\vec{v}_0|^2}{2}.$$

Работа силы тяжестеи

$$A_T = m |\vec{g}| (h_1 - h_2),$$

а Работа электростанческой силы

$$A_a = -q |\vec{E}| (h_1 - h_2) = -q \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} (h_1 - h_2),$$

где $\vec{E}$ — направленность поля бесконечной заряженной плоскости.

Согласно теореме о кинетической энергии,

$$0 - \frac{m |\vec{v}_0|^2}{2} = m |\vec{g}| (h_1 - h_2) - \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0} (h_1 - h_2).$$

Отсюда

$$h_2 = h_1 - \frac{|\vec{v}_0|^2}{2 \left( \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0} m - |\vec{g}| \right)}.$$

Заметим, что если $|\vec{v}_0|^2 > 2h_1 \left( \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0} m - |\vec{g}| \right)$, то $h_2 < 0$, то есть частица может упасть на плоскость, обладая некоторой скоростью.

В заключение предлагаем несколько задач для самостоятельного решения.

У разженняя

1. Маленький шарик массой $m=200$ е укреплен на конце управления длиной 1 м и жесткостью 24 н/м. Шарик с нитью отводят в горизонтальное положение и отпускают. При прохождения шариком положения равновесия нить растягивает на 25 см. Определить скорость шарика в этот момент. Сопротивление воздуха не учитывать.

2. Санки массой 50 ке срезжаются с горы высотой 7 м. Определить работу силы тряния, если скорость санок у основания горы равна 10 м/сек.

3. Веревка длиной 20 м переброшена через неиссомный блок малого радиуса. Она висит симметрично и поконтся, а затем, в результате незначительного толчка, начинает движаться по блоку без трения. Какова будет скорость ввервики к моменту, когда она соидет с блока? Сопротивление воздуха отсутствует.

4. Стеклянный шарик объемом 0,2 см³ равномерно падает в воде с небольшой скоростью. Определить работу силы сопротивления воды при перемещении шарика на 6 см. Плотность стека 2,7 е/cm³.

5. Электрон, движущийся со скоростью 3.106 м/сек, попал в область однородного электростанкого поля и затормозился до полной остановки. Определить разность потенциалов между точкой остановки и точкой влега электрона в поле. Силу тяжестеи и сопротивление воздуха не учитывать.

6. На горизонтальное расположению плоскости начинает свободно падать часть с заряdom $q$ и массой $m$, находящаяся на расстоянии $H$ от плоскости. Какова будет скорость частцы на расстоянии $h < H$ от плоскости? Сопротивление воздуха не учитывать.

Указание. Взаимодействие заряженной частцы с наведенным заряdom плоскости можно заменить взаимодействием данной частцы с точным заряdom, расположенным симметрично относительно плоскости (см., например, статью Г. Мякишева «Электростанческое поле», «Квант», 1975, № 4).