Программа вступительных экзаменов по математике для поступающих в вузы в 1977 году

Квант 1977, №2 с. 44-46 Тег CAI6

Программа вступительных экзаменов по математике
для поступающих вузы в 1977 году

ОБЩЕЕ УКАЗАНИЯ

На экзамене по математике поступающих в высшее учебное заведение должны показать:
a) четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных программой, уменные доказать эти теоремы;
b) уменные точно и сжато выражать математическую мысль в устном и письменном изложении, используются соответствующую символику;
b) уверенное владение математических знаниями и навыками, предусмотренными программой, уменные применять их при решении задач.

Программа по математике для поступающих в высшее учебное заведение в 1977 году состоит из двух вариантов: варианта «А» и варианта «Б». Вариант «А» предназначен для абитриентов, окончивших школа в 1977 году (обучашихся 10 лет по новой программе). Вариант «Б» — для всех остальных лиц, имеющих законченное среднее образование*. Вариант «Б» здесь не приводится.

Каждай вариант программы состоит из трех разделов. Первый из них представляет собой перечень основных математических понятий и фактов, которые должны владеть поступающих (уметь правильно их использовать при решении задач, ссылаться при доказательстве теорем). Во втором разделе указаны теоремы, которые необходимо уметить доказать, и формулы, которые надо уметитьвыводить. Содержание теоретической части экзаменов должно черпаться из этого раздела. В третьем разделе охарактеризованы основные математические умения и навыки, которые должны владеть экзаменуемый.

ВАРИАНТ «А»
I. ОСНОВНЫЕ MATEMATIЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

Арифметика, алгебра, начала анализа

Множество, элемент множества; подмножество, объединение и пересечение множества.
Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Соотношения между ними.
Натуральные числа. Простые и составные числа. Делитель, кратное. Общие делители. Общее наименьшее кратное.
Признаки делимости на 2, 3, 5 и 10 $^n$ .
Действительные числа, их представление в виде десятичных дробей. Сравнение действительных чисел.
Числовые промежутки. Модуль (абсолютная величины) действительного числа и его геометрической смысла.
Числовые выражения. Выражения с переменными. Тождественно равные выражения. Формулы сокращенного умножения.
Степень с натуральным показателем. Одночлен и многочлен. Стандартный вид многочлена.
Многочлен с одной переменной. Корей многочлен.
Функция. Способ задания функций. Области определения, множество знания функций. Функция, обратная данной.
Числовые функции. График числовой функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.
Экстремум числовой функции. Наибольшее и наименьшее значение числовой функции на промежутке. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма).
Основные числовые функции: линейная, квадратная ( $y=ax^2+bx+c$ ), степенная ( $y=ax^n$ , $n\in\mathbb{Z}$ ), показательная ( $y=ax^a$ , $a>0$ ), логарифмическая; трионометрическая функция ( $y=\sin x$ , $y=\cos x$ , $y=\tg x$ ); арифметический корень

$n y = \sqrt{x} (n \in \mathbb{N}).$
14. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
15. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
16. Уравнение. Множество решения уравнения. График уравнения с двумя переменными. Равносильные уравнения.
17. Неравенства. Множество решения неравенства. Равносильные неравенства.
18. Системы уравнений и неравенств. Решение системы. Множество решения системы. Равносильные системы.
19. Предел функции. Неперрывность функции.

Производная обработной функция. Производная сложной функция.
Первообразная. Интергал как приращение первогообразной.
Первостановки. Размещения. Соответня.
Натуральная степень биома (формула Ньютона).

Геометрия

Геометрическая функция как множество точек. Прямая, луч, отрезок, ломана; длина отрезка. Угол, величины угла. Вертикальные и смежные углы. Okружность, круг. Параллельные прямые, направление.
Перемещения. Виды перемещения. Освая и центральная симметрия. Параллельный перенос. Поворот. Конгрузность функур.
Векторы. Операции над векторами. Колlinearные векторы. Компланные векторы.
Выпуклыные функции. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали. Оси и центры симметрики многоугольников.
Треугольник. Его медиана, bisсектора, высота. Виды треугольников. Средняя линия треугольника.
Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Средняя линия трапеции.
Okружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к okружности. Дуга okружности. Сегмент и сектор.
Центральные и вписанные углы.
Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники. Выражение стороны правильного многоугольника через радиус описанной около него okружности.
Площадь многоугольника. Функция площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрат, трапеции, правильного многоугольника (через радиус описанной около него okружности).
Длина okружности и площад круга. Длина других okружности и площад сектора.
Преобразование готовности. Подобие. Гомотетичные и подобные функции. Отношение площад подобных функур.
Плокость. Параллельные и пересекающая плоскости.
Параллельность прямой и плоскости.
Направление в пространстве. Угол между двумя направлениями. Угол между двумя скрещивающимся прямыми.
Угол прямой с плоскостью. Перpendикуляр к плоскости.
Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перpendикулярность двух плоскостей.
Многоугольники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и наклонная признам; параметра. Правильная признам и правильная признам. Параллелпед. Прямой угольный параллелпед. Куб.
Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диагетр, радиус сферы и шара. Плокость, касательная к сфере.
Площадь поверхности и объем многоугольников и фигур вращения.

II. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ

Алгебра и начала анализа

Свойства функций $y=ax+b$ и ее график.
Свойства функций $y=\frac{k}{x}$ и ее график.
Свойства функций $y=ax^2+bx+c$ и ее график.
Формула корней квадратного уравнения.
Теорема Виета (прямая и обратная).
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Свойства числовых неравенств.
Формула $n$ -го члена и суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии.
Формула $n$ -го члени и суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии.
Сумма бесконечного убывающего геометрического прогрессии.
Свойства показательной функции.
Свойства логарифмической функции.
Логарифм произведение, степени, частного.
Свойства функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$ и их графики.
Свойства функций $y=tg x$ и ее график.
Решение уравнений вида $sin x=a$ , $cos x=a$ , $tg x=a$ .
Зависимости между трионометрическими функциями одного и того же аргумента.
Формулы приведения.
Формулы синуса, косинуса, тангенса суммы двух аргументов.
Тригонометрические функции двойного и поливинного аргумента.
Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.
Теорема о предлее суммы двух сходящейся последовательностей.
Необходимое условие сходимости последовательностей.
Теорема о непрерывности дробно-рациональной функции.

Производная суммы двух функций.
Производная произведение двух функций.
Производная частного двух функций.
Производные функции: $y = \sin x, y = \cos x, y = \mathrm{tg} x, y = a^x, y = \log_a x$ .
Достаточное условие экстремума функций.
Теорема об общем виде всех первообразных данной функции.
Число перестановок.
Число размещений.
Число сочетаний.
Число всех подмножества множества, состоящего из $n$ элементов.

Геометрия

Свойства равноведенного треугольника.
Свойства точек, равнодаленых от концов отрезка.
Признаки параллелности прямых.
Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.
Свойства средних линей треугольника и трапеции.
Центр симметрини параллелограмма.
Признаки параллелограмма.
Свойство серединного параллелера к стороне прямогоугольника.
Существование окружности, описанной около треугольника.
Существование окружности, вписанной в треугольник.
Свойство касательной к окружности.
Измерение угла, вписанного в окружность.
Признаки подбия треугольников.
Теорема Пифагора.
Теорема косинусов.
Теорема синусов.
Формула площей параллелограмма, треугольника, трапеции.
Признак параллелности прямой и плоскости.
Признак параллелности плоскостей.
Разложение вектора по трем некомпланным векторам.
Признак перpendикулярности прямой и плоскости.
Теорема о трех перpendикулярах.
Признак perpendикулярности двух плоскостей.
Свойство середины диагонали параллелпеда. Следствия.
Свойство диагонали прямого параллелпеда.
Формулы площади поверхности и объема призмы.
Формулы площади поверхности и объема призмы.
Формулы площади поверхности и объема цилиндра.
Формулы площади поверхности и объема конуса.
Формула объема шара.
Формула площади сферы.

III. ОСНОВНЫЕ УМЕНЯ

Экзаменуующийся должен уметь:

Производить арифметические действия над числами; округлять числа с заданной точностью. Производить действия над приближенными значениями с использованием практических приемов; пользоваться таблицами.
Проводить точдественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные, выражений, содержащих квадратные корни, показательные, логарифмические и trigonometрические функции; уметь обязывать, на каком множествостоявенное точдественное равенство выражений.
Строить графики функции, указанных в программе; исследовать функции с помощью произвольной; решать задачи на находление экстремальных значений; решать задачи на вычисление площадей криволинейных трапеций с помощью perвообразных.
Решать уравнения и неравенства первой и второй степени и уравнения и неравенства, пригодящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и пригодящиеся к ним.
Решать задачи на составление уравнений и системы уравнений, решать комбинаторные задачи.
Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие построения на плоскости, строить ceчения многогранников и фигуры вращения и простейших их комбинаций.
Проводить операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, скалярное умножение) и пользоваться свойствами этих операций.
Использовать геометрические представления при решении алгебраических задач и задачи из начал анализа; использовать методы алгебры и начал анализа при решении геометрических задач.