[Головоломки]

34

Рис. 8.

два $|OQ^*| \leq |OP^*|$, открывающая $|OQ'| \leq |OP'|$, $|OQ| \leq |OP|$, и заданная решена. Итак, показем, что $|OQ^*| \leq |OP^*|$. Пусть $|OP_1^*| \leq |OP_2^*|$ (рис. 8, а). Продолжим отрезок $P_1'P_1^*$, перpendикулярный к отрезку $OP_1^*$, до пересечения с лучами $OQ'$ и $OP_2'$ в точках $A$ и $B$ (случай $|OP_1^*| > |OP_2^*|$ изображен на рисунке 8, б). Заметим, что $|P_1'A| : |AB| = \mu:\lambda$. Проведем через точку $A$ прямую, параллельную $OP_2'$ (если $|OP_1^*| > |OP_2^*|$, то прямую, параллельную $OP_1'$); она пересечет отрезок $P_1'P_2'$ в точке $R$, принадлежащей отрезку $Q'P_2'$, причем $|P_1'R| : |RP_2'| = \mu:\lambda$, так что для проекции $R^*$ на красную прямую будет $|OR^*| = \lambda |OP_1^*| + \mu |OP_2^*|$ и $|OR^*| \geq |OQ^*|$, открывающая что $|OQ^*| \leq |OP^*|$.

Литература

1. Энциклопедия элементарной математики (ЭЭМ), книга пятая — геометрия, М., «Наука», 1966.
2. В. Бляшке, Круе и шар, М., «Наука», 1967.
3. Л. А. Люстерник, Випуклице фигуры и многообразники, М., «Наука», 1966.
4. И. М. Яглом, В. Г. Болтянский, Випуклице фигуры, М., «Наука», 1951.
5. И. М. Яглом, Проблема тринадцатей шаров, Киев, «Вища школа», 1975.

Ходом коня

Шахматный конь обошел всю доску и вернулся на исходное поле. Восстановите весь маршрут, если известны номера только шестнадцатей полей доски (в порядке их обхода конем).

Точные квадраты

«П все же он не прав»

Эта фраза стала предметом глубоких раздумий одного любителя головоломок: можно ли в ней заменить буквы цифрами (одинаковые — одинаковыми, разные — разными), чтобы каждое слово стало квадратом неокоторого натурального числа?

Однако понск решения настоящего задачи, что требуется ваша помощь.

Л. Мочалов