26 = 27?!

59

Там шло обсуждение вопроса, как это в математике и бывают, с полным отвлечением от предмета. Легко понять, что сосуды можно заменить, например, авторолоннами или стадами слонов.

На самом же деле речь шла о возможности сведения доказательства неокоторого утверждения к доказательству более простого утверждения.

В математике такие ситуации встречаются очень часто, и «мостики», позволяющие это делать, обусловно называются леммами.

В «сосудистом» же варинте я предложил эту лемму в «Математическое просвещение», где она и была направана в № 6 в 1961 году.

Боблшего вимания заслуживает ваше утверждение: «Ведь если оно элементарно, то и школьники могли бы занимать в полне серверными математическими исследованиями», которые и сейчас трудно назвать элементарными.

На памятнике Гауссу высечен правильный семнадцатугольник — дань уважения к его первой «школьной» теореме. Именем Гауса назван целя теория. Сейчас у нас в СССР есть ряд школьников, пишущих научные работы (не обязательно элементарные).

Для этого нужно знать и много трудиться. С уважением

26 = 27?!

Возьем примерозвольный треугольник. Разделим каждую его сторону на три части одинаковой длины и соединим точки деления, как показано на рисунке 1. Мы видим, что в исходном треугольнике размещены три равных треугольника, каждые два из которых пересекаются по одному маленькой треугольнику. Все эти треугольники подобыны исходному: большие — с коэффициентом подобия $2/3$, маленькие — с коэффициентом $1/3$. Площадь исходного треугольника обозначаем через $S$; тогда площадь каждого из трех больших треугольников будет $(2/3)^2 S$, а площадь каждого из трех маленьких $(1/3)^2 S$. Площадь $S$ исходного треугольника можно представить как сумму площадей больших треугольников минус сумма площадей маленьких — мы их сосчитали дважды. Мы получили тоже имеем.

$$S = 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 S - 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2 S.$$

А теперь проделаем подобное построение для треугольной парамиды объема $V$ (рис. 2). Больших парамид будет четыре (по одной у каждой вершины), объем каждой из них будет $(2/3)^3 V$ (на рис. 2 показаны две из этих четырех парамид). Каждый две такие парамиды пересекаются по маленькой парамиде объема $(1/3)^3 V$, всего таких парамидок будет шесть (по одной у каждой ребра)

Рис. 1.

Рис. 2.

$V \neq 0$, то $26=27$. Если же читатель считает, что $26 \neq 27$, то он должен принять, что объем произвольной треугольной парамиды равен нулю.

А. Кушириенко