Конусы в каркасах

47

И. Габович

Конусы в каркасах

При решении задач на комбинацию конусов порой бывают трудно представить себе их расположение в пространстве. Если же заключить расстояние конусы в «каркасы» (фигуры, образованные ребрами многогранников), то пространственное восприятие конусов obligается. При этом объект задачи становится более «оссязаемым» и пусть к решению находится проще, быстрее, что особенно важно для абитриента. Сначала докажем одну теорему.

Теорема. Около конуса, величина уела в осевом сеценции коморого меньше π/2, можно описать параметру, у которой основанием является равноведренный треугольник, а боковое ребро, проходящое через вершину этого треугольника, перpendикулярно к противолежной боковой грани.

Доказательство. Проведем в конце произвольное освоение сечения ASB (рис. 1). В плоскости основания конуса проведем касательную m к основанию конуса в точке B. В плоскости освоения ASB воспставим перpendикуляр к образушей SB в точке S до пересечения с продолжением [BA] в точке C. Поскольку $\hat{ASB} < \pi/2$, точка C находится вне конуса (на проджении [BA]). Теперь из точки C проводим касательные к основанию конуса до пересечения с прямой m в точках D и E (M, N — точки касания).

Через пересекающая прямые CE и CS, CD и CS, SB и DE проводим плоскости и получаем параметру SCDE, описанную около конуса *). Так как в треугольнике CDE высота CB является также и биссектрикой, то этот треугольник равноведренный. Легко показать, что грань SDE также является равноведренным треугольником ($|SE| = |SD|$).

Таким образом, построенная нами параметра SCDE является искомой. Такую параметру условимся называть каркасной для данного конуса. Легко показать, что каркасные параметры конструктивных конусов конструкны.

Теперь перейдет к заданным.

Пример 1 (МГУ, физик, 1970). Два конгрузимных прямых круговых конуса с общей вершиной S, высотой h и радиусом основания R ($R < h$) касаются друг друга и плоскости P. Пусть l — прямая, по которой пересекаются плоскости оснований конусов. Вычислить величины уела между прямой l и плоскостью P.

Из соответствия $R < h$ следует, что величина угла при вершине в осевом сеценции конуса меньше π/2. Опишем около каждой конуса каркасную параметру так, чтобы они имели общую грань (см. рис. 2): $|SB| — общая$

*) Наломним, что параметра называется описанной около конуса, если основание параметры описано около основания конуса, а вершины параметры и конуса совпадают.

48

Рис. 2.

сторона основний, [ZS] — общая высота пирамид, боковое ребро ZB лежит на прямой l, по которой пересекаются плоскости основний конусов. Таким образом, решение данной задачи сводится к определению $\widehat{ZBS}$.

Из конгрузностни конусов следует, что их основания касаются ребра ZB в одной и той же точке F, и потому [SF] будет общей образующей. Ясно, что [ZB] $\perp$ [SF]. Следовательно, треугольник ZFS — прямоугодный. Треугольник SOE также прямоугодный, так как SO — высота конуса. Положим $\widehat{ZBS} = \varphi$; тогда и $\widehat{ZSF} = \varphi$. Имеем: $|OE| = R$; $|SO| = h$; $\cos \varphi = \frac{|FS|}{|ZS|}$ (из $\triangle ZFS$). Но $|FS| = |ES|$ как образующие, тогда $\cos \varphi = \frac{|ES|}{|ZS|} = \text{ctg} \widehat{SEZ}$. Из $\triangle SOE$: $\text{ctg} \widehat{SEZ} = \text{ctg} \widehat{SEO} = \frac{R}{h}$. Таким образом, $\cos \varphi = \frac{R}{h}$; $\varphi = \arccos \frac{R}{h}$.

Заметим еще. Если положить $\widehat{ZES} = \beta$, то из решения этой задачи получаем следующие:

$$\cos \varphi = \text{ctg} \beta.$$ (*)

В дальнейшем оно будет нами использовано.

Пример 2 (МГУ, физак, 1965). Два конгрузностных конуса имеются общую вершину и касаются по общей образующей. Величина угла в осевом сечении конуса равна $2\alpha < \pi/2$. Найти величины двуугранного угла между двумя плоскостями, какая

49

1964). На плоскости лежат три конгрузимных конуса с общей вершиной. Каждый из них касается двух рядом лежащих. Наимену угод при вершине освободо сечения однозою из этих конусов.

Нетрудно сообщать, что если около каждой из данных конусов описать каркасу пирамиду, то получится правильная треугольная пирамида ZABC, в котором «вписаны» три данных конуса; их общая вершина находится в центре основания пирамиды, а основания пирамиды в боковые грани пирамиды (рис. 4; для решения задачи достаточно рассмотреть только один из данных конусов).

Так как пирамида ZABC правильная, то $D\hat{CO} = \pi/6$. Как было показано выше,

$$tg D\hat{OO}_1 = \cos D\hat{CO} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Таким образом, искомый угол равен $2\arctg \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Пример 4 (Киевский политехнический институт, 1970). ШестЬ конгрузимных конусов имеем общую вершину, причем каждой из конусов имеет с четырьмя друзями по одной общей касательной. Наименование суммы объектов конусов к объему шара, касающейся плоскостью оснований всех конусов.

Для решения этой задачи в качестве каркаса выберем куб, в центре которого находится общая вершина конусов, основания конусов вписаны в грани куба (рис. 5; изображен только один из конусов). При этом каждый из шести конусов будет иметь с четырьмя друзями по одной общей касательной, а шар, касающийся основания конусов, будет вписан в куб. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда объем одного конуса

$$V = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{4} \cdot \frac{a}{2} = \frac{\pi a^3}{24},$$

а шести конусов $\pi a^3/4$. Объем шара равен $\pi a^3/6$, откуда находится отношение; оно равно 3:2.

Уражнения

1 (КГУ, механит, 1973). Два прямых круговых конуса, освоее сечение каждого образует равносторонний треугольник со сторонами $a$, лежат на горизонтальной плоскости, касаясь друг друга, имея общую вершину. На какой высоте над плоскостью находится точка касания оснований этих конусов?

2 (КГУ, механит, 1972). Четыре прямых конуса имеют общую вершину, причем каждый конус имеет с треями друзями по одной общей образующей. Наименование суммы объемов конуса к объему шара, касающейся плоскостью оснований конусов.

3 (МГУ, физик, 1967). Даны три прямых круговых конуса с углом $\alpha$ в осевом сечении и радиусом основания $r$. Основания этих конусов расположены в одной плоскости и попарно касаются друг друга внешним образом. Наимену радиус сферы, касающейся всех трех конусов и плоскости, проходящей через их вершины.

4 (ЛГУ, механит, 1965). На плоскости угловены $n$ конгрузимных прямых конуса, имеющих общую вершину в точке, лежащей на этой плоскости. Каждый конус касается двух друзих конусов. Наимену угол при вершине в осевом сечении конуса.