Головоломки художника Громова

Квант 1977, №2 с. 39, 42 Тег T6TD

Ю. Данилов

Головороломки
художника Громова

«Проogle по зоологическому саду — не зоология в учебном смысле слова. Оdnako мне кажется, что нужно сначала заинтересоваться животными, а потом уже занимается их классификацией и анатомией. Сад открыт для всех, в том числе и для тех, кто смотрит на животных только для развлечения. Поэтому не беда, если кто-нибудь скажет, что мои картины — не математика. Кто их перемотит с начала до конца, тот, быть может, подметит то общее, что их объединяет, а это и есть математика».

Гуго Штейнгауз
(предисловие в книге
«Matematический калейдоскоп»).

Начнем с игры
Взгляните на фигурки, изображенные на с. 40—41. Чтобы превращить любую из них в любую другую (например, сделать из бегемота слона, из страуса — носорга, из охотника — преследуемого им зверия), вовсе не нужно быть матом и волшебником или обращаться за помощью к Гасану Абдурахману Ибн-Хоттабу, именуемому также Хоттабцем. Все эти фигурки составлены из деталей необучного конструктора — частей квадрата, разрезанного так, как показано на рис. 1. (Каждую часть в случае необходимости разрешается переворочать оборотной сторон вверх.)

Придумал этот способ раскрой квадрата и выразительные фигурки, которые можно построить из «кусков», художник Алексадр Илларионович Громов. В 1930 году Государственныйное издательство впустило 5 его небольших книжечек-головоломок: «Индец», «Паровоз», «Завод», «Петух» и «Дом». Изданные небольшим трахом, эти увлекательные книжки-игры давно разошлись и стали библиографической редкостью. В этом номере мы знакомим читателя с фигурками из книжки А. Громова «Индец».

Головоломки А. Громова — ближайте родственники известной игры «танграм», который посвятил немало замечательных страниц своих произведений классики занимаемый математикки Сэм Лойд и Генри Дьюден. О танграме, других головоломках, связанных с составлением фигурок из частей особым образом разрезанной исходной фигуры, и их общем далеком предмет — игре «стоматон», которая была известна еще Архимеду, мы рассケjem в следующих номерах «Квант».

Составляя фигурки, изображенные на с. 40—41, или придумывая свои собственные способы раскрой квадрата и композиции *), наши читатели (и даже их младшие братья и сестры, еще не успевшие познакомиться с такой серверной и древней

*) Редакция «Квант» обращается к читателям с просбой прислать наиболее удачные из придуманных им фигурок. Лучшие композиции будут опубликованы, а их авторы премированы годовой подпиской на «Квант».

Рис. 1.

Рис. 2.

наукой, как геометрия), по существу, будут заниматься доказательством теorem о равносоставленных фигурах. Не беда, что эти геометрические фигуры называются несколько необъясно: занимается же Иоганн Кеплер вычислением объема «яблока», «земляники», «сосновой шишки» и «турецкой чальмы».

Немного науки

Изучением различных расположений фигура и, в частности, преобразованиями равносоставленных фигура занимается специальный раздел теории — комбинаторная геометрия.

Важная теория комбинаторной теории плоскости, доказанная в тридцатых годах XIX века венгерским математиком Фаркашем Бойяни (отцом одного из создателей неевклидовой геометрии — Яноша Бойяни) и, независямо от него, немецким математиком Гервином, утверждает, что любые два равновелки их (имеющих одинаковую площадь) многоугольника равносствовали, т. е. один из них допускает разбение на части, из которых можно составить другой многоугольник. Любопытно, что для пространства анализочная теория не верна: как доказал в начале XX века немецкий математик Ден, существуют равновелки (имеющие равные объемы), но не равносоставленные многогранники. Элементарному доказательству теorem Бойяни — Гервина и Дена посвящена брошюра В. Г. Болтянского «Равновелки и равносоставленные фигуры», выпущенная в 1956 году Гостехидатом в серии «Популярные лекции по математике».

Теорема Бойяни — Гервина принадлежит к числу таких называемых чистых теorem существования: она ничего не говорит о том, как найти разбиение одного из равновелких многоугольников на части, из которых можно составить другой многоугольник. Долго время не существовало общих методов, позволяющих находить нужные разбиения, и поиском их занимались не столько геометры, сколько «стратеги от математики», которые иногда удалилось найти понятие удивительное по красоте «самородки». Например, Генри Дьюеден сумм разрезать квадрат на четыре части, из которых можно составить равносторонний треугольник (рис. 2).

Ныне здравствующий эксперт Австралиского Патентного бюро Гарри Линдгрен, разработав общие методы решения широких классов задач на разрезание, сумм превращать геометрию разрезаний из хаотического набора отдельных фактов в науку. Книга Гарри Линдгрен «Занимаательные задачи на разрезание» скоро выйдет в издательстве «Мир».

(Окончание. Начало см. с. 20, 37)

Даны восемь целых чисел $a_1, a_2, \dots, a_8$ , причем $0 < a_1 < \dots < a_8 < 16$ . Докажите, что для неокоторого $k$ из данных восемь целых можно выбрать не менее трех пар $(a_i, a_j)$ , связанных соотношениям $a_i - a_j = k$ .
Докажите, что каковы бы ни были натуральные $a, m$ , остатки от деления чисел $a, a^2, a^3, \dots, a^n$ , … на $m$ перiodических повторяются.
Имеется набор из 4 $n$ положительных чисел. Известно, что из любых четырех попарно различных чисел этого набора можно составить геометрическую прогрессию. Докажите, что в наборе найдет $n$ одинаковых чисел.
Докажите, что из 990 различных натуральных чисел, не превосходящих 1977, можно выбрать три числа, сумма двух из которых равна третьему. Можно ли здесь уменьшить число 990?
В верхних выпуклого 65-угольника написаны различных натуральные числа, каждое из которых не превосходит 1977. Докажите, что найдется две диагонали, для которых разности чисел, написанных у их концов, одинаковы.
Пусть $a_1, \dots, a_n$ — натуральные числа, причем $a_1 < \dots < a_n \leq 2n$ , Докажите, что если наименьшее общее кратное любых из этих двух чисел больше 2 $n$ , то $a_1 > \frac{2n}{3}$ .