Ý nghĩa hình học của đạo hàm

35

A. Khinchin

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Ở lớp chín, trong các bài học đại số, bạn đã học định nghĩa đạo hàm của một hàm số. Khái niệm đạo hàm là một trong những khái niệm chính trong phân tích toán học. Chúng tôi đang trình bày một câu chuyện về minh họa hình học của đạo hàm, điều này quan trọng không kém đối với cả giải tích và hình học, vốn được dành rất ít thời gian ở trường (xem “Đại số 9”, đoạn 52). Chúng tôi lấy câu chuyện này từ “Khóa học ngắn hạn về giải tích toán học” của nhà toán học và giáo viên nổi tiếng Liên Xô Aleksandr Ykovlevich Khinchin (1894-1959)*.

Biểu diễn hình học của một hàm đóng vai trò là một công cụ cực kỳ có giá trị cho nghiên cứu của họ, chủ yếu là do nhiều chi tiết về hoạt động của hàm, vốn rất khó đọc khi nó được chỉ định bằng công thức (và thậm chí còn hơn thế nữa là một bảng), xuất hiện trên biểu đồ hoàn toàn rõ ràng và không thể nhìn thấy bằng mắt. Bất kỳ đặc điểm nào của một hàm nhất định, khi được mô tả bằng đồ họa, sẽ hoạt động như một đặc tính hình học nhất định của đường cong được mô tả. Đặc biệt, chúng ta có thể tưởng tượng trước rằng một hình vẽ mô tả một hàm số cũng cho chúng ta một hình ảnh trực quan về đạo hàm của nó.

Chúng ta hãy mô tả hàm $y=f(x)$ trong hệ tọa độ Descartes $(x; y)$ (Hình 1). Hãy đánh dấu các điểm $M(x; y)$ và $N(x+\Delta x; y+\Delta y)$ trên đường cong. Hãy lấy MP pa-

*) A. Vâng. Khinchin, “Khóa học ngắn hạn về phân tích toán học”, M., Gostekhidat, 1957.

trục $OX$. Rõ ràng, trong tam giác vuông $MNP$ hai chân là $MP=\Delta x$ và $NP=\Delta y$. Do đó, tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ bằng tiếp tuyến của góc $\varphi$ tạo bởi dây $MN$ với chiều dương của trục $OX$.

Bây giờ chúng ta hãy làm cho $\Delta x$ có xu hướng về 0. Trong trường hợp này, điểm $M$ sẽ bất động và điểm $N$ sẽ tiếp cận điểm đó vô thời hạn. Dây $MN$ sẽ thay đổi hướng và tại mỗi thời điểm của quá trình này, hệ số góc của dây này là

$$tg\varphi=\frac{\Delta y}{\Delta x};$$

nếu một hàm đã cho có đạo hàm tại điểm $x$, tức là nếu tồn tại

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)=y',$$

thì về mặt hình học, điều này có nghĩa là hướng của dây $MN$ thiên về một hướng giới hạn nhất định $MT$, tạo thành một góc $\alpha$ với hướng dương của trục $OX$, và

$$tg\alpha=\lim_{\Delta x\to 0}tg\varphi=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'.$$ (1)

Primula $MT$, có thể được định nghĩa thuần túy về mặt hình học là vị trí giới hạn của cát tuyến $MN$ nối điểm $M$ với một điểm khác $N$ gần vô cùng với nó, được gọi là điểm phân của đường cong đã cho tại điểm $M$. Đẳng thức (1) chứng tỏ hàm số đạo hàm $f(x)$ tại điểm $x$ bằng hệ số góc

Hình 1.

36

Hình 2.

nông theo đường cong tương ứng tại điểm có hoành độ $x$. Nếu, như thường lệ, chúng ta giả sử (phù hợp với cách biểu diễn trực quan của chúng ta) rằng hướng của tiếp tuyến đặc trưng cho chúng ta hướng của đường cong tại một điểm nhất định, thì chúng ta sẽ thấy ngay rằng nếu đường cong (với mức tăng $x$, tức là từ trái sang phải) tăng lên, thì đạo hàm của nó không âm, và độ dốc càng dốc thì giá trị của đạo hàm càng lớn; Có hướng, nơi đường cong (từ trái sang phải) đi xuống, đạo hàm không dương, và ở đây, giá trị hoành độ của đạo hàm càng lớn thì độ dốc càng dốc.

Hình ảnh hình học của đạo hàm mà chúng ta tìm được cho phép chúng ta hiểu rõ ràng các ví dụ về sự vắng mặt của đạo hàm. Hình 2 cho chúng ta đồ thị của hàm $y = |x|$ và Hình 3 cho chúng ta đồ thị của hàm $y = x \sin \frac{1}{x}$. Trong trường hợp đầu tiên, đường $y = |x|$ với $x = 0$ có một hướng nhất định ở bên phải và một hướng nhất định ở bên trái, nhưng hai hướng này khác nhau; trong trường hợp thứ hai, đường cong $y = x \sin \frac{1}{x}$ tại điểm $x = 0$ không có hướng xác định về bên phải hoặc bên trái (không có tiếp tuyến): khi $|x|$ ngày càng nhỏ hơn, hướng của cát tuyến dao động liên tục giữa các đường thẳng $y = x$ và $y = -x$ và do đó không thể có xu hướng theo bất kỳ hướng giới hạn nào.

Cuối cùng, từ quan điểm giải thích hình học của đạo hàm, thật dễ hiểu tại sao điều này lại chiếm ưu thế ở chỗ mọi hàm liên tục phải

Hình 3.

nó có đạo hàm (có lẽ ngoại trừ ở một số điểm đặc biệt): thực sự, rất khó để tưởng tượng một đường cong liên tục không có tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào; và ngay cả bây giờ, khi sự tồn tại của những đường cong như vậy đã được xác lập rõ ràng, chúng ta chỉ có thể tưởng tượng rất gần đúng đường đi của chúng; một đường cong như vậy ở vùng lân cận mỗi điểm của nó có vị trí gần giống với đường cong trong Hình 3 ở vùng lân cận điểm $O$. Dù vậy, những đường cong như vậy rất có ý nghĩa, và khám phá của chúng là một trong những ví dụ nổi bật nhất trong lịch sử toán học về việc trực giác đã thống trị trong nhiều thế kỷ lại có thể trở thành sai lầm như thế nào.

Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng việc biết giá trị của đạo hàm $y'$ tại điểm $x$, rõ ràng, cho phép chúng ta xây dựng tiếp tuyến của một đường cong bằng các ví dụ cơ bản $y = f(x)$ tại điểm $M$. Hình học cơ bản dạy chúng ta xây dựng các tiếp tuyến của một đường tròn, trong hình học giải tích, chúng ta học cách tìm các tiếp tuyến của tất cả các đường cong bậc hai, nhưng chỉ có phép tính vi phân mới cho phép chúng ta đặt ra và giải quyết các vấn đề bài toán về cách vẽ tiếp tuyến với đạo hàm của một đường cong tại một điểm bất kỳ.

Và bây giờ, như một bài tập, chúng tôi cung cấp cho độc giả một số bài toán về tiếp tuyến với đường cong.

Nhiệm vụ

1. $y$ parabol $y = \frac{4x - x^2}{4}$ tiếp tuyến được vẽ tại các điểm $(0; 0), (2; 1), (4; 0)$. Tìm góc nghiêng của chúng với trục $Ox$. (9 lớp)

2. Tìm góc nghiêng của tiếp tuyến với hyperbol $xy = a^2$ tại điểm $(a; a)$. (9 lớp)

3. a) Đường cong $y = \ln x$ cắt trục $Ox$ ở góc nào?