cơ delta

19

Deltona

Đường cong được mô tả trên trang bìa thứ hai thường được gọi là deltona vì nó giống với chữ cái Δ trong bảng chữ cái Hy Lạp. Tính chất của nó được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Leonhard Euler vào thế kỷ 18 và Jacob Steiner vào thế kỷ 19. Deltona được định nghĩa ở đây là một đường cong tiếp tuyến với mỗi đường trong họ, được xây dựng như thế này. Hình chiếu của một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp một tam giác tùy ý lên các cạnh của nó (hoặc phần kéo dài của chúng) nằm trên cùng một đường thẳng (bằng chứng). Đây là đường thẳng Simson*). Họ này bao gồm các đường Simson được xây dựng cho tam giác “đỏ”.

Hãy xem xét một định nghĩa khác của deltona. Nếu một vòng tròn lăn không trượt bên trong một vòng tròn khác thì đường cong được mô tả bởi một điểm cố định của vòng tròn chuyển động được gọi là hypocyclode. Deltona là một hypocyclode, trong đó tỷ lệ bán kính của các vòng tròn này là 1:3.

Trước tiên, đặt điểm M của đường tròn thay đổi, quỹ đạo mà chúng ta sẽ theo dõi, nằm ở điểm V lớn hơn (Hình 1). Khi đó vòng tròn động lăn dọc theo cung VU đứng yên; hãy đặt VOU=φ. Hãy chứng minh rằng tiếp tuyến của delta tại điểm M đi qua giao điểm P của OU với đường tròn chuyển động, và hãy xét xem tiếp tuyến đạt tới góc nào so với vị trí ban đầu OV.

Tốc độ v của điểm M bằng v₁ + v₂, trong đó v₁⊥ OU, v₂⊥ MO’ và |v₁|=|v₂|. Hình bình hành của vận tốc là hình thoi và v là đường chéo của nó, MO’U=3φ và MPU=3φ/2. Gọi P’ là giao điểm của tiếp tuyến của tam giác với đường thẳng OU. Cách tính không khó: MP’U=3φ/2=MPU. Điểm P và P’ trùng nhau, tiếp tuyến đi qua P và có góc OWP=3φ/2.

Chúng ta hãy phác thảo bằng cách chứng minh sự tương đương của các định nghĩa đã cho. Euler đã chứng minh rằng chín điểm của một tam giác tùy ý: đáy các đường cao, đường trung tuyến và trung điểm của các đoạn từ đỉnh đến giao điểm của các đường cao (Hình 2) đều nằm trên cùng một đường tròn (chứng minh). Tâm của nó là trung điểm O của đoạn HN, trong đó H là giao điểm của các đường cao, N là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính bằng nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp (chứng minh điều này nữa). Do đó, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn Euler được chuẩn bị với tâm H và hệ số khả dụng là 2.

Gọi L là một điểm của đường tròn ngoại tiếp (Hình 3). Hãy chứng minh rằng đường thẳng Simson của nó đi qua điểm giữa của đoạn HL, thuộc đường tròn Euler. Để làm điều này, chúng ta hạ đường vuông góc từ điểm L xuống cạnh gần nhất của tam giác và tiếp tục cho đến khi nó gặp đường tròn tại điểm D. Đường thẳng Simson song song với BD (một mặt, LCL₃=LL₂L₃, mặt khác, LCL₃=BAL=BEL=DBE). Theo cách xây dựng, đoạn LL₂ đồng dạng và song song với FG và IH (giao điểm của đường cao và điểm E đối xứng với AC). Do đó, điểm P nằm tại giao điểm của các đường chéo HL và IL₂ của hình bình hành LL₂HI và |HP|=|PL|.

Vì đường tròn ngoại tiếp và đường tròn Euler được chuẩn bị tương ứng với điểm H với hệ số sẵn sàng là 2 nên điểm P nằm trên đường tròn Euler.

Nếu bạn dựng đường tròn Euler trong Hình 3 thì bạn có thể nhận ra đường tròn (O, OP) từ Hình 1 trong đó và tiếp tuyến WP trong đường thẳng Simson. Đường thẳng của Simson quay như thế nào khi điểm L di chuyển dọc theo một đường tròn ngoại tiếp, người đọc tự tìm hiểu.

V. Berezin

21

Hình 1, d.
(Hình 4a) thêm ba hình vuông vào bản gốc. Áp dụng đối xứng $f_2 = S_a$ cho các hình vuông này, ta được 8 hình vuông - xem Hình 4, b. Bằng cách lặp lại quy trình (các phép quay liên tiếp theo sau là sự đối xứng), chúng ta thu được hình ảnh như trong Hình 4, tr. Rõ ràng rằng việc áp dụng các thành phần có thể có của các chuyển vị $f_1$ và $f_2$ cho hình vuông ban đầu trong sơ đồ sẽ cho Hình 2.

Hình 3.

23

Hình 5.

bản thân vật trang trí là một nhóm liên quan đến hoạt động của thành phần chuyển vị. “Bộ xương” của một vật trang trí có thể được hiểu là sơ đồ của nhóm đối xứng của nó (chỉ có sự chuyển giao không được mô tả trên bộ xương).

Lưu ý rằng bất kỳ hình “đối xứng” nào của một “thứ tự” nhất định (xem ở trên và Hình 5, a) đều có thể được ánh xạ bằng một số chuyển động từ nhóm đối xứng sang bất kỳ hình nào khác có cùng “thứ tự”.

Hình 6.

24

Tam giác đều

I

Kim cương có góc 60°

VI

Hình chữ nhật

XI

Tam giác cân

II

Hình thang, ghép các tam giác đều

VII

Hình chữ nhật

XII

Hình chữ nhật có góc 60°

III

Quảng trường

VIII

Hình chữ nhật

XIII

Quảng trường

IV

Hình chữ nhật

IX

XIV

Tam giác đều

V

Hình chữ nhật

XV

Hình 7.

24

26

Đối với mỗi đồ trang trí, hãy mô tả nhóm đối xứng của nó và chỉ định bộ xương tương ứng. Đảm bảo rằng các nhóm đối xứng được xây dựng và các đồ trang trí được sắp xếp khác nhau.

Bài tập 3. Tìm hiểu xem các đồ trang trí và thiết kế của mạng tinh thể trong Hình 1 và Hình 2 thuộc loại I - XVII nào.

Bài tập 4. Đồ trang trí I - XV nào có trục đối xứng trượt? Vẽ những chiếc trục như vậy trên khung của những đồ trang trí này.

3. orments là gì?

Mặc dù tất cả 17 loại đồ trang trí đều được các nghệ sĩ Ai Cập cổ đại sử dụng trong đồ trang sức, nhưng việc phân loại đầy đủ chúng chỉ được đưa ra vào năm 1891 bởi nhà khoa học lớn nhất người Nga E. S. Fedorov (một phần, ông đã chứng minh rằng số nhóm đối xứng được sắp xếp khác nhau của đồ trang trí phẳng là chính xác là 17). Bài toán Việc liệt kê các phương trình nảy sinh giữa Fedorov liên quan đến nhu cầu của tinh thể học - khoa học về cấu trúc hình học của tinh thể. Như đã đề cập, các nguyên tử và phân tử của các chất ở trạng thái kết tinh tạo thành cái gọi là cấu trúc tinh thể - một dạng tương tự không gian của các vật thể. Các phần của các cấu trúc tương tự theo các mặt phẳng khác nhau thể hiện chính xác các đồ trang trí phẳng, và thật hay khi gọi các nhóm đối xứng của các đồ trang trí phẳng là các nhóm tinh thể phẳng. Fedorov cũng đã thu được một sự phân loại đầy đủ các nhóm tinh thể không gian - hóa ra có chính xác 230 nhóm trong số đó!

Thông tin chi tiết về điều này được viết trong các cuốn sách được liệt kê ở cuối bài viết. Hiện tại, chúng ta sẽ giới hạn ở việc xây dựng một bài toán, lời giải đáng chú ý trong số đó là bước chính trong việc chứng minh định lý Fedorov về việc phân loại các mệnh đề. Nhưng trước tiên, hãy định nghĩa đồ trang trí phẳng là gì.

Sự định nghĩa. Hình phẳng vô hạn Φ được gọi là khung phẳng nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) trong số các chuyển vị ánh xạ Φ lên chính chúng, có các chuyển đổi song song không định lượng;
(2) trong số tất cả các vectơ (song song với trục lại) ánh xạ Φ lên chính nó, tồn tại một vectơ có độ dài nhỏ nhất.

Nếu một vật trang trí phẳng Φ được ánh xạ lên chính nó khi quay quanh một điểm A qua các góc chỉ là bội số của 360°/n, trong đó n là một số tự nhiên lớn hơn 1, thì điểm A được gọi là tâm đối xứng bậc n của vật trang trí này Φ.

Bài tập 1. Chứng minh một vật trang trí phẳng tùy ý có thể có các nghiệm đối xứng bậc n=2, 3, 4 và 6.

Hãy cho gợi ý cho hai cách tiếp cận lời giải bài toán này.

Giả sử 1. Xét hai tâm đối xứng của một vật cùng bậc n ở khoảng cách nhỏ nhất có thể với nhau (tồn tại khoảng cách nhỏ nhất giữa các tâm của tài liệu mong muốn!).

Giả sử n khác 2, 3, 4, 6, chứng tỏ rằng có hai tâm của một điểm có bậc n cách nhau một khoảng nhỏ hơn nữa!

Giả sử 2. Đầu tiên chứng minh rằng đối với một vật trang trí tùy ý, các tâm có bậc cố định n ≥ 3 tạo thành một mạng gồm các hình bình hành - những mạng như vậy được mô tả chi tiết trong bài viết của A. A. Egorov, “Lưới và đa giác đều”, «Kvant», 1974, số 12. Sau đó, sử dụng các tính chất của nhóm đối xứng của vật trang trí, xây dựng một n-giác đều có các đỉnh tại các lưới nút của tâm. Bài báo của Egorov chứng minh rằng điều này chỉ có thể thực hiện được với n = 3, 4 và 6.

4. Đồ trang trí tuyến tính và sàn gỗ

Để kết luận, chúng tôi sẽ đề xuất thêm hai bài toán, gần với bài toán về phân loại đồ trang trí phẳng, nhưng đơn giản hơn. Tuy nhiên, lời giải trong số đó là một nghiên cứu toán học thực sự!

(A) Phân loại đồ trang trí tuyến tính.

Nếu một hình phẳng được ánh xạ lên chính nó với các chu vi song song chỉ theo một hướng (và hướng ngược lại), và trong số các chu vi này có các phần có chiều dài nhỏ nhất, thì hình đó còn được gọi là tuyến tính.