Bài toán Mobius và sự tiếp nối của nó

2

Vấn đề Mobius và sự tiếp diễn của nó

Một thế kỷ rưỡi trước (năm 1823), August Möbius, một nhà thiên văn học trẻ ba mươi tuổi tại Đài quan sát Leippite, đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học đến thực tế là mặc dù Euler đã xem xét không chỉ các phép biến đổi hình học đơn giản (chuyển động và phép chia), mà còn cả những phép biến đổi tổng quát hơn mà ông gọi là affine*). tất cả chúng đều không được các nhà hình học sử dụng đầy đủ.

Möbius chỉ ra rằng đa hình học bài toán, nội dung của nó không sử dụng khái niệm độ dài hay phép đo góc, đã được giải quyết sau Euler bằng những cách xa lạ với nội dung của chúng, và bày tỏ niềm tin của mình**) rằng bài toán cũng nên được trình bày đầy đủ nhất có thể, sắp xếp chúng một cách có hệ thống và đi theo một hướng hình học độc lập, không sử dụng lượng giác hoặc Magister Matheseos (như định lý được gọi trong Pythagoras thế kỷ 17). Anh nói tiếp: “Trong những năm đầu tiên tôi ở đây

*) Đây là tên của các phép biến đổi hình học được sử dụng trong phép biến đổi kề, song song với phép biến đổi kề thành song song với phép kề.

**) Những phát biểu này và các phát biểu tiếp theo của Möbius nằm trong tác phẩm toán học đầu tiên của ông, “Hai hình học bài toán”, được gửi dưới dạng phụ lục cho ấn phẩm thiên văn học: “Quan sát của Đài thiên văn Đại học Hoàng gia” ở Leippite năm 1823.

ở đây*), khi nhiệm vụ của tôi cho phép tôi có nhiều cơ hội tiếp cận hơn, tôi đã cố gắng đi theo hướng này. Tôi đã chuẩn bị cho điều này nhờ vào nhiều loại phép tính phân tích hình học đặc biệt đã được phát minh trước đó, với sự trợ giúp của nó, tôi ngay lập tức phát hiện ra rằng chính những tính chất chung này của các hình **) trên thực tế đã cấu thành phạm vi ứng dụng của nó; Nhờ phép tính này, tôi đã có thể khám phá ra các kết quả hình học mà các phương pháp khác có thể sẽ dẫn tôi đến một con đường khó khăn hơn.

Möbius đã trình bày đầy đủ về “phép tính” này vào năm 1827 trong tác phẩm mở rộng “Tính toán Baricentric”. Felix Klein gọi cuốn sách này là “một kho tàng ý tưởng đích thực được trình bày một cách rõ ràng đến kinh ngạc”; Klein coi Möbius là tiền thân của chương trình Erlangen của ông, sau này trở thành chương trình của nhiều hướng chính trong lĩnh vực hình học của thế kỷ 19 và 20 (xem bài viết của S. Gindikin “Felix Klein”, «Kvant», 1975, số 12).

Chúng ta không thể trình bày chi tiết ở đây về cuốn sách tuyệt vời này của Möbius; Hãy chỉ nói rằng nó không tiết lộ nền tảng của đại số vectơ và các ứng dụng của nó đối với hình học (tất cả những điều này hiện đã được nghiên cứu ở trường).

Trong bài viết ngắn này, chúng tôi sẽ giới thiệu với người đọc bài toán Möbius, bài toán mà ông cho là đáng thu hút sự chú ý của các nhà toán học cùng thời với một loạt bài toán hình học mới.

Trong tác phẩm đầu tiên của mình (1823), ông viết: “Trong số rất nhiều tác phẩm liên quan đến lĩnh vực này bài toán, tôi cho phép mình cung cấp cho độc giả những điều sau đây đối với độc lập lời giải:

Hai thùy nguyên thủy nào A, B, C, D, E xác định trên mặt phẳng được chứa bởi một đường thẳng. Quảng trường

*) Tại Đài thiên văn Leippig.

**) Nghĩa là, các tính chất được bảo toàn dưới các phép biến đổi affine và do đó không phụ thuộc vào phép đo chiều dài và góc.

4

tại đó nó lan truyền hướng đi vòng *).

Ở cuối bài viết ngắn “Thư của Giáo sư Mobius gửi nhà xuất bản của tạp chí” (Tin tức thiên văn, 1825, tập 3), Mobius viết về bài toán mà ông đề xuất:

“Nói về trụ bài toán là chưa đủ, mà bản thân nó chỉ đơn giản là một sự tò mò; nó chỉ đáng được chú ý trong chừng mực nó thể hiện một ví dụ về định lý sau, mà có vẻ mới đối với tôi: nếu mỗi hai điểm của bất kỳ hệ n điểm nào nằm trong một mặt phẳng được nối bằng một đường thẳng và nếu chúng ta xét các diện tích đã cho (độc lập với nhau) của bất kỳ đa giác 2n-5 nào xuất phát từ giao điểm của các đường thẳng này, thì thông qua chúng chúng ta có thể biểu thị diện tích của các đa giác còn lại.”

Việc chứng minh định lý này có thể là chủ đề nghiên cứu độc lập của người đọc (Möbius cũng đã xuất bản nó trong cuốn sách “Tính toán Barycentric” của ông).

Hãy đề xuất một bài toán khác - nó là sự tiếp nối của định lý đầu tiên (và giống như nó, nó dường như là một ví dụ về một định lý như định lý Möbius).

Cho ABCDE, các diện tích p, q, r, s, t của các tam giác ACD, BDE, CEA, DAB và EBC đã cho.

*) Người đọc sẽ tìm thấy phần trình bày chi tiết về lý thuyết về sự thay đổi trong “diện tích của các hình định hướng” cùng với các ứng dụng của lý thuyết này (trong hình học và trắc địa) trong tập tài liệu của A. M. Lopshitz - số 20 của bộ “Bài giảng phổ biến về toán học”, M., 1956.

Diện tích của một p-site λ-liên hợp với một polysite nhất định $A_1A_2 \dots A_n$ bằng $P\lambda^2 + Q\lambda + R$, trong đó các số P, Q, R được xác định bởi diện tích của polysite $A_1A_2 \dots A_n$ và diện tích của polysite $S_1S_2 \dots S_n$, $1/2$-liên hợp với polysite $A_1A_2 \dots A_n$ (các đỉnh của nó là trung điểm của các cạnh liên tiếp của đa giác $A_1A_2 \dots A_n$: $S_1$ là trung điểm của $A_1A_2$, $S_2$ là trung điểm của $A_2A_3$, v.v.).

Chúng tôi hy vọng những bài toán này sẽ được độc giả quan tâm. Chúng tôi dự định xuất bản chúng lời giải sau. Trong khi chờ đợi, chúng tôi đang chờ thư của bạn.

Hình 3.