Định luật bảo toàn động lượng khi va chạm

46

L. Bakanina

Định luật bảo toàn động lượng khi va chạm

Định luật bảo toàn động lượng (chuyển động định lượng) được thỏa mãn đối với các hệ kín, tức là những hệ bao gồm các vật thể tương tác, sao cho không có ngoại lực nào tác động lên bất kỳ vật thể nào của hệ. Tuy nhiên, đối với lời giải nhiều bài toán vật lý, hóa ra động lượng có thể không đổi đối với các hệ độc lập. Đúng, trong trường hợp này lượng chuyển động chỉ được bảo toàn một cách xấp xỉ. Chúng ta hãy cố gắng tìm hiểu những gì đang xảy ra ở đây.

Độ biến thiên động lượng $\Delta p$ bất kể hệ nào đều bằng tổng động lượng của các ngoại lực. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\vec{F}_{cp}$ giá trị trung bình của ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian $\Delta t$. Sau đó

$$\Delta p = \vec{F}_{cp} \Delta t.$$

Nếu giá trị tuyệt đối của lực này không quá lớn và thời gian lực tác dụng nhỏ thì tích $|\vec{F}_{cp}| \Delta t$ cũng sẽ nhỏ. Trong trường hợp này, cần phải ước tính động lượng của hệ có thể được coi là không đổi với độ chính xác bao nhiêu.

Ngoài ra, chúng ta không nên quên rằng xung lực là một vectơ, và do đó, chúng ta có thể nói về việc bảo toàn hình chiếu của vectơ này theo bất kỳ hướng nào. Thật vậy, nếu hệ không đóng, nhưng các ngoại lực sao cho tổng hình chiếu của tất cả các lực lên một hướng nhất định bằng 0, thì hình chiếu của động lượng của hệ lên hướng đó vẫn là một giá trị không đổi. Hệ thống vòng hở theo hướng này tương tự như hệ thống vòng kín.

Tương tác ngắn hạn nảy sinh, ví dụ, trong các vụ nổ, bắn, va chạm. Loại bài toán này là những gì chúng ta đang thảo luậnadm. Chúng ta hãy thử tìm hiểu trong từng trường hợp cụ thể xem định luật bảo toàn động lượng có thỏa mãn hay không và nó phụ thuộc vào điều gì.

Nhiệm vụ 1. Một phát đạn được bắn từ một khẩu đại bác di chuyển dọc theo một mặt phẳng nghiêng và đã bao phủ đường đi $l$ về phía chân trời (Hình 1). Súng sẽ duy trì tốc độ đạn bao nhiêu sau khi bắn? Khối lượng của đạn $m$ nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của pháo $M$, mặt phẳng nghiêng $\alpha$ là phù hợp.

Trước khi bắn, khẩu pháo (cùng với viên đạn) đã di chuyển trên đường $l$, có xung lực $(M+m)\vec{v}_0$, hướng dọc theo mặt phẳng nghiêng. Mô đun của xung lực này có thể được tìm thấy từ định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{(M+m)|\vec{v}_0|^2}{2} = (M+m)|\vec{g}|l\sin\alpha,$$

Và

$$(M+m)|\vec{v}_0| = (M+m)\sqrt{2|\vec{g}|l\sin\alpha}.$$

Ngay sau khi bắn, súng vẫn còn, đạn bay về phía chân trời. Vì vậy, mặc dù thời gian tương tác giữa pháo và đạn ngắn, nhưng chúng

47

Xung của hệ thống này không được lưu trữ. Tại sao?

Trong khi bắn, lực ép của súng lên mặt phẳng nghiêng tăng mạnh, đồng nghĩa với việc phản lực ở mặt mặt phẳng cũng tăng lên nên xung lực của lực này khá lớn. Chính điều này đã làm thay đổi tổng xung lực của súng và đạn.

Tuy nhiên, theo hướng dọc theo mặt phẳng nghiêng, hình chiếu của phản lực bằng 0 và hình chiếu của xung trọng lực $((M+m)|\vec{g}| \times \sin \alpha \cdot \Delta t)$ trong thời gian bắn ngắn $\Delta t$ là nhỏ và không tăng trong quá trình bắn. Do đó, với một mức độ chính xác nhất định, chúng ta có thể giả sử rằng theo hướng dọc theo mặt phẳng nghiêng hình chiếu động lượng của hệ súng - đạn được bảo toàn. Do đó, hình chiếu của tổng xung lực của súng và đạn trước khi bắn bằng hình chiếu của đạn sau khi bắn (súng kết thúc):

$$(M+m)\sqrt{2|\vec{g}|l\sin \alpha}=m|\vec{v}| \cos \alpha.$$

Do đó mô hình tốc độ đạn ngay sau khi bắn

$$|\vec{v}|=\frac{(M+m)\sqrt{2|\vec{g}|l\sin \alpha}}{m\cos \alpha} \approx \frac{M\sqrt{2|\vec{g}|l\sin \alpha}}{m\cos \alpha}.$$

Tại lời giải bài toán này, chúng ta giả sử rằng theo hướng dọc theo mặt phẳng nghiêng, hệ đạn súng hoạt động như một hệ kín. Tuy nhiên, chúng tôi không thể đánh giá mức độ chính xác của điều này là đúng vì hệ thống các vật thể tương tác rất phức tạp và không cần dữ liệu cho việc đánh giá như vậy.

Bây giờ chúng ta hãy phân tích hai bài toán bằng một tương tác đơn giản hơn, trong đó cũng có thể đưa ra ước tính.

Bài toán 2. Vào một quả bóng gỗ có khối lượng $M=1$ kg, được hạ xuống với tốc độ $|\vec{V}_0|=1$ m/giây, lực bắn từ súng và xuyên qua nó. Tốc độ chúng ta sẽ đẩy quả bóng ngay sau khi có cảm xúc là bao nhiêu? Vận tốc của súng khi đến gần quả bóng là $|\vec{v}_0|=300$ m/giây,

sau khi bắn quả bóng $|\vec{v}|=100$ m/giây, khối lượng của súng $m=10$ e.

Chúng ta hãy ước tính độ chính xác của hệ thống đạn bi có thể được coi là đóng trong quá trình tương tác của chúng. Nói cách khác, chúng ta hãy tìm hiểu xem liệu xung lực hấp dẫn có thể bị bỏ qua trong thời gian này hay không.

Thời gian tương tác là $\Delta t \approx \frac{d}{|\vec{v}_{\text{cp}}|}$, trong đó $d$ là đường kính của quả bóng và $\vec{v}_{\text{cp}}$ là tốc độ trung bình của viên đạn bên trong quả bóng. Đường kính của quả bóng có thể được ước tính bằng cách biết rằng mật độ của gỗ $\rho$ xấp xỉ bằng mật độ của nước $\rho_B=10^3$ kg/m³:

$$\frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^3\rho=M, \text{ и}$$

$$d=\sqrt[3]{\frac{6M}{\pi\rho}}\approx 0,1 \text{ м},$$

$$|\vec{v}_{\text{cp}}| \approx \frac{|\vec{v}_0|+|\vec{v}|}{2}=200 \text{ м/сек}.$$

Do đó, $\Delta t \approx 5 \cdot 10^{-4}$ giây. Xung lực hấp dẫn của hệ trong thời gian này (và do đó là sự thay đổi tổng xung của quả bóng và viên đạn)

$$|\vec{p}|=(M+m)|\vec{g}| \Delta t \approx 5 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot \text{сек}.$$

Số chuyển động của hệ thống trước khi tương tác

$$|\vec{p}_0|=m|\vec{v}_0|-M|\vec{V}_0|=2 \text{ м} \cdot \text{сек}.$$

Sau đó mối quan hệ

$$\frac{|\vec{p}|}{|\vec{p}_0|}=\frac{|\Delta\vec{p}_0|}{|\vec{p}_0|}=2 \cdot 10^{-3}=0,2\%,$$

và do đó, với độ chính xác 0,2%, chúng ta có thể giả sử rằng động lượng của hệ không thay đổi trong quá trình tương tác.

Chúng ta hãy viết định luật bảo toàn cho hình chiếu động lượng lên một trục hướng thẳng đứng lên trên:

$$mv_0+MV_0=mv+MV,$$

hoặc

$$m|\vec{v}_0|-M|\vec{V}_0|=m|\vec{v}|+MV.$$

Từ đó tính vận tốc của quả bóng sau khi tương tác

$$V=\frac{m|\vec{v}_0|-M|\vec{V}_0|-m|\vec{v}|}{M}=1 \text{ м/сек},$$

nghĩa là quả bóng bắt đầu chuyển động với tốc độ 1 m/s.

49

Hình 3.

Thay thế ở đây giá trị tương ứng cho $v_1$ và $v_2$:

$$v_1 = -|\vec{v}_1| = -\frac{|\vec{v}_0|}{4},$$
$$v_2 = |\vec{v}_2| = \frac{7|\vec{v}_0|}{4},$$

chúng ta sẽ tìm

$$v'_1 = v_2 = \frac{7|\vec{v}_0|}{4} \text{ и } v'_2 = v_1 = -\frac{|\vec{v}_0|}{4}$$

• Trong va chạm đàn hồi, các quả bóng có khối lượng bằng nhau trao đổi vận tốc.

Tuy nhiên, không nên nghĩ rằng trong khi va chạm người ta luôn có thể bỏ qua tác dụng của ngoại lực và coi hệ là hệ đóng. Ví dụ: hãy xem xét bài toán này.

Bài toán 4. Một túi bột không có tốc độ ban đầu từ độ cao $H$ trên bo mạch chính nghiêng một góc $\alpha = 60^\circ$ so với phương ngang. Sau khi hạ chiếc túi xuống, chúng tôi thấy mình đang ở trên một mặt sàn gồ ghề nằm ngang. Hệ số khay đựng túi trên sàn $\mu = 0,7$. Chiếc túi sẽ dừng lại ở đâu?

Sau khi đi xuống khỏi bảng, túi có tốc độ $\vec{v}$ hướng dọc theo bảng (Hình 3). Giá trị tuyệt đối của nó có thể được tìm thấy từ định luật bảo toàn cơ năng, vì tấm ván nhẵn và không bị mất năng lượng:

$$|\vec{v}| = \sqrt{2|\vec{g}|H}$$

Chúng ta hãy xem hình chiếu động lượng của túi theo trục ngang và trục dọc thay đổi như thế nào khi va chạm với sàn. Hình chiếu thẳng đứng sau khi va chạm bằng 0 - túi không đàn hồi và không nảy lên sau va chạm. Điều này có nghĩa là trong quá trình va chạm, nó tác dụng theo hướng bằng 0, động lượng của nó đúng bằng hình chiếu thẳng đứng của động lượng của túi ngay trước khi va chạm. Lực này chỉ có thể là phản lực $\vec{N}_{cp}$ từ sàn, do đó,

$$|\vec{N}_{cp}| \Delta t = m|\vec{v}| \sin \alpha.$$

Theo phương nằm ngang, túi chịu một lực trượt có mô hình là $|\vec{F}_{tp}| = \mu |\vec{N}_{cp}|$. Xung lực của lực này khi va chạm bằng

$$|\vec{F}_{tp}| \Delta t = \mu m|\vec{v}| \sin \alpha,$$

nghĩa là, nó không phụ thuộc vào quy luật thay đổi phản lực của vật đỡ (và do đó là lực ép của túi lên sàn), cũng như không phụ thuộc vào thời điểm va chạm. Hãy tìm sự thay đổi trong hình chiếu ngang của động lượng của túi. Hãy di chuyển trục $X$ theo chiều ngang sang phải, sau đó, theo định luật thứ hai của Newton,

$$mv'_x - mv_x = -|\vec{F}_{tp}| \Delta t,$$

hoặc

$$v'_x - |\vec{v}| \cos \alpha = -\mu |\vec{v}| \sin \alpha.$$

Do đó, hình chiếu tốc độ mà túi bắt đầu di chuyển dọc theo sàn,

$$v'_x = |\vec{v}|(\cos \alpha - \mu \sin \alpha) = -0,1 |\vec{v}|.$$

Dấu trừ có nghĩa là gì? Về mặt hình thức, dấu trừ chỉ ra rằng sau khi va chạm, túi sẽ chuyển động sang trái, hay nói cách khác, xung của lực của cây lớn hơn hình chiếu ngang ban đầu của động lượng của túi. Điều này có nghĩa là tại một thời điểm nào đó trong quá trình va chạm, hình chiếu vận tốc của túi lên trục $X$ chuyển sang 0. Từ thời điểm này trở đi, lời giải của chúng tôi trở nên không chính xác. Thật vậy, mô hình lực trey chỉ bằng $\mu |\vec{N}_{cp}|$ khi trượt và ở trạng thái đứng yên, trey có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ 0 đến $\mu |\vec{N}_{cp}|$ tùy thuộc vào lực nào (trừ lực trey) tác dụng lên vật. Trong trường hợp của chúng ta, không có lực nào khác có hình chiếu theo phương nằm ngang, do đó, tại thời điểm hình chiếu theo phương ngang của vận tốc của túi bằng 0, lực

50

ma sát cũng về không. Như vậy, chiếc túi sẽ không hề di chuyển trên sàn!

Cuối cùng, chúng ta hãy thảo luận về một bài toán nổi tiếng khác về sự va chạm của các vật thể. Với lời giải cái này bài toán họ thường sử dụng các phép tính gần đúng khá thô, không quy định dưới bất kỳ hình thức nào rằng đây là một phép tính gần đúng hoặc trong bất kỳ điều kiện nào nó có thể được sử dụng.

Nhiệm vụ 5. Bằng cách điều chỉnh bề mặt nằm ngang, chúng ta ấn một hình nêm có khối lượng $M$ từ độ cao $h$ lên một quả bóng có khối lượng $m$ và nảy theo phương ngang (Hình 4). Tên phép chiếu vận tốc nêm

$\vec{V}$ sau khi va chạm. Trenetz pretenbrets, udar coi là đàn hồi tuyệt đối.

Không giống như tất cả bài toán trước đó, ở đây cần xét đến sự va chạm của không phải hai mà là ba vật - một quả bóng, một cái nêm và một mặt phẳng nằm ngang.

Trong trường hợp tổng quát, nếu không đưa ra bất kỳ giả định bổ sung nào về cơ chế tác động thì không thể giải được bài toán này. Trong lời giải phổ biến nhất của bài toán này, người ta mặc nhiên (không có bất kỳ sự bảo lưu nào) cho rằng va chạm của quả bóng với cái nêm và cái nêm với mặt phẳng nằm ngang xảy ra đồng thời, và cái nêm sau va chạm chỉ có vận tốc hình chiếu nằm ngang. Sau đó viết phương trình các định luật va chạm của cơ năng và động lượng:

$$m|\vec{g}|h = \frac{MV_x^2}{2} + \frac{mv_x^2}{2},$$

$$MV_x + mv_x = 0,$$

trong đó $V_x$ và $v_x$ là hình chiếu tương ứng của vận tốc của nêm và quả bóng lên trục hoành hướng về bên phải. Từ đây

$$V_x = \sqrt{2|\vec{g}|h \frac{m^2}{M(M+m)}}.$$

Tuy nhiên, trong một lời giải như vậy, không hề rõ ràng nơi đặt hình chiếu thẳng đứng của động lượng của quả bóng. Xét cho cùng, nếu va chạm tuyệt đối đàn hồi thì hình chiếu thẳng đứng của động lượng của hệ không biến mất mà chỉ đổi dấu! Sau khi va chạm, quả bóng bật lại theo phương ngang, mặt phẳng nhìn chung không chuyển động. Điều này có nghĩa là cái nêm phải nảy lên sau khi va chạm. Và năng lượng liên quan đến chuyển động này không được tính đến trong lời giải đã cho.

Hình ảnh vật lý của va chạm phù hợp hơn với giả định rằng lúc đầu quả bóng chỉ va chạm với cái nêm, và sau đó cái nêm, đã nhận được một số tốc độ do va chạm này, tương tác với mặt phẳng nằm ngang. Sau va chạm thứ nhất, hình chiếu thẳng đứng của vận tốc nêm

$$V_y = \frac{m}{M} \sqrt{2|\vec{g}|h},$$

và các hình chiếu theo phương ngang của vận tốc của cái nêm và quả bóng, như trong lời giải đầu tiên, có liên hệ với nhau bởi hệ thức

$$MV_x + mv_x = 0,$$

hoặc $v_x = -\frac{M}{m} V_x$.

Khi đó định luật bảo toàn năng lượng có thể được viết là

$$m|\vec{g}|h = \frac{mv_x^2}{2} + \frac{MV_x^2}{2} + \frac{MV_y^2}{2}.$$

Thay vào đây các biểu thức tương ứng cho $v_x$ và $V_y$, ta tìm được hình chiếu ngang của tốc độ nêm:

$$V_x = \sqrt{2|\vec{g}|h \frac{m^2(M-m)}{M^2(M+m)}}$$

Do đó, chúng tôi đã giảm bài toán về va chạm của ba vật xuống bài toán của hai va chạm từng cặp liên tiếp (chúng tôi không cần va chạm thứ hai đối với lời giải bài toán). Đồng thời, chúng ta giả định rằng cái nêm sau khi va chạm với quả bóng sẽ chuyển động thuần túy tịnh tiến. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu lực ép của quả bóng $\vec{N}$ trong quá trình va chạm đi qua