Bài toán M431—M435; F443—F447

28

Vấn đề
lượng tử

Bài toán

M431—M435; F443—F447

M431. Cây hình trụ mọc trong rừng. Người báo hiệu cần căng một sợi dây xuyên rừng từ điểm A đến điểm B, khoảng cách giữa chúng bằng l. Chứng minh rằng để truyền thông tin chỉ cần một đoạn dây dài 1,6 l là đủ.
A. Altschiller

M432. Có hình vuông hoàn hảo nào có tổng các chữ số bằng
a) 1977;
b) 1978?
b) * Tìm xem các số tự nhiên nào có thể bằng tổng các chữ số của bình phương một số nguyên.
A. Grishkov

M433. Trong hình ngũ giác lồi ABCDE, cạnh BC song song với đường chéo AD, cạnh CD song song với đường chéo BE, cạnh DE song song với đường chéo AC và cạnh AE song song với đường chéo BD (Hình 1). Chứng minh rằng cạnh AB song song với đường chéo CE.
E. Turkevich

M434. Số $\frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \dots + \frac{2^n}{n}$ được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $\frac{p_n}{q_n}$.
a) Chứng minh rằng $p_n$ là số chẵn.
b) Chứng minh rằng nếu $n \geq 3$ thì $p_n$ chia hết cho 8.
b) * Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k người ta có thể tìm được n sao cho các số $p_n, p_{n+1}, p_{n+2}, \dots$ chia hết cho $2^k$.
D. Faddeev

M435*. Một bảng có kích thước $m \times n$ chứa các số thực, trong mỗi ô có một số. Trong mỗi cột, k số nhiều nhất ($k \leq m$) được gạch chân, trong mỗi dòng - l số nhiều nhất ($l \leq n$). Chứng minh rằng có ít nhất kl số được gạch chân hai lần. Đầu tiên xét trường hợp a) $k=l=2$; 6) $k=l=3$.
C. Konyatiya

F443. Như bạn đã biết, quả địa cầu thực hiện một vòng quay hoàn toàn quanh trục của nó trong 23 giờ 56 phút 04 giây. Do đó, trong một ngày tất cả các giờ có chữ số khác nhau

29

chia cho 24 giờ thì trễ gần 4 phút. Con số này lên tới gần nửa giờ một tuần. Tại sao chúng ta không nhận thấy độ trễ này và không liên tục giảm đồng hồ xuống?

B. Bukhovtsev

F444. Một hộp nặng có khối lượng $M$ lăn các con lăn xuống tạo thành một mặt phẳng nghiêng (Hình 2). Khoảng cách giữa các con lăn $l$, bán kính của chúng $r$ và khối lượng $m$. Góc nghiêng của mặt phẳng so với đường chân trời là $\alpha$. Tìm tốc độ của hộp nếu nó được biết là không đổi. Giả sử rằng các con lăn rỗng và độ dày thành của chúng là $d \ll r$.

F445. Công suất tụ điện $C=0,04$ uF với sự trợ giúp của công tắc $K$ được sạc định kỳ với tần số $v=50$ lần mỗi giây từ một nguồn có e. d.s. $\mathcal{E}=100$ b và điện trở trong $r-5$ ohm và được tích điện qua điện trở $R-1$kom (Hình 3). Xác định công suất giải phóng trên tải $R$ và hiệu suất của thiết bị đó. Xem xét thời gian đóng các tiếp điểm chính là đủ để tụ điện được sạc đầy (vị trí $I$) và được sạc đầy (vị trí $II$).

F446. Một vật có khối lượng $M$ nằm trên một băng tải thô, gắn vào bức tường liền kề (Hình 4). Đoạn băng được chuyển động với tốc độ không đổi $v$, và sau một thời gian, chuyển động tuần hoàn của vật được thiết lập. Vẽ đồ thị về sự phụ thuộc của hỗn hợp cơ thể, tốc độ và gia tốc của nó theo thời gian trong quá trình chuyển động.

F447. Một sợi dây bạch kim được căng dọc theo một trục đi qua tâm của hai hình trụ đồng tâm được nối cứng và được phủ một lớp segebra (Hình 5). Khi dòng điện chạy qua hệ thống dây điện, nó nóng lên và lớp segebro bay hơi. Thông qua một khe hẹp ở hình trụ bên trong, một phần nguyên tử segebral bay vào hình trụ bên ngoài và lắng đọng trên bề mặt bên trong của nó.

Bán kính hình trụ ngoài là $R=30$ cm, bán kính hình trụ trong không đáng kể so với $R$; chiều rộng của rãnh trong một hình trụ nhỏ là $\delta=1$ mm. Nhiệt độ hơi segebra $T=1000^\circ\text{K}$, mật độ hơi $\rho=10^{-5}\text{e/cm}^3$.

Các xi lanh quay với tốc độ $n=10$ vòng quay mỗi giây. Tìm sự phân bố bề mặt của mặt phẳng segebra trong lớp lắng đọng trên bề mặt bên trong của hình trụ lớn trong thời gian $t=1$ giây.